高中数学-双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

.1.5双曲线的简单几何性质一、教学目标：1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.二、教学重点.难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。难点：双曲线的渐近线，离心率的讲解。三、教学方法本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察、分析、归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。四、教学过程新课引入1,欣赏歌曲《悲伤的双曲线》，并赏析歌词体会双曲线为何会悲伤？如果我是双曲线你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘慢慢长路无交点为何看不见等式成立要条件难到正如书上说的无限接近不能达到为何看不见明月也有阴晴圆缺此事古难全但愿千里共婵娟2.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.1.范围以为例，只有当|x|≥a时，y才有实数值，而在－a<x<a之间没有图象，当|x|无限增大时，|y|也无限增大，因此曲线是无限伸展的，也就是说，双曲线(a>0,b>0)在不等式组或所表示的区域内.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线.2.对称性分别用（x,－y）、（－x,y）及（－x,－y）代替方程中的（x,y），方程都不改变，说明双曲线关于x轴、y轴、原点对称，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心.3.顶点与实虚轴双曲线只有两个顶点.的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x=0时，y2=－b2无实数解，即与y轴无交点.实轴长为2a，虚轴长为2b.在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长.4.渐近线（1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是x=±a,y=±b围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.（2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±;焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±,或由（将1换成0）得到.（4）根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.5.离心率e=,e>1,它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大.（1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵==,∴e越大，k=越大.∴双曲线开口越大.（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.(3)求离心率是考查重点，常有以下方法①求a、c再求e=；②建立关于a、c的齐次方程；③寻找a和e的关系，再求e.典型例题：例1：求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例2：求双曲线例3：求与双曲线共渐近线,且经过例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。五、当堂检测1、求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.已知渐近线方程为，焦点坐标为的双曲线方程.3、求与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程.【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】六、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验七、课时练与测八、教学反思学情分析知识层面：已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比推导出了双曲线的标准方程，拥有了进一步研究归纳双曲线的几何性质的基础知识。能力层面：具有由方程讨论曲线性质及由数到形的思想方法，具备了类比归纳的能力。情感层面：对数学新内容的学习有一定的兴趣和积极性，不足之处，学生的分析能力和概括能力不是很强，对于图形的分析以及计算能力还需提高。效果分析本节围绕双曲线的简单几何性质知识，突出了用方程研究双曲线几何性质的特点，让学生认识求曲线方程的一般方法，如待定系数法等，同时让学生通过解决实际问题，体会双曲线的应用价值。用代数方法研究几何问题，如圆锥曲线的性质，其处理方法具有统一性，实际上通过代数方法研究几何图形，不单有利于发现和证明图形的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，也是解决几何的优势所在，是体现数形结合思想方法威力的典范，需要我们在教学中认真让学生去体会。所以在学习了椭圆性质之后学习本节课，无论从当堂探究还是例题处理以及课后习题方面学生表现都是不错的。教材分析教科书是从数学内部提出问题的，从距离之和道距离之差非常自然，但要画出双曲线却需要很高水平的想象力，这时发挥信息技术的作用是必须的，教学时，要用好教科书的这个情景给学生充分的几何直观的同时，使学生认识椭圆双曲线之间的联系与差异，提升发现和提出问题的能力，再利用信息技术探索双曲线的图形特征时，需要把几何条件转变为信息技术能够实现的方式，这种方式需要根据几何要素进行构造，这个过程体现了几何条件的转化，对于培养直观想象逻辑推理素养都有帮助。教科书给出的“思考”提出了类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线的几何性质进行研究，教学中要让学生通过类比提出可以研究双曲线的哪些性质。构建研究思路，给出研究方法，并自主探究得出结论。当然，对于双曲线的渐近线问题，教师要加强引导。对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，在学习双曲线的渐近线时，现教科书设置了一个探究，教师要把这个探究利用好。教科书在本节末的探究与发现栏目中解释了什么是渐近线供学生阅读思考，以便完善对双曲线渐近线的正确认识。在讲解离心率时，教科书给出了“思考”，要求学生探索双曲线的离心率，刻画了双曲线的什么几何特征。教科书安排例3的目的是巩固对双曲线的几何要素及其几何性质，例4综合运用待定系数法和双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，基础是建立适当的坐标系，获得数与形的对应。评测练习典型例题：例1：求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例2：求双曲线例3：求与双曲线共渐近线,且经过例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。当堂检测：1、求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.已知渐近线方程为，焦点坐标为的双曲线方程.3、求与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程.【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】课后反思圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴体，主要是对圆锥曲线几何性质的考察，因此课堂教学生时应重视对圆锥曲线，几何性质的归纳和运用。有效教学要使学生建立良好的知识网络体系，良好知识结构，应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法，知识间的内在联系，结论的推导证明线索，融合成一个有机的整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆。本节课突出展现了双曲线几何性质的获得过程，当然在课堂教学的实际活动当中有一些不尽人意。比方说应用多媒体容量是增加了，但个别知识容易造成一带而过，引不起足够的重视，再者时间分配上存在误差，练习的时间比较少。在教学活动当中，学生的思维活动应主要是在问题驱动下进行的，一、从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，二、问题要有利于引起学生的认知冲突和学习兴趣，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。三、问题的设置要使学生内容的诚信合理自然在情理之中，四、从数学方法论的角度出发，问题要有启发性。课标分析普通高中数学课程标准当中提到了圆锥曲线与方程第三条：了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及他们的简单几何性质。在平面解析几何中，应引导学生经历以下过程：首先，通过实例了解几何图形的背景，例如，通过行星运行轨道、抛物线运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用；进而，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题；再结合具体问题合理的建立坐标系，用代数语言描述这些特征和问题；最后借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题。应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生展示