课件考题物理下学期量子力学

11.4

德布罗意波理论一、经典物理学中的波与粒子实物粒子：是指静止质量不为零的那些微观粒

子。它具有集中的不可分割的特性。原则上可精确地确定它的质量、动

量、能量和电荷，且在一定条件下可视为质点。波：指周期性地传播、运动的场。其特征量为n

和l，对一给定波源来说，其发出的波,原则上频率和波长都可被精确测定。二、光的波粒二象性1672年牛顿提出光的微粒说1678年惠更斯提出了光是纵向波动19世纪初在菲涅耳、夫琅和费、杨氏等人观察到 光的干涉实验后，波动学说被人们普遍承认。19世纪末麦克斯韦、赫兹进一步肯定光为电磁波20世纪初随着一些新的现象相继出现，且经典理 论无法解释，随之诞生了一些新的理论。1905年提出光量子假说，提出了光具有波粒二象性1923年康普顿实验既是光的波粒二象性的最好证明1924年德布罗意将光的波粒二象性推广到实物粒子“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于‘粒子’的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？”法国物理学家德布罗意（1892–1987)，1924提出德布罗意波假设，

1929年获得诺贝尔奖思想方法自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设.三、 德布罗意假设（1924

年

）德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性.E

=

hnlp

=

hh

hE

mc2n

=

=p

mvh

h=l

=德布罗意公式2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性.注意若v

fic

则m

=gm01）若v

<<c

则m

=m0例

在一束电子中，电子的动能为200

eV

，求此电子的德布罗意波长l

？解20k12m

vv

<<c,

E

=m02

Ekv

=-16m

s

=

8.4

·10

m

s-19.1·10-312

·

200

·1.6

·10-19v

=nm0=9.1·10-31

·8.4·1066.63·10-34m

vh\

l

=

v

<<

cl

=

8.67

·10

-2

nm此波长的数量级与X

射线波长的数量级相当.他认为：对所有的实物粒子，无论其静止质量是否为零都成立。即实物粒子即可用P、E来描述，也可用l、n

来描述，有时粒子性突出，有时波动性突出，这既是实物粒子的波粒二象性。可以说：是近代物理学中两个重要的关系式！前者通过c将能量和质量联系起来，后者通过h将粒子性和波动性联系起来，是物理学的一大进步，E

=

mc2

l

=

h

/

mv，波在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg速度V=5.0·102m/s对应的德布罗意长为：h2mEk=1.3·10-34ml

=四、德布罗意波的实验证明1927年戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。（1）实验装置AUB

GM实验中，进入B的电流可用电流计测出改变电压U，测出电流强度I（2）实验结果IU1/2（3）理论解释（结果分析）结果表明：当电压单调增加时，电流强度不是单调增加，表现出有规律的选择性，只有当电压为某些特定值时，电流才有极大值（即亮纹）。与x

射线衍射相似。对于伦琴射线，投射到晶体上时，只有入射波的波长满足：的那些射线才能以一定的角反射。2d

sin

j

=

kl,

k

=

1,2,3,实验中取：j=650

d=0.91Å

，当

U=54V测出峰值K=1

得l

=16.5nm由：2d

sinj

=kl,k

=1,2,3,（4）理论上：当v<<c时，l

=

hm

0

v电子在加速电场中被加速时有：m

v=

eU2012UhmA1

12.22em

U2eU

h00

0=\

v

=l

=

m

v

=当U=150V时，l=1Å当U=10

4V时，l=0.112Å很短，与x射线相近。hp2meU=

16.7nml

=

h

=电子的德布罗意波长：理论值与实验结果符合的非常好！！2

G

.P.汤姆孙电子衍射实验(1927年)电子束透过多晶铝箔的衍射UKDMP双缝衍射图戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金均平动动能可表示为T

=

298Ke

=

3

kT

=

3.85·10-2

eV平均平动动能2mn

=1.67

·10-27

kgn-24

-1p

=

2m

e

=

4.54

·10

kg

m

spl

=

h

=

0.146nm慢中子的德布罗意波长五、应用举例1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜;1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜.例

试计算温度为25

C

时慢中子的德布罗意波长.解

在热平衡状态时,

按照能均分定理慢中子的平11.5

德布罗意波的统计解释经典粒子不被分割的整体，有确定位置和运动轨道；经典的波某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性.二象性要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上.1926

年玻恩提出 德布罗意波是概率波

.统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率.4.单个粒子在哪一处出现是偶然事件；

大量粒子的分布有确定的统计规律。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样例1、假设电子运动的速度可与光速相比拟，则当电子的动能等于其静止能量2

倍时，其德布罗意波长是多少？（m0=9.11×10-31kg)解：由题意K0000\

P2c2

=

8m

c4

P

=

2 2m

cE2

=

P2c2

+

E2E

=

E

+

E

=

3m

c2K

0

02m

c2

=

E\

l

=

h

/

P

=

8.58·10-3

A例2、电子与光子各具有波长0.20nm，它们的动量和能量各是多少？解：电子与光子的动量都为：P

=

h

=

3.20

·10-24

kg m

/

sl电子的总能量为：0E

=

(Pc)2

+(m

c2

)2

=

5.12·105

eV光子的总能量为：E

=

Pc

=

6.19

·103

eV11-6

海森堡不确定关系在经典力学中，运动物体具有确定的轨道，任一时刻物体的运动状态可用在该轨道上的确定位置和动量来描述；这意味着物体同时具有确定的位置和动量，所谓“确定”指我们可用实验手段精确测量。对微观粒子是否可用上述量测量？由于微观粒子具有波粒二象性，且德布罗意波是一种几率波，不能用实验方法同时确定其位置、动量，粒子存在着位置和动量的不确定性，但不确定性遵从一定的关系----不确定关系。一、不确定关系的物理表述事实上对于微观粒子而言，它的坐标和相应的动量不可能同时具有确定值。用Dx

表示粒子在x

方向上的位置的不确定度，Dpx表示同一时刻在x

方向上动量的不确定度，那么，这两个不确定度的乘积不得小于一个约为普朗克常数的量。Dx

DPx

‡

h同理：有Dy

DPy

‡

hDz

DPz

‡

h这些关系是1927年海森堡提出的不确定关系，它是自然界的客观规律不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。海森堡：（1901-1976）德国物理学家，不确定关系与物质波的概率解释一起获得1932年的诺贝尔奖说明：（1）微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制.不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界的根本属性.对宏观粒子，因h很小，可视为位置和动量能同时准确测量Dt

DE

‡h（4）在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系。（5）不确定关系在量子力学中严格证明：Dy

DPy

‡

2Dz

DPz

‡

2Dx

DPx

‡

2aaapxapSin

aXyp二、电子单缝衍射电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性，并给出了不确定关系。-

l

£

sin

a

£

la

a根据单缝衍射公式半角宽：电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：-p

sina

£

py

£

p

sinaayD

p

‡

p

lD

y

=

a电子通过单缝位置的不确定范围：p代入德布罗意关系：l

=

h

得出：Dy

Dpy

‡

h例如：小球质量m=10-3千克，速度V=102米/秒Dx=10-6米，则：hxDxDp

‡=

6.63

·10-28

kg m

/

sDVx

‡

6.63

·10

-25

m

/

s因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的不确定性远在实验的测量精度之内。例如：电子质量me=9.1·10-31千克，在原子中电子的Dx£10-10米，则：he7D

V

x

‡

m

D

x

=

7

.3

·

10

m

/

s结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体说明。例3、一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量。试求：该粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系。解：由Dy

Dpy

‡

h依题意：DPy

=

mvDy

‡

h

/

DPyl

=

h

/

mv所以：l

=

h

/

mv

=

h

/

DPy即：Dy

‡

l例4、从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件.2

π

r

=

nln

=1,2,3,4,解：两端固定的弦，若其长度等于波长则可形成稳定的驻波.将弦弯曲成圆时2π

r

=

lhl

=

mv电子绕核运动其德布罗意波长为2π

rmv

=

nhhL

=

mvr

=

n

2π角动量量子化条件练习题1、在戴维孙——革末电子衍射实验装置中，自热阴极K发射出的电子束经U=500V的电势差加速后投射到晶体上．这电子束的德布罗意波长l=

nm(电子质量me=9.11×10-31

kg，基本电荷e

=1.60×10-19

C，普朗克常量h

=6.63×10-34

J·s)2、考虑到相对论效应，试求实物粒子的德布罗意波长的表达式，设EK为粒子的动能，m0为粒子的静止