课外拓展系列-一元二次方程(初一数学)

一元二次方程风子编辑判定式1、判定式定理：对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），设△=b2-4ac，则有：1）若△>0，则方程有两个不等实根；2）若△=0，则方程有两个相等实根；3）若△<0，则方程无实数根。备注：判定式定理只适用于一元二次方程，若涉及方程ax2+bx+c=0有没有实根的问题，还应该对a进行讨论。韦达定理2、韦达定理：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根，则有x1+x2=-，x1x2=，逆命题也成立。

灵活运用一元二次方程以下两条性质，可以简捷地解决一类与根有关的求值问题：1）设α为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的一个根，aα2+bα+c=0，反之亦然。2）设α、β（α≥β）是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且△=b2-4ac≥0）的两根，则有反之亦然。韦达定理3、对有理系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有:1）方程两根为有理数，则b2-4ac为完全平方数；2）方程有一根为有理数，则另一根也是有理数。4、对整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有:1）方程两根为整数，则b2-4ac为完全平方数，且a|b，a|c；2）方程两根为整数，则b2-4ac为完全平方数，且

2a|（）拓展训练—案例题例1：用适当的方法解下列方程：1）10x2-x-3=02)6x+15=3x23)y2-7/4=3y【分析】以上一元二次方程都能用公式法进行求解，但必须通过观察分析，用更简便的方法来求解。1）可以用十字相乘法，把方程化为（2x+1）（5x-3）=0，则可知方

程的解为x1=1/2，x2=3/52）方程经过整理，可简化为：x2-2x-5=0，即（x-1）2=6

则方程的解为：x1=1-，x2=1+3）去分母后，方程可化为：4y2-12y-7=0，本题可以用十字相乘法，

把方程化为（2y-7）（2y+1）=0。采用公式法：△=（-12）2-

4×4×（-7）=256，则x=拓展训练—案例题例2：解关于x的方程：x2+x-2+k（x2+2x）=0【分析】这题有两层含义：1、二次项系数含有字母；2、这是一个关于x的方程，而不是一元二次方程。因此，需要对二次项系数进行讨论。解：整理方程，得：（k+1）x2+（2k+1）-2=0

当k=-1时，原方程为：-x-2=0，即x=-2

当k≠-1时，原方程为一元二次方程

△=(k+1)2+8(k+1)=(2k+3)2

∴原方程的解为：x=

即：x1=-2，x2=拓展训练—案例题例3：设α是方程x2+x-=0，求的值。【分析】普通的做法，先求出方程的解，再代入分式求值。但分析方程与多项式，可以利用性质1）进行变形求值。

方程变形可得：x2+x=，即a2+a=a3-1=（a-1）（a2+a+1），a5+a4-a3-a2=(a-1)(a2+a)2原式=拓展训练—案例题例4：已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实根x1、x2，1）求k的取值范围；2）是否存在实数k，使方程的两个实数跟互为相反数？如果存在，求出k值；如不存在，请说明理由。【分析】方程有两个不相等的实数根，则△>0。两实数根互为相反数，即：x1+x2=-b/a=0。解：1）由题意得：△=（2k-1）2-4k2＞0

解得：k<1/4

∴当k<1/4时，方程有两个不相等的实根。

2）设x1、x2互为相反数，则：x1+x2==0

解得：k=1/2>1/4此时，△<0，原方程无实数解。

∴不存在使方程两根互为相反数的k值。拓展训练—案例题例5：试确定关于x的方程（m-2）x2+（2m+1）x+m-2=0的解的情况。【分析】在题目没有明确方程是一次还是二次时，需要对二次系数进行讨论，以确定方程解的情况。解：当m=2时，方程为一元一次返程，有一个实数根。

当m≠2时，方程为一元二次方程

∵△=（2m+1）2-4（m-2）2=20m-15

∴当△>0时，即m>3/4，且m≠2时，方程有两个不相等实根；当△=0时，即m=3/4时，方程有两个相等实根；

当△<0时，即m<3/4时，方程无实数根。

拓展训练—案例题【分析】判定一元二次方程的根，需要用到判定式。有两个不等实根，则△>0。本题用到了反证法，这是证明类题目常用的方法。

证明：假设△1=（2b）2-4ac≤0

△2=（2c）2-4ab≤0△3=（2a）2-4bc≤0则△1+△2+△3=4b2-4ac+4c2-4ab+4a2-4bc=4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=2[2(a-b)2+(b-c)2-(c-a)2]≤0又a、b、c不全相等的非零实数∴2[2(a-b)2+(b-c)2-(c-a)2]>0

所以，假设不成立，至少有一个方程有两个不等实根。例6：设a、b、c是不全相等的非零实数，求证：在方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0和cx2+2ax+b=0中，至少有一个方程有两个不等实根。拓展训练—案例题例7：若两方程a2x2+ax-1=0和x2-ax-a2=0有公共根，求a的值。解：设β是两方程的公共根，则：a2β2+aβ-1=0、β2-aβ-a2=0

两式相加，得：（a2+1）（β2-1）=0

∵a2+1≠0，∴β2-1=0即：β=±1

代入原方程，得a2+a-1=0或a2-a-1=0

解得：拓展训练—案例题例8：对于a>b>c>0，作二次方程x2-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0,1）若方程有实根，求证：a,b,c不能作为一个三角形的三边；2）若方程两根为6，9，求正整数a,b,c【分析】讨论方程的根，需要用到判定式或韦达定理。三角形三条边的关系为两边之和大于另一边。解：∵方程有实根

∴△=（a+b+c）2-4(ab+bc+ca）=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac=(a+b+c)(a-b-c)-4bc≥0

又∵a>b>c>0

∴(a+b+c)(a-b-c)≥4bc>0

∴a-b-c>0即a>b+c所以a、b、c不能作为三角形的三边。2）由韦达定理可知：a+b+c=15,ab+bc+ac=54

∵a>b>c>0，∴a+b+c>3c,即c<5

∴满足条件的c=1，2，3，4

当c=1时，a+b=14，ab=40，解得a=10，b=4拓展训练—案例题例9：设n为正整数，且n2-71的值能被7n+55的值整除，求n的值。【分析】两个代数式存在整除关系，可以采用转化为带系数的方程问题。解：∵7n+55|n2-71

∴n2-71=k（7n+55）（k为整数）

则n2-7kn-55k-71=0…………(1)

∵n为正整数

∴△=（7k）2-4×（-55k-71）=49k2+220k+284是完全平方数

又∵（7k+15）2=49k2+210k+225<49k2+220k+284<49k2+238k+289=（7k+17）2

∴△=（7k+16）2

即：（7k+16）2=49k2+220k+284

解得：k=7代入(1)，得：n2-49n-456=0

∴n=57或n=-8（不符合要求）

所以，n的值为57.拓展训练—案例题例10：已知抛物线y=ax2-3（a+1）x+3a与直线y=1-2x至少有一个交点是整点（纵横坐标都是整数的点），试确定整数a的值，并求出对应的整点坐标。解：抛物线与直线的交点的横坐标x满足方程y=ax2-3（a+1）x+3a=1-2x

即：ax2-（3a+1）x+3a-1=0

∵△=（3a+1）2-4a（3a-1）≥0，∴3a2-10a-1≤0

∴

又a为整数，所以a=1，2，3。

当a=1时，代入原方程得：x=

当a=2时，代入原方程得：x=1或5/2

当a=3时，代入原方程得：x=2或4/3

所以，满足条件的a值有a=2或3。当a=2时，有一个交点（1，-1），当a=3时，有一个交点（2，-3）。拓展训练—案例题例11：甲班的m个男生和11个女生捐款总数与乙班9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。【分析】从题目中要去发现隐含条件：每班捐款总数相同，每人捐款数相同，则说明两班捐款的人数是相同的。解：设每人捐款数为x元，则有：m+11=n+9，即m=n-2

又∵mn+9m+11n+145=（9+n）x

∴把m=n-2代入等式，得：n2+18n+127=(9+n)x

整理得：n2+（18-x）n+（127-9x）=0

∵n为整数

∴△=（18-x）2-4×（127-9x）=x