山东省德州市乐陵郭家中学2022年高三数学理知识点试题含解析

山东省德州市乐陵郭家中学2022年高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数 C．方差

D．极差参考答案：A由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。

2.若，则的大小关系是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8） B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，由f（x）+g（x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥．由图象知要使函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，∴，解得：b∈（7，8）故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．4.已知函数，（e为自然对数的底数），且，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A． B． C． D．3参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．6.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．角满足，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：A∵角的终边过点，∴，，∵，故角的终边在第一或第二象限，当角的终边在第一象限时，，，当角的终边在第二象限时，，，故选A．7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（

）A.6里 B.12里 C.24里 D.48里参考答案：B【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8.已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．

【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜≤x2＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1?f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1?f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1?f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1?f（x2）趋于=．故x1?f（x2）的取值范围为，故选C．【点评】本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距最小值的问题，通过平移可知，当直线过时，截距最小，代入可求得最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：其中，，将变为：，则的最小值即为在轴截距最小值由平移可知，当过点时，最小本题正确选项：10.“”是“”成立的

（

）（A）充分不必要条件.

（B）必要不充分条件.（C）充分条件.

（D）既不充分也不必要条件.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为

.

参考答案：112.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为

．参考答案：试题分析：记正三棱锥为，点在底面内的射影为点，则，在中，，所以.考点：正三棱锥的性质和体积的计算.13.已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，则f（x）的值域为．参考答案：（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），即g′（x）=g（x），则g（x）=cex，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）=1，即g（1）=ce=1，则c=，则g（x）=xf（x）=?ex，则f（x）=，（x≠0），函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f（1）==1，即当x＞0时，f（x）≥1，当x＜0时，函数f（x）单调递减，且f（x）＜0，综上f（x）≥1或f（x）＜0，即函数的值域为（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞），14.的展开式的常数项是

．参考答案：3【考点】二项式定理．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵而项式=（x2+2）?（?﹣?+?﹣?+?﹣1），故它的展开式的常数项为﹣2=3，故答案为3．15.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中．如图，点F0,F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2，分别是“果圆”与x，y轴的交点． （I）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则“果圆”的方程为

;（II）当|A1A2|>|B1B2|时，的取值范围是

. 参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）16.如图正四面体ABCD，E为棱BC上的动点，则异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为_______．参考答案：17.在体积为的三棱锥的棱上任取一点，则三棱锥的体积大于的概率是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求．参考答案：（1），；（2）1．（1）由，得，由，得，因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为．（2）点的直角坐标为，点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），代入，得，设点对应的参数分别为，则，，所以．19.如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4，∠ABC=30°．（I）求证：AC⊥BD；（II）若二面角B﹣AC﹣D为45°，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）利用余弦定理计算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCD，从而有AC⊥BD；（II）证明BD⊥平面ACD，于是∠BAD为所求角，先计算BD，在Rt△ABD中计算sin∠BAD．【解答】（I）证明：△ABC中，由余弦定理得AC2=36+48﹣2×=12，∴，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，∵AC⊥平面BCD．又∵BD?平面BCD，∴AC⊥BD．（II）解：∵AC⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，∴∠BCD是平面DAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD?平面ACD，AC?平面ACD，CD∩AC=C，∴BD⊥平面ACD．∴∠BAD是AB与平面ACD所成的角．Rt△ACD中，，∴．即求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为．20.(本小题满分12分)已知函数(1)若直线与函数的图象相切，求实数的值；(2)若函数，，试证明>.参考答案：（1）

（1分）直线与函数的图象相切，可设切点坐标（）可得代入

解出

（3分）将切点坐标代入得

（5分）

（2）

（6分）

（7分）

说明

可以不是这个结构整理正确就可以赋相同分值

（8分）令

说明

可以不进行等量代换。构造他函数结构正确得1分，整理分析函数性质正确再得2分

应用性质并写清结论再得1分设

（9分）

（10分）在上单调递增，又在恒成立。在上单调递增，又在恒成立。

即时，>

（12分）

21.如图，已知圆，抛物线D的顶点为O(0,0)，准线方程为，为抛物线D上的动点，过点M作圆C的两条切线与x轴分别交于A，B两点。（1）求抛物线D的方程；（2）若，求面积的最小值.参考答案：（1）设抛物线C的方程为，则，

………2分所以抛物线C的方程是.

…4分（2）设切线方程，切线与轴交点为，圆心到切线的距离为，化简得设两切线斜率分别为，则……………8分

，当且仅当时取等号.故切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.…12分

22.司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数

女性司机人数

合计

（Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X，若每次抽检的结果都相互独立，求X的分布列和数学期望E（X）．参考公式与数据：，其中n=a+b+c+d．P（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）求出任意抽取1辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率，知X的可能取值，且X服从二项分布，计