2022-2023学年广东省深圳市南山区南头城学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年广东省深圳市南山区南头城学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年广东省深圳市南山区南头城学校八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图汽车标志中不是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

2.已知，则下列选项不正确是()

A.B.C.D.

3.已知点和点关于原点对称，则的值为()

A.B.C.D.

4.把多项式分解因式，结果正确的是()

A.B.C.D.

5.不等式组的解集在数轴上应表示为()

A.B.C.D.

6.下列命题的逆命题正确的是()

A.两条直线平行，内错角相等B.若两个实数相等，则它们的绝对值相等

C.全等三角形的对应角相等D.若两个实数相等，则它们的平方也相等

7.如图，在等边三角形中，，是边上一点，且，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是()

A.B.C.D.

9.如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是()

A.

B.

C.

D.

10.一副三角板如图摆放，点是角三角板的斜边的中点，当角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，在旋转过程中有以下结论：：四边形有可能为正方形；长度的最小值为；四边形的面积保持不变；面积的最大值为其中正确的个数是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.不等式组的整数解为______．

12.已知等腰三角形的两边分别为厘米和厘米，则周长是______厘米．

13.如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则的值为______．

14.如图，，，，若，则的长为______．

15.如图，是边长为的等边三角形，将向右平移得到第个等边三角形，再将向右平移得第个等边三角形，重复以上做法得到第个等边三角形，若在的边上，则的值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

分解因式：

；

；

；

解不等式组；

解不等式组．

17.本小题分

已知，，先因式分解，再求值：．

18.本小题分

如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点．

将向下平移个单位后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为______．

将绕点逆时针旋转后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为______．

在的旋转过程中，求线段扫过图形的面积．

19.本小题分

如图，在中，，、是腰、上的高，交于点．

求证：．

若，求的度数．

20.本小题分

某中学决定开设“足球大课间活动”，准备购买、两种品牌的足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球，需元；购买个品牌足球和个品牌足球，需元．

求、两种品牌足球的单价各多少元？

若学校决定购进品牌的足球不少于个，且此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元，现需要购买两种品牌的足球共个，问有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？

21.本小题分

如图，在中，平分，，于点，点在上，．

求证：．

若，，求的长．

22.本小题分

探究题：特殊情景：

如图，在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．

提示：延长到，使，链接

类比猜想：类比特殊情景，在上述条件下，把“”改成一股情况“，”如图，小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论．

解决问题：如图，在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是中心对称图形．故错误；

B、不是中心对称图形．故正确；

C、是中心对称图形．故错误；

D、是中心对称图形．故错误．

故选：．

根据中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

2.【答案】

【解析】解：，

，故本选项符合题意；

B.，

，故本选项不符合题意；

C.，

，故本选项不符合题意；

D.，，

，故本选项不符合题意；

故选：．

根据不等式的性质逐个判断即可．

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】

【解析】解：点和点关于原点对称，

，

故选：．

平面内关于原点对称的两点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此可得的值．

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．

4.【答案】

【解析】解：，

故选：．

直接提取公因式即可．

此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

5.【答案】

【解析】解：不等式组的解集是，在数轴上可表示为：

故选：．

根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．

本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．

6.【答案】

【解析】解：、两条直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两条直线平行，故本选项正确，符合题意；

B、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，故本选项错误，不符合题意；

C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，故本选项错误，不符合题意；

D、若两个实数相等，则它们的平方也相等的逆命题是若两个实数的平方相等，则它们相等，故本选项错误，不符合题意；

故选：．

利用平行线的性质、实数的性质、全等三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．

考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出为的中线是解题的关键．

由为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，，结合，可得出，进而可得出为的角平分线，再利用等边三角形的三线合一可得出为的中线，结合即可求出的长．

【解答】

解：为等边三角形，

，．

，

，

为的角平分线，

为的中线，

．

故选：．

8.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，即，

所以不等式组的整数解有个整数解为，，

则的范围为．

故选：．

表示出不等式组的解集，由整数解有个，确定出的范围即可．

此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

9.【答案】

【解析】解：函数与的图象相交于点，

关于的不等式的解集是：．

故选：．

利用函数图象得出不等式的解集．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是结合图形得出答案．

10.【答案】

【解析】解：连接，

为中点，，，

，，

．

，，

．

同理，，，

，

在与中，

，

≌，

．

故正确；

当时，四边形是矩形，此时，根据邻边相等的矩形是正方形可知正确；

连接，当为的中点时，，根据边长为知，此时最小，最小值为，故错误；

当、分别为、中点时，四边形是正方形．

≌，

．

故正确；

由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小；

即当时，最小，此时．

；

当面积最大时，此时的面积最小．

此时，

故正确．

故选：．

利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．

此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．

11.【答案】，

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组的解集为，

不等式组的整数解为，，

故答案为：，．

分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

12.【答案】或

【解析】解：当厘米为腰时，由，则，，能构成三角形；此时三角形周长为厘米．

当厘米为腰时，由，则，，能构成三角形，此时三角形周长为厘米．

故答案为：或．

分两种情况厘米为腰时和厘米为腰两种情况，并根据三角形的三边关系和三角形周长的公式即可解答．

本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：、的坐标分别为、将线段平移至，若、的坐标分别为、，

向右平移个单位，向上平移个单位得到，，

，，

，

故答案为：．

根据平移变化的规律解决问题即可．

本题考查的是坐标与图形变化平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：过作，交与点，

，，，

，

，

，

又，

，

又为的外角，

，

在直角三角形中，，，

，

则．

故答案为：．

过作垂直于，由，垂直于，利用角平分线定理得到，由与平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又为角平分线得到一对角相等，等量代换可得，又为三角形的外角，利用三角形外角的性质求出，在直角三角形中，由角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边的长求出的长，即得的长．

此题考查了含角直角三角形的性质，角平分线性质，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．

15.【答案】或

【解析】解：过点作于．

是边长为的等边三角形，，

，，

纵坐标为的点在边上或边上，其垂足是的三等分点．

，，

若在边上，则的值是或．

故答案为：或．

过点作于，先解直角，得，，即纵坐标为的点在边上或边上，其垂足在的三等分点，然后求出，的长度，进而求出的值．

本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，有一定难度．得出在中，纵坐标为的点在边上或边上，其垂足在的三等分点是解题的关键．

16.【答案】解：

；

；

；

，

解，得，

解，得，

原不等式组的解集为；

，

解，得，

解，得，

原不等式组的解集为．

【解析】利用提公因式法分解；

利用平方差公式分解；

利用完全平方公式分解；

先解组中的每一个不等式，再确定不等式组的解集．

本题主要考查了因式分解和解一元一次不等式组，掌握因式分解的方法和一元二次不等式的解法是解决本题的关键．

17.【答案】解：

，

当，时，

原式

．

【解析】先将原式提公因式后再利用完全平方公式进行因式分解，然后代入已知数值进行计算即可．

本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确进行因式分解是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：如图，即为所求，点的坐标为．

故答案为：；

如图，即为所求，点的坐标为．

故答案为：；

，

线段扫过图形的面积．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；

求出，利用扇形的面积公式求解．

本题考查作图旋转变换，平移变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

19.【答案】证明：，

，

、是的两条高线，

，

在和中，

，

≌，

，，

在和中，

，

≌，

；

解：，，

，

．

【解析】首先根据等腰三角形的性质得到，然后利用高线的定义得到，从而得证；

首先求出的度数，进而求出的度数．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．

20.【答案】解：设品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元，

根据题意得：，

解得：．

答：品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元；

设购买个品牌的足球，则购买个品牌的足球，

根据题意得：，

解得：，

又为正整数，

可以为，，，

该校共有种购买方案，

方案：购买个品牌的足球，个品牌的足球，所需总费用为元；

方案：购买个品牌的足球，个品牌的足球，所需总费用为元；

方案：购买个品牌的足球，个品牌的足球，所需总费用为元．

，

为了节约资金，学校应购买个品牌的足球，个品牌的足球．

【解析】设品牌足球的单价是元，品牌足球的单价是元，根据“购买个品牌足球和个品牌足球，需元；购买个品牌足球和个品牌足球，需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

设购买个品牌的足球，则购买个品牌的足球，根据“购进品牌的足球不少于个，且此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量