2022年湘教版八下《菱形的性质》立体课件(公开课版)

第2章四边形

2.6.1菱形的性质学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？平行四边形矩形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角菱形的性质一思考如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?

平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.菱形一组邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.归纳总结活动

在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中

的图形(如图），并回答以下问题:问题1菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?

猜想1菱形的四条边都相等.

猜想2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.

求证:(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD

=BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD,

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD证一证（2）∵AB=AD,

∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可证∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.

角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.因为AC＝6cm，BD＝12cm，所以AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)．典例精析例2如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.

菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．归纳例3如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝

5，则△ABD的周长是(

)A.10B.12C.15D.20C练一练2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.第1题图第2题图6cm思考：菱形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于菱形是平行四边形，因此O做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像是______，点C的像是_____，点D的像是_____，点B的像是_____，边AD的像是_____，边CD的像是_____，边AB的像是_____，边CB的像是_____.点C点A边CD点D点B边AD边CB边AB想一想：你能得到什么结论？菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.菱形的面积二问题1

菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?ABCD思考

前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E问题2

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积=

底×高=

对角线乘积的一半例4如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，所以S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.因为又因为菱形两组对边的距离相等，所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，所以13h＝120，得h＝.

菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．归纳例5如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2

）.A

B

C

D

O

解：∵花坛ABCD是菱形，【变式题】

如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC=×180°=60°，∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB=2cm，∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，

∴BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=AC•BD

=×2×=（cm2）．

菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.归纳练一练如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A.18B.16C.15D.14B3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长

是______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，

则菱形的边长是_______.3cm30°ABCOD5cm(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.44cm(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比为1∶2,那么菱形最短的那条对角线长为_______.8厘米ABCOD4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△CDE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．菱形的性质菱形的性质有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角观察代数式：它们有什么共同的地方呢？这些代数式是由数字与字母，字母与字母相乘得到的单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式单独的一个数或字母也叫单项式。如：2、-1、a

判断：下列各式是不是单项式是不是不是你觉得单项式中对字母有什么要求？字母不能在分母上，字母不能在根号里-ab是合作学习单项式中的数字因数，叫做单项式的系数.在单项式中，所有字母的指数的和，叫做单项式的次数.单项式的系数12+1=3单项式的次数注意1）当一个单项式的系数是-1或1时，“1”通常省略不写。（2)圆周率是常数。填表单项式系数次数2-1521

的系数分别是什么？它们的次数分别是多少？例1：解：系数分别是2，；次数分别是2、3

这些代数式有什么特点？合作学习多项式:组成的代数式几个单项式相加

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。例：的项有常数项是，次数最高的项，这个多项式的次数是；称为。-22二次三项式注意：多项式的每一项都包括它前面的符号多项式的次数不是所有项的次数之和多项式：由几个单项式相加组成的代数式即：单项式+单项式+…（省略加号的和式）例2：项:各项的系数:各项的次数:项数:特殊项:次数:几次几项式:次数最高项二次三项式（次数最高项的次数）常数项不含字母的项项数:次数:二次三项式1.下列代数式中，哪些是整式?哪些是单项式？哪些是多项式？解：属于整式的有：属于单项式的有：属于多项式的有：2.下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？单项式和多项式统称整式.例3：一个花坛的形状如图，它的两端是半径相等的半圆，求:（1）花坛的周长L（2）花坛的面积Sar想一想：，