第十八对数极大似然估计

第十八对数极大似然估计第1页，课件共54页，创作于2023年2月使用对数极大似然估计时，我们用EViews的序列生成器，将样本中各个观测值的对数似然贡献描述为一个未知参数的函数。可以给出似然函数中一个或多个参数的解析微分，也可以让EViews自动计算数值微分。EViews将寻找使得指定的似然函数最大化的参数值，并给出这些参数估计的估计标准差。在本章，我们将详细论述对数极大似然估计，说明其一般特征。并给出了一些可以使用该方法的具体的例子。

第2页，课件共54页，创作于2023年2月§18.1概论用对数极大似然估计来估计一个模型，主要的工作是建立用来求解似然函数的说明文本。用EViews指定对数极大似然函数的说明是很容易的，因为似然函数的说明只是一系列对序列的赋值语句，这些赋值语句在极大化的过程中被反复的计算。我们所要做的只是写下一组语句，在计算时，这些语句将描述一个包含每个观测值对似然函数贡献的序列。第3页，课件共54页，创作于2023年2月首先，我们简单地回顾一下线性回归模型的对数极大似然估计方法。考虑多元线性回归模型的一般形式

t=1,2,…,T(1)其中k是解释变量个数，T是观测值个数，随机扰动项

～，那么服从如下的正态分布：～(2)其中第4页，课件共54页，创作于2023年2月Y的随机抽取的T个样本观测值的联合概率为

(3)这就是变量Y的似然函数。对似然函数求极大值和对对数似然函数求极大值是等价的，对数似然函数为

(4)

第5页，课件共54页，创作于2023年2月注意到，我们能将对数似然函数写成所有观测值t的对数似然贡献和的形式，(5)这里单个贡献由下面的式子给出：(6)

第6页，课件共54页，创作于2023年2月以只含一个解释变量的方程为例。假定知道模型参数的真实值，并且想用EViews产生一个包含每个观测值的贡献的序列。可以将已知的参数赋值给系数向量的c(1)到c(3)元素，然后把下面的赋值语句作为EViews的命令或程序来执行。Seriesres=y-c(1)-c(2)*xSeriesvar=c(3)SerieslogL1=-log(2*3.14159*var)/2-(res^2/var)/2前面两行语句描述了用来存储计算时的中间结果的序列。第一个语句创建了残差序列：res，而第二个语句创建了方差序列：var。而序列logL1包含了每个观测值的对数似然贡献的集合。第7页，课件共54页，创作于2023年2月下面考虑稍复杂的例子，假设数据是由条件异方差回归模型生成的：(18.1)这里，x,y,z是观测序列，而1,2,3,,是模型的参数。有T个观测值的样本的对数似然函数可以写成：

(18.2)这里，是标准正态分布的密度函数。第8页，课件共54页，创作于2023年2月Eviews中的标准正态分布的对数似然函数为，将对数似然函数写成所有观测值

t

的对数似然贡献的和的形式：(18.3)这里每个观测值的贡献由下面的式子给出：(18.4)第9页，课件共54页，创作于2023年2月将这一例子的对数极大似然函数过程写成下面的赋值语句：

Seriesres=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*zSeriesvar=c(4)*z^c(5)SerieslogL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2前面两行语句创建了残差序列res和方差序列var，参数c(1),c(2),c(3)代表了回归系数，c(4)代表了，c(5)代表了，序列logL1包含了每个观测值的对数似然贡献的集合。

第10页，课件共54页，创作于2023年2月现在假定不知道模型参数的真实值，而想使用数据来估计它。参数的极大似然估计被定义为：使得样本中所有随机抽取的一组观测值的联合概率密度，即似然函数取最大值的那组参数值。而对数极大似然方法使得寻找这些极大似然估计变得容易了。只需创建一个新的对数似然对象，把上面的赋值语句输入到logL的说明窗口，然后让EViews来估计这个模型。在输入赋值语句时，只需对上面的文本做两处微小的改动就可以了。首先，把每行开头的关键字series删掉（因为似然说明暗含了假定序列是当前的）。第二，必须在说明中加入额外的一行（它为包含似然贡献的序列命名）。第11页，课件共54页，创作于2023年2月这样，要在logL说明窗口输入下面的内容：@logLlogL1res=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*zvar=c(4)*z^c(5)logL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2对数似然函数的第一行，@logLlogL1，告诉EViews用logL1序列来存储似然贡献。余下的行定义了中间结果的计算和实际的似然贡献的计算。当用EViews估计模型参数时，它将对不同参数值重复执行说明中的赋值语句，使用迭代法来求使得对数似然贡献最大的一组参数值。当EViews再不能提高全部的似然贡献时，它将停止迭代并在估计输出中报告最终参数值和估计标准差。本章下面的部分将更详细地讨论使用似然方法说明，估计和检验时要遵循的规则。

第12页，课件共54页，创作于2023年2月要创建一个似然对象，选择Objects/NewObject.../LogL或者在命令窗口输入“logL”。似然窗口将打开一个空白说明视图。说明视图是一个文本窗口，在这个窗口里可以输入描述统计模型的说明语句，还可以设置控制估计程序各个方面的选项。

一．似然的定义正如概述中所描述的那样，似然说明的主线是一系列赋值语句，在计算时，这些赋值语句将产生一个包含样本中每个观测值的对数似然贡献的序列。赋值语句的多少可以由自己决定。

§18.2似然说明第13页，课件共54页，创作于2023年2月每个似然说明都必须包含一个控制语句，该语句命名了保存似然贡献的序列。语句的格式为：@logLseries_name这里series_name是保存似然贡献的序列的名字，可以写在似然说明的任何位置。如果想在估计完成后删除说明中的一个或多个序列，可以使用@temp语句：@tempseries_name1sereis_name2...这个语句告诉EViews在对说明的计算完成后，删除列表中的序列。如果在logL中创建了许多中间结果，又不愿意工作文件因包含这些结果的序列而弄得混乱的话，那么就删除这些序列。第14页，课件共54页，创作于2023年2月二．参数名在上面的例子中，我们使用了系数c(1)到c(5)作为未知参数的名称。更一般的，出现在说明中一个已命名的系数向量中的每一个元素都将被视为待估参数。例如在条件异方差性的例子中，可以在三个不同的系数向量中选择使用的系数：一个均值方程向量，一个方差方程向量，一个方差参数向量。首先用下面的命令创建三个命名的系数向量：coef(3)betacoef(1)sigmacoef(1)alpha第15页，课件共54页，创作于2023年2月于是可以写出下面的似然说明：@logLlogL1res=y-beta(1)-beta(2)*x-beta(3)*zvar=sigma(1)*z^alpha(1)logL1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2由于说明中的已命名的系数向量的所有元素都将被视为待估参数，必须确定所有的系数确实影响了一个或多个似然贡献的值。如果一个参数对似然没有影响，那么在试图进行参数估计时，将遇到一个奇异错误。应该注意到除了系数元素外所有的对象在估计过程中都将被视为固定的，不可改变的。例如，假定omega是工作文件中一个已命名的标量，如果将子表达式var定义如下：var=omega*z^alpha(1)EViews将不会估计omega。omega的值将被固定在估计的开始值上。

第16页，课件共54页，创作于2023年2月

三．估计的顺序logL说明包含了一个或多个能够产生包含似然贡献的序列的赋值语句。在执行这些赋值语句的时候，EViews总是从顶部到底部执行，所以后面计算要用到的表达式应放在前面。EViews对整个样本重复地计算每个表达式。EViews对模型进行重复计算时采用方程顺序和样本观测值顺序两种不同方式，这样就必须指定采用那种方式，即观测值和方程的执行顺序。

第17页，课件共54页，创作于2023年2月默认情形下，EViews用观测值顺序来计算模型，此种方式是先用第一个观测值来计算所有的赋值语句，接下来是用第二个观测值来计算所有的赋值语句，如此往复，直到估计样本中所有观测值都使用过。这是用观测值顺序来计算递归模型的正确顺序，递归模型中每一个观测值的似然贡献依赖于前面的观测值，例如AR模型或ARCH模型。可以改变计算的顺序，这样EViews就可以用方程顺序来计算模型，先用所有的观测值来计算第一个赋值语句，然后用所有的观测值计算第二个赋值语句，如此往复，对说明中每一个赋值语句都用同样方式进行计算。这是用中间序列的总量统计作为后面计算的输入的模型的正确顺序。可以通过在说明中加入一条语句来声明所选择的计算方法。要用方程顺序来计算，仅加一行关键字“@byeqn”。要用样本顺序来计算，可以用关键字“@byobs”。如果没有给出关键字，那么系统默认为“@byobs”。第18页，课件共54页，创作于2023年2月

例1对于一个普通回归方程（18-1/eq-qgdptc)(18.5)

qgdptc是季度GDP季节调整后序列，ratec是实际利率，m1tc是M1季节调整后序列，其极大似然函数贡献为利用极大似然方法求解，作为@byobs语句的一个例子，考虑下面的说明（18-1/logl-qgdptc)：

第19页，课件共54页，创作于2023年2月@logllogl1@byobsres=log(qgdptc)-c(1)-c(2)*ratec(-3)-c(3)*log(m1tc(-1))var=c(4)logl1=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2@tempresvarlogl1如果在说明中有递归结构，或要求基于中间结果总量统计的计算的条件下，如果想得到正确的结果，就必须选择适当的计算顺序。第20页，课件共54页，创作于2023年2月利用极大似然方法估计出未知参数0，1，2，

2后，写出方程为：(2.43)(-2.3)(17.16)第21页，课件共54页，创作于2023年2月例2我们在12章研究人均家庭交通及通讯支出(CUM)和可支配收入(IN

)的关系，考虑如下方程：cumi

=c0+c1ini

+ui

。为消除方程中的异方差，利用加权最小二乘求解（18-2/eq-w)。也可用同样的处理方法利用极大似然方法求解，作为@byeqn语句的一个例子，考虑下面的说明：

@logLl_w@byeqnres=cum-c(1)-c(2)*invar=c(3)weight=1/abs(res)l_w=-log(2*3.1415926)/2-log(weight*@sqrt(var))-(weight*res)^2/(weight^2*var))/2@tempresvarl_wweight这个说明通过利用残差res建立加权向量weight=1/abs(res)来完成一个加权最小二乘回归。res的赋值语句计算了在每次计算时的残差，而这被用做构造权重序列。@byeqn语句指示EViews在一个给定的迭代过程中，必须先算出所有的残差res，然后再计算残差的加权向量weight。

第22页，课件共54页，创作于2023年2月利用极大似然方法估计出未知参数c0，c1，

2后，写出方程为：(-2656507)(22105600)第23页，课件共54页，创作于2023年2月

四．解析导数默认情形下，当极大化似然函数和形成标准差的估计时，EViews计算似然函数关于参数的数值微分。也可以用@deriv语句为一个或多个导数指定解析表达式，该语句格式为：@derivpname1sname1pname2sname2...这里pname是模型中的一个参数名称，而sname是由模型产生的对应的导数序列的名称。例如@deriva(1)grad1a(2)grad2a(3)grad3grad1=xa/dgrad2=grad1*x1grad3=grad2*x2

第24页，课件共54页，创作于2023年2月五．导数步长如果模型的参数没有指定解析微分，EViews将用数值方法来计算似然函数关于这些参数的导数。在计算导数时的步长由两个参数控制：r

(相对步长)和m（最小步长）。用表示参数在第i次迭代时的值，那么在第i+1次迭代时的步长由下式定义：(18.6)双侧数值微分被定义为：(18.7)

第25页，课件共54页，创作于2023年2月而单侧数值微分则由下式计算：(18.8)这里f是似然函数。双侧导数更加精确，但它要对似然函数进行的计算量大概是单侧导数的两倍，运行时间上也是如此。@derivstep可以用来控制步长和在每次迭代时计算导数的方法。关键字@derivstep后面必须设置三项：被设置的参数名（或用关键字@all代替）；相对步长；最小步长。默认设置（近似的）为：@derivstep(1)@all1.49e-81e-10这里括弧里的“１”表示用的是单侧导数，而@all关键字表示设置的步长适用于所有参数。@all后面第一个数值是相对步长，第二个数值是最小步长。默认的相对步长被设置为1.4910-8，而最小步长为m＝10-10。

第26页，课件共54页，创作于2023年2月§18.3估计一旦定义了一个似然对象，可以用EViews来寻找使得似然函数取最大值的参数值。只需在似然窗口工具栏中单击Estimate就可以打开估计对话框。在这个对话框里有许多用来控制估计过程不同方面的选项。大多数问题使用默认设置就可以。单击OK，EViews将用当前的设置开始估计。

第27页，课件共54页，创作于2023年2月

一．初值由于EViews使用迭代法来求极大似然估计，初值的选择就显得非常重要了。对于似然函数只有一个极大值的问题，只是经过多少次迭代使估计收敛的问题。对于那些多个极大值的似然函数所面临的问题是决定选择极大值中哪一个。在某些情况下，如果不给出合理的初值，EViews将无法作出估计。默认情况下，EViews使用储存在系数向量或估计前的向量中的值。如果在说明中用了@param语句，那么就用语句指定的值来代替。在模型(18-1)的例子中，为均值方程系数赋初值的一个方法是简单的OLS法，这是因为即使在异方差性（有界）存在的条件下，OLS也提供了一致的点估计。为了用OLS估计值作为初值，首先要用下面的命令来估计OLS方程：equationeq1.1sycxz在对这个方程进行估计后，C系数向量中的元素c(1)，c(2)，c(3)将包含OLS估计的结果。第28页，课件共54页，创作于2023年2月要设置c(4)表示OLS估计的残差方差，可以在命令窗口中输入下面的赋值语句：c(4)=eq1.@se^2。可选择地，可以利用简单的赋值语句任意设置参数值：c(4)=0.005现在，如果在执行了OLS估计及其后面的命令后马上估计logl模型的话，那么将用设置在C向量里的值作为初值。象上面我们提到的那样，将参数初始值赋值为已知值的另一种方法是在似然模型说明中加入@param语句。例如，如果在logl的说明中加入了下面的行:@paramc(1)0.1c(2)0.1c(3)0.1c(4)0.005那么EViews会将初值设置为:c(1)=c(2)=c(3)=0.1，c(4)=0.005。第29页，课件共54页，创作于2023年2月

二．估计样本在估计对数似然函数的参数时，EViews就在EstimationOption对话框里指定了将使用的观测值的样本。EViews在当前参数值下，将使用观测值顺序或方程顺序用样本中的每一个观测值来对logl中每个表达式进行计算。所有这些计算都服从于EViews中关于序列表达式计算的规则。如果在对数似然序列的初始参数值中有缺少值，EViews将发出错误信息而估计过程也将终止。相对于其他的EViews内部过程的处理方式，在估计模型参数时logl估计不能进行终点调整或是去掉那些欠缺值的观测值。

第30页，课件共54页，创作于2023年2月§18.4LogL视图

(1)likelihoodSpecification:显示定义和编辑似然说明的窗口。(2)EstimationOutput:显示通过最大化似然函数得到的估计结果。(3)CovarianceMatrix:显示参数估计的协方差矩阵。这是通过计算在最优参数值下一阶导数的外积的和的逆求得的。可以用@cov这个函数将其保存为(SYM)矩阵。(4)WaldCoefficientTest:执行Wald系数限制检验。参看第15章，系数检验，关于Wald检验的讨论。

第31页，课件共54页，创作于2023年2月(5)Gradients:如果模型没有被估计，显示当前参数值下logL的梯度（一阶导数）视图，若模型已经被估计，则显示收敛的参数值下logL的梯度视图。当你处理收敛问题时，这些图将成为有用的鉴别工具。(6)

CheckDerivatives:如果使用了@param语句，显示在初值下数值微分和解析微分（如果可获得）的值，如果没有使用@param语句，则给出在当前值下数值微分和解析微分的值，以及用模型中所有样本计算的每个系数数值微分的和。

第32页，课件共54页，创作于2023年2月§18.5LogL过程

(1)Estimate:弹出一个设置估计选项的对话框，并估计对数似然函数的参数。(2)MakeModel:建立一个估计对数似然函数说明的未命名的模型对象。(3)MakeGradientGroup:在参数估计值下创建一个未命名的对数似然函数的梯度组（一阶导数）。这些梯度常用来构造拉格朗日乘数检验。(4)UpdateCoefsfromLogL:用似然函数对象得出的估计值来更新系数向量。该过程让你可以将极大似然估计结果作为其他估计问题的初始值。大多数这些过程和EViews的其他估计对象相似。下面我们将着重介绍LogL对象所独有的特征。

第33页，课件共54页，创作于2023年2月

1．估计输出LogL对象的标准输出除了包含系数和标准差估计外，还描述了估计的方法，估计使用的样本，估计的日期和时间，计算顺序以及估计过程收敛的信息,EViews还提供了对数似然函数值，平均对数似然函数值，系数个数以及三个信息标准。

第34页，课件共54页，创作于2023年2月

2．梯度梯度表格视图可以检查似然函数的梯度。如果模型尚未估计，那么就在当前参数值下计算梯度，若模型已经估计出来了，就在收敛的参数值下计算。

视图在处理收敛性或奇点问题时是一个有用的鉴别工具。一个常见的问题是，由错误的定义似然过程，不恰当的初值，或是模型不可识别等导致某个参数的导数为零可能产生奇异矩阵。

第35页，课件共54页，创作于2023年2月

3．检查导数可以用CheckDerivatives视图来检查数值微分或是解析微分表达式的是否有效。如果在对数似然函数说明中包含了@param语句，那么将用指定的值来计算导数，否则将用当前系数值来计算导数。该视图的第一部分列出了用户提供的导数的名称，步长参数和计算导数时使用的系数值。本例中列出的相对步长和最小步长都是默认设置。第二部分用模型中所有样本计算了每个系数的数值微分的和，如果可能的话，还要计算解析微分的和。第36页，课件共54页，创作于2023年2月§18.6问题解答

由于logL对象的极大的灵活性，在使用对数似然方法进行估计时比使用其他EViews的内部估计方法更容易出错。如果在估计时遇到了困难，下面的建议将帮助解决这些问题：

(1)检查似然说明

一个简单错误包括错误符号就可以使估计过程停止工作。必须检查模型的每个参数是否确实定义了（在某些说明中可能不得不将参数标准化）。另外，模型中出现的每个参数必须直接的或间接的影响似然贡献。CheckDerivatives视图可以部分的解决后者的问题。

第37页，课件共54页，创作于2023年2月

(2)选择初值如果由于缺失值或数学运算域错误（对负数取对数或取平方根，除数为零等等）导致样本中似然贡献无法评价，那么将立刻停止估计并给出错误信息：“Cannotcompute@loglduetomissingvalues(由于缺失值无法计算@logL)”。另外，选择的初值不恰当也可能使似然函数效果不理想。应该给参数一个合理的初值。如果有一个近似求解该问题的简单的估计技术，可以把由该方法得到的估计值作为极大似然估计的初值。

(3)检查导数如果使用解析微分，使用CheckDerivatives视图来确认是否已经正确的标记了导数。如果使用的是数值微分，就要考虑指定解析微分或是调整导数方法或步长选项。

第38页，课件共54页，创作于2023年2月

(4)估计前正确地处理滞后值问题和其他EViews估计程序相比，在估计一个对数似然模型时，logL估计程序不会用NA或滞后形式从样本中自动去掉某个观测值。如果似然说明包含滞后值，必须从估计样本的开始值中去掉一些观测值，或者必须对说明作出标记从而使前面样本中的错误值不会影响到整个样本（参见AR(1)和GARCH模型的示例）。既然用来评价似然函数的序列包含在工作文件中（除非使用了@temp语句删除它们），那么可以利用这些中间结果序列来检验对数似然和中间序列的值，以发现滞后和缺值的问题。

第39页，课件共54页，创作于2023年2月

(5)修正模型参数如果有导致数学错误的参数值的问题，可以考虑修正模型参数以将之限制在其有效域内。我们看到的大多数估计过程中的错误信息本身具有解释。而错误信息“nearsingularmatrix(近似奇异矩阵)”却不是很明确的。当EViews不能求由导数外积的和构成的矩阵的逆以致不能决定最优化过程下一步的方向时，就给出这个错误信息。这个错误可能意味着各种类型的错误，其中包括不适当的初值，但是当在理论上或对有效数据，模型不可识别时，几乎总是出现这种错误。

第40页，课件共54页，创作于2023年2月§18.7限制

必须注意对数似然中估计参数使用的算法并不是对任意的问题都适用的。在似然贡献的导数的外积的和的基础上，该算法给出了对数似然函数的Hessian矩阵的近似值。该近似值是建立在极大似然目标函数的函数形式和统计特性的基础之上的，而且在一般条件它并不是一个理想的近似值。因此，可能或不可能用其他函数形式来获得结果。此外，只有当描述似然贡献的序列，其单个贡献都被正确的设定并具有好的理论对数似然定义时，参数值的标准差才有意义。现在，用来描述似然贡献的表达式必须遵守EViews关于序列表达式的规则。这些限制暗示我们不能在似然说明中使用矩阵运算。为了写出联立方程模型的似然函数，必须写出行列式和二次型的表达式。对于那些多于三个方程的模型而言，这样做尽管是可能的，但会很繁琐。这种情况的例子参见多元GARCH程序。另外，对数似然方法不能直接处理一般的不等式约束的最优化问题。

第41页，课件共54页，创作于2023年2月§18.8实例

一、AR(1)模型的极大似然函数一阶自回归过程有如下形式，记作AR(1)：

(18.9)～在此情形下，总体参数向量为。首先考察样本中第一个观察值y1的概率分布。由于在时，存在一个满足(18.9)的协方差平稳过程，此时，，所以，第一个观察值的密度函数形如(18.10)

第42页，课件共54页，创作于2023年2月接下来考虑第二个观察值Y2在观察到的Y1=y1条件下的分布。由(18.9)(18.11)可以将随机变量Y1视做确定性常数y1。在此情形下，(18.11)给出Y2作为常数和随机变量的和。因此～，(18.12)一般地，只通过Yt-1

对Yt起作用，第t个观察值以前t-1个观察值为条件的分布为：

(18.13)第43页，课件共54页，创作于2023年2月完全样本的似然函数为

(18.14)其对数似然函数（记作log）可由(18.14)取对数求得：(18.15)将(18.10)和(18.14)代入(18.15)，由AR(1)过程得到一个样本量为T的样本的对数似然为(18.16)第44页，课件共54页，创作于2023年2月

例3AR(1)模型的极大似然估计

（18-ar1)

我们用数据生成过程生成Y，其中t是一个白噪声过程，即t～。AR(1)过程的样本量为T的对数似然函数为(18.16)式，总体参数向量为。利用极大似然估计方法估计的AR(1)模型:@LOGLLOGL1@PARAMC(1)-0.5RHO(1)0.85RES=@RECODE(D1=1,Y-C(1)/(1-RHO(1)),Y-C(1)-RHO(1)*Y(-1))VAR=@RECODE(D1=1,S2(1)/(1-RHO(1)^2),S2(1))SRES=RES/@SQRT(VAR)LOGL1=LOG(@DNORM(SRES))-LOG(VAR)/2@TEMPRESVARSRESLOGL1

其中@RECODE函数的第1个参数是条件，如果满足，执行第2个表达式；否则执行第3个表达式。第45页，课件共54页，创作于2023年2月AR(1)模型的表达式为：（-3.05)(17.22)第46页，课件共54页，创作于2023年2月

二、GARCH（1,1）的极大似然函数标准的GARCH（p,q）模型的形式为：(18.16)要想写出GARCH（p,q）模型的极大似然函数，首先要分析扰动项ut

的密度函数。为了方便起见，我们对方程(18.16)采用另外一种方法来表示，它对ut的序列相关施以更强的假定。假定；(18.17)这里，{vt}是一个i.i.d.序列，其均值为0，方差为1：第47页，课件共54页，创作于2023年2月如果ht的变化服从(18.18)那么(18.17)意味着，(18.19)因此，如果ut是由(18.17)和(18.18)产生的话，那么ut服从GARCH（p,q）过程，并且线性投影(18.19)是其条件期望。如果vt

～N(0,1)，yt的条件分布为正态分布，其均值为，方差为ht，则其密度函数为:(18.20)式中Yt-1表示

t

-1时刻前的信息集合，第48页，课件共54页，创作于2023年2月(18.21)将欲估计的未知参数列成一个向量：则样本对数似然函数是(18.22)

第49页，课件共54页，创作于2023年2月但是，很多金融时间序列的无条件分布不同于正态分布，它们具有更宽的尾部，也就是说，即使(18.17)中的vt为正态分布，ut的无条件分布也是一个非正态分布。大量事实表明，ut的条件分布也常常是非正态的。对于非正态分布可以使用原来的基本方法。例如，博勒斯莱文（1987）认为(18.17)中的vt可以取自一个自由度为k