简单回归与相关讲课

简单回归与相关讲课第1页，课件共51页，创作于2023年2月由样本观察值求得的样本回归方程为在平面直角坐标系中此方程的图形是一条直线，其斜率为b，在y轴上的位置由a确定，见图10.5。一、回归方程（10.13）其中a是α的估计值，b是β的估计值。第2页，课件共51页，创作于2023年2月第3页，课件共51页，创作于2023年2月第4页，课件共51页，创作于2023年2月(1)离差平方和最小。点距直线的距离(平行于y轴的距离)之和与下方各实际观察点距直线的距离之和相等。的平均值应等于。。(2)，即回归直线上方各实际观察如此求得的回归方程有3个特性据此可知如果在X＝x处进行多次试验，观察值第5页，课件共51页，创作于2023年2月(3)回归直线必经过点，也就是说当第6页，课件共51页，创作于2023年2月某地连续几年测定3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值与一代三化螟盛发期的关系如下：旬平均温度累积值(℃)34.534.131.740.336.840.231.739.244.2一代三化螟盛发期(天)12169273139－1以5月10日为0。试求盛发期对温度累计值的一元线性回归方程。例10.7第7页，课件共51页，创作于2023年2月旬平均温度累积值可以测量和计算，虽然也有误差，但较小。一代三化螟盛发期与旬平均温度累积值之间可能有因果关系，前者是果后者是因。并且盛发期还受其它许多因素影响，有较大的随机误差。因此，此资料基本符合回归模型的要求，可做回归分析。

解：以温度累积值为X，盛发期为Y，得相关计算表。第8页，课件共51页，创作于2023年2月表10.3温度累积值x(℃)与盛发期y(天)的相关计算表xyx2y2xy34.5121190.25144414.034.1161162.81256545.631.791004.8981285.340.321624.09480.636.871354.2449257.640.231616.049120.631.7131004.89169412.139.291536.6481352.844.2－11953.641－44.2∑333.77012517.497942436.4第9页，课件共51页，创作于2023年2月第10页，课件共51页，创作于2023年2月第11页，课件共51页，创作于2023年2月得一元线性回归方程其中回归系数的意义为：旬平均温度累积值每增加1℃，一代三化螟盛发期平均将提前1.0996天；

回归截距的意义为：旬平均温度累积值为0时，一代三代螟的平均盛发期。第12页，课件共51页，创作于2023年2月也可将回归方程用图形表示。因为两点决定一条直线，所以只要取一大一小两个x值代人回归方程求出相应的值，根据点和更简单的方法是根据回归方程的特性(3),直接例10.7的回归直线及实际观察点示于图10.6。即可绘出回归直线。用(0，a)和两个点绘出回归直线。第13页，课件共51页，创作于2023年2月第14页，课件共51页，创作于2023年2月二、回归方程的假设测验根据样本观察值求出的一元线性回归方程

是总体回归方程的一个估计。由抽样误差的存在，样本回归方程的不等于总体回归方程也成立。

因此,必须通过对样本回归方程的假设测验来判断其所估计的总体回归方程是否成立。第15页，课件共51页，创作于2023年2月

1．回归的估计标准误

离差平方和Q是回归估计值与实测值

吻合程度的度量，因为计算回归方程用了a和b两个统计数，所以其自由度。

定义（10.18）为回归的估计标准误，也称离差标准误。第16页，课件共51页，创作于2023年2月实际上Y变数的平方和SSy可以分解为

和

两部分。前者由Y对X的回归引起，称回归平方和记为U，有1个自由度。后者即离差平方和，它反映了实际观察值Y对回归估计值的偏离，因此也称离回归平方和。第17页，课件共51页，创作于2023年2月直接计算离差平方和既麻烦又易引入计算误差，

所以一般可用下面4式之一来求（10.19A）（10.19B）（10.19C）（10.19D）第18页，课件共51页，创作于2023年2月[例10.8]试求例10.7中Q和。第19页，课件共51页，创作于2023年2月用式(10.19)计算分别为显然以(10.19A)的最为精确。第20页，课件共51页，创作于2023年2月=3.266天的统计意义为在±3.266天的天的范围内大约有95.45％的观察点。范围内大约有68.27％的观察点，在多±6.532第21页，课件共51页，创作于2023年2月对一元线性回归方程进行t测验的统计假设为回归系数的标误为：（10.20）服从自由度的t分布。2．t测验第22页，课件共51页，创作于2023年2月b显著，可用于估计总体回归系数。表示总体回归方程不存在，样本回归方表示总体回归方程成立，样本回归系数。

程不显著没有意义。第23页，课件共51页，创作于2023年2月对例10.7的回归方程进行t测验。（3）（2）α=0.05查，现[例10.9]解：（1），表明在第24页，课件共51页，创作于2023年2月无效假设的总体中获得现样本的概率＜0.05。(4)接受备择假设总体回归方程存在，b＝－1.0996天／℃是总体，3月下旬到4月中旬旬平均温度累积值与一代三化螟盛发期之间的回归系数β的估计值。第25页，课件共51页，创作于2023年2月已知Y变数的平方和可分解为回归与离差两部分，各有1和n-2个自由度，因此可用F测验来测验统计假设。。不存在，样本回归方程无意义。在，样本回归方程是总体回归方程的估计。3．F测验表示回归变异不显著，总体回归方程表示回归变异显著，总体回归方程存第26页，课件共51页，创作于2023年2月对例10.7的回归方程进行F测验。F测验的结果见表10.5。[例10.10]因此解：已知SSy=249.5556Q=74.667第27页，课件共51页，创作于2023年2月表10.5例10.7资料的回归关系测验变异来源DFSSMSFF0.05回归1174.8886174.888616.405.59离回归774.667010.6667总变异8249.5556结果表明3月下旬到4月中旬旬平均温度累积值与一代三化螟盛发期之间存在总体回归方程，其估计为。。第28页，课件共51页，创作于2023年2月因为符合回归模型要求的资料总是符合相关模型的要求，所以回归分析中也可以计算相关系数。对于一元线性回归而言，相关系数即标准化的回归系数。4．相关系数法即意味着设测验可借用对相关系数的假设测验完成。，因此对回归方程的假第29页，课件共51页，创作于2023年2月解：已知SSx=144．6356，SSy=249.5556，[例10.11]对例10.7的回归方程用相关系数法进行假设测验。SP=-159.0444，于是有查，现，表明总体相。

第30页，课件共51页，创作于2023年2月也即总体回归系数。关系数据此可判断总体回归方程成立，样本回归系数b＝－1.0996天／℃是总体回归系数的估计。对于一元线性回归分析而言，t测验、F测验和相关系数测验的结论是一致的。第31页，课件共51页，创作于2023年2月

t测验和相关系数测验的关系已如前述，至于F测验，虽然直接测验的是回归变异，但因为回归方程中只有一个回归系数,所以回归变异显著也必然意味着回归系数显著。反之，如果t测验或相关系数测验表明回归系数或相关系数显著，必然意味着回归变异显著。第32页，课件共51页，创作于2023年2月前面说到的从回归分析中可获得相关分析的信息和从相关分析中也可获得回归分析的信息正是就此而言的。在实际分析中，回归方程的3种测验方法可任选其一。第33页，课件共51页，创作于2023年2月由于抽样误差的存在，经假设测验表明显著的回归方程可用来进行回归预测和回归控制。

1．回归预测

回归预测是指根据回归方程来预测当X＝x时Y，它是此时Y的总体平均值三、回归预测和控制的平均值的点估计值。也必然受到影响，其第34页，课件共51页，创作于2023年2月估计标准误为（10.23）据此可估计的1-α置信度的置信区间第35页，课件共51页，创作于2023年2月如果要估计当X＝x时Y的个别值y的置信区间，要用到y的估计标准误（10.26）然后（10.25）第36页，课件共51页，创作于2023年2月显然对同一总体而言，和置信区间都随x的不同而不同，当时都最小，与相差越大，也越大，这说明预测的精确度与x的选取有关。又都随n和因此，增加观测点数n和扩大X变数的取值范围和和以及相应的和同时，的增加而减少，也能提高预测的精确度。第37页，课件共51页，创作于2023年2月

(1)当3月下旬到4月中旬旬平均温累积值为40℃时，一代三化螟的平均盛发期95％的置信区间；

(2)某年某地3月下旬到4月中旬旬平均温度为40℃时，该年该地一代三化螟的盛发期95％的置信区间。[例10.13]试根据例10.7的回归方程估计：第38页，课件共51页，创作于2023年2月(2)是估计x＝40时的总体个别值y。解：根据(10.23)有(1)是估计x＝40时的总体平均数；第39页，课件共51页，创作于2023年2月所以95％的置信限为：根据(10.25)有第40页，课件共51页，创作于2023年2月如果实践中经常需要根据X的变化来估计Y的变所以Y95％的置信区间为其置信限绘成图。值及化及其置信限时，可将不同的x所对应的第41页，课件共51页，创作于2023年2月第42页，课件共51页，创作于2023年2月回归控制(regressioncontrol)是回归预测的反向应用，指希望Y＝y时根据回归方程来估计X应为多少。2．回归控制根据(10.13)当Y＝y时应有（10.27）此为X的点估计。第43页，课件共51页，创作于2023年2月代人(10.23)计算如要做区间估计，应将此然后为X的1-α置信度的置信限。（10.28）第44页，课件共51页，创作于2023年2月如果希望Y在区间(y1，y2)以内，则有（10.29）即X应控制在区间()以内(b＞0)或区如果要求此区间有1-α置信度，那么(设b＞0)间()以内(b＜0)。第45页，课件共51页，创作于2023年2月（10.30）和分别是代入求出的。其中第46页，课件共51页，创作于2023年2月已知某水稻品种移栽至齐穗所需时间X(天)与同回归标准误试求(1)预报某年同期积温为1500℃时，移栽至齐穗所需天数的95％置信区间；[例10.14]期积温Y(℃)的线性回归方程为第47页，课件共51页，