第四节函数项级数与幂级数

第四节函数项级数与幂级数第1页，课件共27页，创作于2023年2月PowerPoint统计学2第2页，课件共27页，创作于2023年2月第七章无穷级数

第3页，课件共27页，创作于2023年2月7.1常数项级数的概念与性质7.2

正项级数7.3

任意项级数7.4

函数项级数与幂级数7.5

函数展开成幂级数7.6

函数的幂级数展开式的应用7.7函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质7.8傅里叶级数7.9正弦级数与余弦级数7.10以2l为周期的周期函数的傅里叶级数目录4第4页，课件共27页，创作于2023年2月学习的基本要求和预期目标

1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2）熟悉几何级数与级数的收敛性。

3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用根式审敛法。

4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。

5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。

6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。5第5页，课件共27页，创作于2023年2月学习的基本要求和预期目标

8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。

10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。

11)了解幂级数在近似计算中的简单应用。

12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。6第6页，课件共27页，创作于2023年2月7.4.1函数项级数的概念7.4.4幂级数及其收敛性7.4

函数项级数与幂级数7.4.2函数项级数的一致收敛及其判别法7.4.5幂级数的运算与和7.4.3一致收敛级数的性质7第7页，课件共27页，创作于2023年2月7.4.1函数项级数的概念7.4

函数项级数与幂级数定义4.1如果ui(x)(i=1，2，···，n，···)

是定义在I上函数列，则u1(x)+u2(x)

u3(x)

···

un(x)

···称为定义在I上的函数项无穷级数，简称函数项级数。例如，几何级数就是定义在区间(-1,1)上的函数项级数。例如，几何级数就是定义在区间(-∞,+∞)上的函数项级数。8第8页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数定义4.2设x0∊I，且收敛，则称函数项级数在该点收敛，称x0为函数项级数的收敛点，而所有收敛点的集合称为收敛域。如果发散，称函数项级数在该点发散，称x0为函数项级数的发散点，而所有发散点的集合称为发散域。在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),称s(x)为函数项级数的和函数，其定义域就是级数的收敛域，并写成9第9页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数定义4.3函数项级数的前n项和记为sn(x),余项记为rn(x)，则在收敛域内例4.1求级数的收敛域收敛域(-∞,-2)[0,+∞)10第10页，课件共27页，创作于2023年2月7.4.2函数项级数的一致收敛及其判别法7.4

函数项级数与幂级数定义4.4设{sn(x)}

是定义在I上函数列，如果对于任意的正数ε>0，总存在正整数N(仅与ε有关)，使对于一切n>N，以及I上的一切x，恒有|sn(x)-s(x)|<ε，则称函数列{si(x)}

在I上的一致收敛于函数s(x)。注:函数在[-1,1]以及区间(-∞,+∞)上并不一致收敛。例4.2

证明函数在区间(-a,a)(0<a<1)上一致收敛于11第11页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数例4.3

证明级数在区间(-a,a)上一致收敛(0<a<1)，在(-1,1)内不一致收敛。定义4.5设{sn(x)}

是级数的部分和序列，如果序列{sn(x)}

在I上一致收敛于函数s(x)，则称该级数在I上一致收敛于函数s(x)。12第12页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数定理4.1(魏尔斯特拉斯Weierstrass定理)

魏尔斯特拉斯德国数学家.1815─1897如果函数项级数

在区间I上满足条件：则函数项级数

在I上一致收敛。收敛例4.4证明级数在区间(-∞,+∞)上一致收敛。13第13页，课件共27页，创作于2023年2月7.4.3一致收敛级数的性质7.4

函数项级数与幂级数定理4.2如果级数的每一项un(x)在I上连续，且该级数一致收敛于和函数s(x)，则函数s(x)在I上也连续．定理4.3如果级数

在区间I上收敛于和函数s(x)，每一项具有连续的可导u'(x)，且

在区间I上一致收敛,则级数在区间I上的一致收敛和函数s(x)可微，并且可逐项求导：14第14页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数其中，a≦x0≦x≦b，并且上式右端级数在[a,b]上一致收敛．定理4.4如果级数的每一项un(x)在[a,b]上连续，且该级数一致收敛于和函数s(x)，则函数s(x)在[a,b]上可积,且可以逐项求积．15第15页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数7.4.4幂级数及其收敛性定义4.6形如的函数项级数称为(x-x0)的幂级数；若取x=0，则级数收敛。说明至少有一个收敛点若令t=x-x0，则级数形如的函数项级数称为x的幂级数。16第16页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数定理4.5(阿贝尔Abel定理)

如果幂级数

在点x0处收敛,则对满足不等式|x|<|x0|的x处幂级数绝对收敛；如果幂级数

在点x0处发散,则对满足不等式|x|>|x0|的x处幂级数发散。阿贝尔挪威数学家.1802─182917第17页，课件共27页，创作于2023年2月几何说明收敛区域发散区域发散区域说明：存在点x*，使得当|x|<|x*|时级数绝对收敛，当|x|>|x*|时级数发散。7.4

函数项级数与幂级数定义4.7记R=|x*|称为幂级数的收敛半径，(-R,R)称为收敛区间。可能的收敛域为：[-R,R]、(-R,R]、[-R,R)、(-R,R)。18第18页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数注;

若0<<+∞，则

若=0，则R=+∞若=+∞，则R=0定理4.6设幂级数，且an≠0，设或19第19页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数举例例4.5求下列幂级数的敛散半径与收敛域20第20页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数7.4.4幂级数的运算及其性质记R=min{R1，R2}，则在(-R,R)内注：定理只给出了等式右边级数在(-R,R)内收敛，但不一定是收敛域。定理4.7设幂级数，的收敛半径分别是R1和R221第21页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数定理4.8设幂级数的收敛半径是R(R>0)，则收敛和函数s(x)在区间(-R,R)内连续．如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛，则和函数s(x)在(-R,R](或[-R,R))连续．定理4.9设幂级数的收敛半径是R，则收敛和s(x)在区间(-R,R)内可导．且可逐项求导：注：逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径，但在端点的敛散性可能会发生改变．22第22页，课件共27页，创作于2023年2月7.4

函数项级数与幂级数定理4.10设幂级数的收敛半径是R，则收敛和s(x)在区间(-R,R)内可积．且可逐项求积：注：逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径，但在端点的敛散性