线性代数第二章节

线性代数第二章节课件第1页，课件共49页，创作于2023年2月§1

矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换第2页，课件共49页，创作于2023年2月√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入第3页，课件共49页，创作于2023年2月为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.第4页，课件共49页，创作于2023年2月其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第5页，课件共49页，创作于2023年2月

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作二、矩阵的定义第6页，课件共49页，创作于2023年2月简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.第7页，课件共49页，创作于2023年2月行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式第8页，课件共49页，创作于2023年2月行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：三、特殊的矩阵第9页，课件共49页，创作于2023年2月形如的方阵称为对角阵．

特别的，方阵称为单位阵．记作记作．第10页，课件共49页，创作于2023年2月同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.第11页，课件共49页，创作于2023年2月注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如第12页，课件共49页，创作于2023年2月表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.四、矩阵与线性变换

n个变量与m

个变量之间的关系式第13页，课件共49页，创作于2023年2月系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.第14页，课件共49页，创作于2023年2月例线性变换称为恒等变换.对应

单位阵

En第15页，课件共49页，创作于2023年2月对应投影变换例

2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j

角的旋转变换例

2阶方阵第16页，课件共49页，创作于2023年2月§2

矩阵的运算第17页，课件共49页，创作于2023年2月例

某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第

j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j

种货物的数量．第18页，课件共49页，创作于2023年2月解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量第19页，课件共49页，创作于2023年2月一、矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.第20页，课件共49页，创作于2023年2月知识点比较第21页，课件共49页，创作于2023年2月交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然第22页，课件共49页，创作于2023年2月设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第23页，课件共49页，创作于2023年2月解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第24页，课件共49页，创作于2023年2月二、数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为第25页，课件共49页，创作于2023年2月结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.第26页，课件共49页，创作于2023年2月知识点比较第27页，课件共49页，创作于2023年2月其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．第28页，课件共49页，创作于2023年2月解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第29页，课件共49页，创作于2023年2月可用矩阵表示为一般地，第30页，课件共49页，创作于2023年2月一、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．第31页，课件共49页，创作于2023年2月例：设则第32页，课件共49页，创作于2023年2月知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.第33页，课件共49页，创作于2023年2月例P.35例5

结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．第34页，课件共49页，创作于2023年2月矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律(3)

乘法对加法的分配律(2)

数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵第35页，课件共49页，创作于2023年2月(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立第36页，课件共49页，创作于2023年2月四、矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例第37页，课件共49页，创作于2023年2月转置矩阵的运算性质第38页，课件共49页，创作于2023年2月例：已知解法1第39页，课件共49页，创作于2023年2月解法2第40页，课件共49页，创作于2023年2月定义：设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵第41页，课件共49页，创作于2023年2月例：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．第42页，课件共49页，创作于2023年2月五、方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质第43页，课件共49页，创作于2023年2月证明：要使得|AB|=|A||B|

有意义，A、B

必为同阶方阵，假设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我们以

n=3为例，构造一个6阶行列式第44页，课件共49页，创作于2023年2月第45页，课件共49页，创作于2023年2月第46页，课件共49页，创作于2