广西壮族自治区南宁市七十二综合中学2022年高二数学理期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市七十二综合中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是(

)。A

(－2，4)

B

(2，－4)

C

(－1，2)

D

(1，2)参考答案：D略2.已知为等差数列，若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e的范围．【解答】解：在双曲线中，令x=﹣c得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选D．4.若函数，当时，恒成立，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A5.若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数，求出y=3x﹣x3的极值，由此结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令y′=0，得x=±1，∵x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0；x∈（﹣1，1）时，y′＞0；x∈（1，+∞）时，y′＜0．∴当x=1时，y取极大值2，当x=﹣1时，y取极小值﹣2，∵直线y=m与y=3x﹣x2的图象有三个不同交点∴m的取值范围为﹣2＜m＜2．故选：A．6.设集合A=｛x|1＜x＜2｝，B=｛x|x＜a｝满足AB，则实数a的取值范围是（

）

A．｛a｜a≥2｝

B．｛a｜a≤1｝

C.｛a｜a≥1｝．

D.｛a｜a≤2｝．参考答案：A7.如图所示的算法流程图中（注：“”也可写成“”或“”,均表示赋值语句），第3个输出的数是（

）A．1

B．C．

D．参考答案：C8.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选D．9.已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2﹣垂直，则k的值为（）A．B．1C．D．参考答案：D8.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（

）A．48+12

B．48+24

C．36+12

D．36+24参考答案：A.棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为

．参考答案：2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+，可得：f（x）min=7，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+，可得：f（x）min=7，则f′（x）=2﹣=，当且仅当x=a+1时，f（x）取得最小值，f（a+1）=2a+3=7，解得a=2．∴实数a的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是_________。参考答案：略13.设是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，且,则点P到x轴的距离为

．参考答案：14.等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则

．参考答案：27等差数列{an}中，，根据等差数列的性质得到故答案为：27.

15.双曲线x2－＝1的渐近线被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0所截得的弦长为________。参考答案：416.如果三个球的表面积之比是，那么它们的体积之比是__________．参考答案：∵三个球的表面积之比是，∴三个球的半径之比是，∴三个球的体积之比是．17.在正方体中，与对角线异面的棱有

条.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成—般式(1)经过点且倾斜角;(2)经过点A(-1，0)和B(2，-3)．参考答案：19.设函数(为自然对数的底数)，（）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：（Ⅰ）证明：设，所以．当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均有．即，所以．（Ⅱ）当时，．用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知；②假设当（）时，对任意均有，令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，，即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有,即对任意，有，这就是说，当时，对任意，也有．由①,②知，当时，都有．（Ⅲ）证明1：先证对任意正整数，．由（Ⅱ）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当时，成立，所以不等式（*）成立．②假设当（）时，不等式（*）成立，即．则．

,这说明当时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因为，，……，，将以上个不等式相乘，得．所以对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．20.（本小题满分12分）

实数m分别取什么数值或范围时，复数（1）与复数相等；（2）与复数互为共轭；（3）对应的点在x轴上方。参考答案：

21.已知直线经过点，(1)求与原点距离等于的直线的方程；(2)求在两坐标轴上截距相等的直线的方程.参考答案：（1）或；（2）或【分析】（1）分斜率存在与斜率不存在两种情况，根据点到直线距离公式，即可得出结果；（2）分截距为0与截距不为0两种情况，再由点坐标，即可得出结果.【详解】因为直线经过点，（1）当斜率不存在时，易得，显然满足题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即，因为直线与原点距离等于2，所以有，解得，此时，整理得；故所求直线方程为或；（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线过原点，所以此时直线方程为，即；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，由题意可设所求直线方程为，所以，即，所以，故所求直线方程为或.【点睛】本题主要考查直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.22.四棱锥，底面为平行四边形，侧面底面.已知，，，为线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求面与面所成二面角的平面角的余弦值大小.参考答案：（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）试题分析：(Ⅰ)要证直线与平面平行，可先寻求直线与直线平行；连结交于点，连结，可证.(Ⅱ)由，，,可得,根据余弦定理得:==

和都是等腰三角形,再借助于侧面底面,以所在直线为轴,以的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系即可.试题解析：解：(Ⅰ)连结交于点，连结

由于底面为平行四边形

为的中点.

2分在中，为的中点

3分又因为面，面，平面.