山西省大同市灵丘县上寨镇上寨中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山西省大同市灵丘县上寨镇上寨中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于(

) A．{x|0＜x≤1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x＜2}参考答案：B考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：利用二次不等式求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，然后求解它们的交集．解答： 解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2.已知向量满足，且，则向量的夹角为(

)A. B. C. D.参考答案：C

得，即，解得向量的夹角为知识点：向量内积的运算

难度：23.运行如左下图所示的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是

（

）

A.120 B.720 C.1440 D.5040

参考答案：B【知识点】算法与程序.

L1

L2解析：程序运行的过程为：（1）p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5;(5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,这时不满足，所以输出的p是720 ，故选B.【思路点拨】根据程序描述的意义，依次写出每次循环的结果即可.4.已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是参考答案：C5.在等差数列中，若，，则（

）

A．6

B．8

C．10

D．7参考答案：B略6.已知函数的图象的一个对称中心为,则函数的单调递减区间是(A)Z

(B)Z

(C)Z

(D)Z参考答案：D=0，得：，所以，，由，得的单调递减区间是Z7.已知实数，曲线为参数，）上的点A（2，），圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆的半径，则=（

）A．4

B．６Ｃ．８Ｄ．１０参考答案：C8.定义在R上的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.设是等差数列的前项和，若，则等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.给出下列命题：向量，满足，则，的夹角为；是〈，〉为锐角的充要条件；将函数的图象按向量平移，得到函数的图象；若，则为等腰三角形。以上命题正确的个数是

（）A、1个

B、2个

C、3个

D、4个参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为

参考答案：

12.

若函数满足且时，，则函数的图象与图象交点个数为

．参考答案：略13.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为

．参考答案：3略14.函数f(x)=Asin((A,为常数，A>0，,|<)的部分图象如图所示,则f(0)的值是_______.

参考答案：略15.（2x3）8的展开式中常数项是_____.（用数字表示）参考答案：112【分析】根据二项式（2x3）8的展开式的通项公式进行求解即可.【详解】（2x3）8的展开式的通项为：Tr+1＝C8r（2x3）8﹣r（）r＝28﹣r（﹣1）rC8rx24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112.【点睛】本题考查了利用二项式的通项公式求二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力.16.已知函数那么的值为

．参考答案：17.已知幂函数的图像经过点，则该函数的解析式为

.参考答案：【知识点】幂函数.

B8【答案解析】

解析：设，因为的图像经过点，所以，所以该函数的解析式为：.【思路点拨】待定系数法求该幂函数的解析式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2。频率分布表1

频率分布直方图2分组（岁）频数频率50.050200.200①0.35030②100.100合计1001.000

（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者的平均年龄；（2）在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。参考答案：（1）由表知：①，②分别填35、0.300补全频率分布直方图如下：

……2分

……3分平均年龄估值为：岁……6分（2）由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X的可能取值为0，1，2，，

……9分X的分布列为X012P

……10分期望（人）

……12分19.（本题10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，其中C为锐角.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=1，b=4，求边c的长。参考答案：解：（Ⅰ）由得，因为C为锐角，，从而。故角C的大小。（Ⅱ）由，根据余弦定理得，故边c的长是。20.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（Ⅱ）由频率分布直方图求出100位居民每人月用水量不低于3吨的人数的频率，由此能估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数．（Ⅲ）求出前6组的频率之和为0.88＞0.85，前5组的频率之和为0.73＜0.85，从而得到2.5≤x＜3，由此能估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，解得a=0.30．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000．（Ⅲ）∵前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3由0.3×（x﹣2.5）=0.85﹣0.73，解得x=2.9，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．21.(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，，．（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值的大小；

参考答案：解法一（1）取的中点，连结、．因为∥，∥，所以∥．又因为，，所以．所以四边形是平行四边形，∥．…………分在等腰中，是的中点，所以．因为平面，平面，所以．而，所以平面．又因为∥，所以平面．

……………分（2）因为平面，平面，所以平面平面．过点作于，则平面，所以．过点作于，连结，则平面，所以．所以是二面角的平面角．……………分在中，．因为，所以是等边三角形．又，所以

，．在中，．所以二面角的余弦值是．……………分解法二

（1）因为平面，∥，所以平面．故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是，，，，，．

……分

所以，，．因为，，所以，．而，所以平面．

……分（2）由（Ⅰ）知，，，．设是平面的一个法向量，由

得即．取，则．设是平面的一个法向量，由

得即．取，，则．…分∵二面角为锐二面角，设二面角的大小为，则．

故二面角的余弦值是．………分略22.已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在在点A处的切线平行，点M为BD的中点（Ⅰ）求证：AM与y轴平行；（Ⅱ）求△ABD面积S的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设出A，B，D三点坐标，根据kBD=y′|列方程．根据根与系数的关系求出M的横坐标即可；（II）求出直线BD的方程，求出AM和B到直线AM的距离，则S△ABD=2S△ABM，求出S关于xA的函数，利用基本不等式求出函数的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x0，），B（x1，），D（x2，）．（x0＞0）由x2