百炼百胜北师大版九年级数学上册学案：第四章图形的相似

PAGE图形的相似1成比例线段专题综合运用比例性质1.若＝＝，且2a－b＋3c＝21，求4a－3b＋c的值．2．如图，已知＝＝，求证：＝．【知识要点】1．成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．2．比例的基本性质(1)如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc，(2)如果eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，那么b2＝ac，(3)如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d).【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错．【方法技巧】1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形．2．遇到比例式时，可设辅助未知数k，即设这些比的比值为k，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法．3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解．参考答案：1．解：设＝＝＝k，则a＋2＝3k，b＝4k，c＋5＝6k，

即a＝3k－2，b＝4k，c＝6k－5．

∵2a－b＋3c＝21，∴2（3k－2）－4k＋3（6k－5）＝21，

∴k＝2．∴a＝4，b＝8，c＝7．

∴4a－3b＋c＝4×4－3×8＋7＝－1．2．证明：∵＝＝，∴＝，即＝，∴＝，即＝．2平行线分线段成比例专题平行线分线段成比例定理的灵活运用如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．【知识要点】1．两条直线被一组平行线所截，所得的应对线段成比例。2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。【方法技巧】1．当题目中出现三条以上平行线，且求线段的长度或比值时常利用平行线获得比例线段．2．证明比例式（或等积式）的常用方法是利用平行线分线段成比例定理，或者通过判定三角形相似，有时要通过两次相似的判定，等量代换，寻找中间比等才能得到待证的比例式．参考答案：证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．

∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且＝．

∵AB∥CD，∴＝．

∵AD∥CE，∴＝．

∴＋＝＋＝．

又∵＝＝，∴OQ＝3DN．

∴CQ＝OQ－OC＝3DN－OC＝3DN－AD，AN＝AD－DN．

∴AN＋CQ＝2DN．

∴＋＝＝2．即MN＋PQ＝2PN．3相似多边形专题与相似多角形的性质与判定有关的题1．相似多边形指的是（）A．各角都相等的多边形B．各边都相等的多边形C．各边对应成比例的多边形D．边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形2.如图，若两个多边形相似，求x的值.3.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．【知识要点】各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫做相似比.【温馨提示】相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．【方法技巧】找准对应角、对应边是解决本题的关键．参考答案1.D2.解：∵相似多边形的对应边成比例，

∴12：18=21：x，

解得：x=31.5．3.解：不相似．

理由：∵∠D=360°-135°-95°-72°=58°，∠E=360°-135°-95°-59°=71°，

∴两个四边形中不可能有“对应角相等”，

又∵没法判定对应边成比例，

∴不相似．4探索三角形相似的条件专题一与相似三角形判定有关的题1．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条2．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝________时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．3．(2012·怀化)如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合)，连结CO并延长交⊙O于点D，连结AD、DB.(1)当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；(2)若AC＝2eq\r(3)，求证：△ACD∽△OCB.专题二黄金分割在实际中的应用4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65m，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，A．2.5cmBC．7.8cmD5．(2012·宿迁)如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2.(填“＞”“＝”或“＜”)6．宽与长之比为eq\f(\r(5)－1,2)∶1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．【知识要点】1．相似三角形的定义三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2．相似三角形的条件(1)两角分别相等的两个三角形相似．(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边成比例的两个三角形相似．3．黄金分割一般的，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点．【温馨提示】1．运用相似三角形的关键是找准对应边和对应角．2．全等三角形是特殊的相似三角形．3．两边对应成比例，必须是夹角对应相等，这两个三角形才相似．4.黄金比即AC∶AB＝eq\f(\r(5)－1,2)∶1≈0.618.【方法技巧】识别两个三角形相似的几种思路：(1)若有一对等角，可找另一对等角，或找夹它的两边对应成比例；(2)若有两边对应成比例，可找其夹角相等；(3)若有等腰三角形，则可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例；(4)若有平行线，则可直接得相似三角形相似；(5)若所证成比例的四条线段不在两个相似三角形中，可用中间比转换．答案1．C解析：有三条：①过点P作AB边上的垂线，可得出一条符合要求的直线；②另外两条分别是AC、BC两边的平行线．故选C.2．eq\f(\r(5),5)或eq\f(2\r(5),5)解析：∵正方形ABCD的边长是2，∴BE＝CE＝1，∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ABE中，AE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).第一种情况：当△ABE∽△MDN时，AE∶MN＝AB∶DM，即eq\r(5)∶1＝2∶DM，∴DM＝eq\f(2\r(5),5)；第二种情况：当△ABE∽△NDM时，AE∶MN＝BE∶DM，即eq\r(5)∶1＝1∶DM，∴DM＝eq\f(\r(5),5).∴DM＝eq\f(2\r(5),5)或eq\f(\r(5),5).3．解：(1)连接AO，则∠OAC＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18°，∴∠DAC＝30°＋18°＝48°，∴∠DOB＝2∠DAC＝96°.(2)证明：过点O作AB的垂线，垂足为G，在Rt△OGB中，OB＝4，∠OBC＝30°，∴OG＝2，GB＝2eq\r(3).∵AC＝2eq\r(3)，∴点C与点G重合，∴∠ACD＝∠BCO＝90°.又eq\f(AC,OC)＝eq\r(3)＝eq\f(CD,CB)，∴△ACD∽△OCB.4．C解析：根据已知条件得下半身长是165×0.6＝99(cm)，设选的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：eq\f(99＋x,165＋x)＝0.618，解得：x≈7.8(cm)．故选C.5．＝解析：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2＝PB·AB.又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝PA2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.故答案为＝.6．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF.又∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(AF,AD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即点F是线段AD的黄金分割，∴eq\f(FD,AF)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即eq\f(FD,DC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴矩形CDFE是黄金矩形．5相似三角形判定定理的证明专题相似三角形判定定理的证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”，如图，已知（AB＞DE），∠A=∠D，求证：△ABC∽△DEF.请利用转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为前面已经学过的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）．请利用上述方法完成这个定理的证明．【方法技巧】解题的关键是正确作出辅助线构造平行线或全等三角形．答案：证明：在AB上截取AG=DE，作GH∥BC，

∴△AGH∽△ABC，AG=DE，

∴AH=DF，

∵∠A=∠D，

∴△AGH≌△DEF，

∴△ABC∽△DEF．6利用相似三角形测高专题利用相似三角形的性质求树或建筑物的高1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝2．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6(1)△FDM∽△________，△F1D1N∽△________；(2)求电线杆AB的高度．【知识要点】1．利用相似三角形求物高或影长．2．构建相似三角形测量河宽．【温馨提示】利用影长计算或测量时，注意在同一时刻，物体的实际高度/影长＝被测物体的实际高度/被测物体的影长．【方法技巧】1．牢记相似三角形的性质和条件．2．在测量无法到达顶部的物体的高度或测量不能直接到达的两点间的距离时，常构造相似三角形求解．答案1．5.5解析：利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴eq\f(BC,EF)＝eq\f(DC,DE).∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，∴eq\f(BC,0.2)＝eq\f(8,0.4)，∴BC＝4(m)，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．2．解：(1)FBGF1BG(2)根据题意，∵D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG，∴eq\f(D1N,BG)＝eq\f(F1N,F1G).∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG，∴eq\f(DM,BG)＝eq\f(FM,FG)，∵D1N＝DM，∴eq\f(F1N,F1G)＝eq\f(FM,FG)，即eq\f(3,GM＋11)＝eq\f(2,GM＋2)，∴GM＝16.∵eq\f(D1N,BG)＝eq\f(F1N,F1G)，∴eq\f(1.5,BG)＝eq\f(3,27)，∴BG=13.5，∴AB＝BG＋GA＝15(m)．答：电线杆AB的高度为157相似三角形的性质专题一相似三角形性质的综合运用1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为5602．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？

（2）已知Rt△ABC的周长是12cm，面积是63．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相似多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【知识要点】1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比．2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．【方法技巧】1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合．4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．参考答案：1．解：设一个三角形周长为Ccm，

则另一个三角形周长为（C＋560）cm，

则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240cm，2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；

（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．

∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，

∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，

∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2•S△BEF＝×4＝9．4．[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA，

∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB．

又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，则＝＝．5．20[解析]根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．根据题意得：x＋4x＝25，解得x＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．

又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD•BC＝4×9＝36．

∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．8图形的位似专题一位似作图1．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；

（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．2．如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；

（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）3．如图，在给定的锐角中，求作一个正方形，使落在上，分别落在边上，要求写出画法．专题二坐标系下的位似变换4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），以原点O为位似中心，在图中第一象限内，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．（不要求写画法）

5．如图，对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．

（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；

（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．6．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是2，求点B的横坐标．【知识要点】1．位似图形的性质：（1）两个图形相似；（2）每组对应点所在的直线交于一点；（3）对应边平行或在同一条直线上；（4）对应点到位似中心的距离之比等于相似比．2．位似图形的画法：（1）作图时首先连接顶点和位似中心并延长；（2）按照比例确定对应点位置；（3）连接结对应点即可作出相应的位似图形．3．（1）同向位似图形：若以点O为位似中心在y轴的右侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的n倍．（2）反向位似图形：若以点O为位似中心在y轴的左侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的－n倍．【温馨提示】1．相似只强调图形的形状相同，与位置无关，而位似是特殊位置的相似图形，具有相似的所有性质．2．两个位似图形一定相似，但相似图形不一定位似．3．直角坐标系下的位似变换通常考虑两个方面：（1）位似图形的点的坐标的变化规律；（2）利用这种坐标变化的特点，画出平面直角坐标系下的位似图形．4．在画位似图形或求点的坐标时，一定要注意位似图形的位置关系，以防漏解．5．在画位似图形时，要分清位似比是新图形与原图形的比，还是原图形与新图形的比．6．在画位似图形时，关键的顶点与位似中心要准确定位．【方法技巧】