振动和波动（波动）

第5章振动和波动1.

振动在空间的传播过程叫做波动。2.常见的波有两大类:(3)在微观领域中还有物质波。3.各种波的本质不同,但其根本传播规律有许多相同之处。(1)机械波(机械振动的传播)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）5.4平面简谐波波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点本身的传播。1.产生机械波的条件产生波的条件——存在弹性介质和波源波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。5.4.1机械波的产生与描述t=T/2·····························t=3T/4··························t=

T························t=T/4·····················0481620

············12·············t=01〕横波各质点振动方向与波的传播方向垂直的波。根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系，可以将机械波分为两类：横波和纵波。2.波的分类各质点振动方向与波的传播方向平行的波。纵波是靠介质疏密部变化传播的。任一波,如水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。2〕纵波横轴x表示波的传播方向坐标x表示质点的平衡位置纵轴y表示质点的振动方向坐标y表示质点偏离平衡位置的位移表示某一时刻波中各质点位移的图横波的波形图与实际的波形是相同的，但是对于纵波，波形图表示的是各质点位移的分布情况。3.波形图4.描述波特性的几个物理量周期T:传播一个完整的波形所用的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间。频率：单位时间内传播完整波形的个数。波长：两相邻波峰或波谷或相位相同点间的距离，或振动在一个周期中传播的距离。周期、频率与介质无关，波在不同介质中频率不变。波速u:单位时间某种振动状态〔或振动相位〕所传播的距离称为波速u，也称之相速。机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。在各向同性均匀固体中横波纵波G切变弹性模量，E杨氏模量，密度。T、、、u的关系假设波源作简谐振动,在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动，这种波称为简谐波。5.4.2平面简谐波的波函数人们用波函数描述波，波函数应能描述质点在空间任一点、任一时刻的位移。这个函数表达式也叫做波动方程【例1】设原点〔非振源，是参考点〕处的简谐振动为。假设u为波速,媒质无吸收即质元振幅均为A，沿x正方向传播的简谐波的波函数是什么？【答】0yuxPx波从原点传到任一点P(坐标为x〕所需的时间是x/u,所以任一时刻t,任一点P的位移〔即波函数〕为或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。抓住概念：某时刻某质元的相位〔振动状态〕将在较晚时刻于“下游〞某处出现。如何写出平面〔一维〕简谐波的波函数？须知三个条件：1.某参考点的振动方程(A,,

)2.波长

(或k,或u)3.波的传播方向0yuxPx另外常用的几种写法：对于思考：波形曲线和振动曲线有什么不同？任意P点的振动表达式为P点的振动比a点落后【例2】设媒质无吸收，参考点a的振动表达式为波长为，写出沿+x方向传播的简谐波？【解】ux·

dx0pa·ux·

dx0pa·问：沿-x方向传播的简谐波表达式如何?对于某一给定的相位两边求导得说明波的相位的传播速度就是波速u，所以，波速u也称为相速度。它可以超过光速。相速度------这就是某一给定的相位的位置x与时间t的关系。称为x处t时刻的相位或相，它是最活泼的因素，通常说：它决定了振动的状态。【例3】以下图是一平面简谐波在t=2秒时的波形图，由图中所给的数据求：〔1〕该波的周期；〔2〕传播介质O点处的振动方程；〔3〕该波的波动方程。O点振动方程为波动方程【解】利用旋转矢量法求出【例4】如下图，平面简谐波向右移动速度u=0.08m/s，求：①.原点处的振动方程；②.波函数；③.P点的振动方程；④.a、b两点振动方向。解：①t=0

时，o点处的质点向y轴负向运动原点的振动方程为：③.P点的振动方程a、b振动方向如下图②.波函数处的p点振动曲线如图。求：O点〔x=0)的振动表达式和波函数。解：x=-1的振动表达式解法1：【例5】一平面波沿-x方向传播，u=3m/s,假设x=-1m解法2：随着波的行进,能量在传播。波的能量=振动动能+形变势能考虑细长棒上一段小质元x，如图：

动能密度以沿x轴传播的平面简谐纵波为例：sxx+x波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动，5.4.3波的能量1.波动的能量小质元动能当有平面波传播时，x处，纵向位移动能密度为:sxx+xyy+ymsxx+x

势能密度考虑细棒上小质元的弹性形变yxx+xyy+

yS弹性拉力：弹性势能=弹性拉力作的功（变力的功）F=ky因势能密度又写为:势能密度为:对沿x轴传播的平面简谐波y(x,t)=Acos(t-kx)wk、wp

均随t周期性变化,两者同相同大。怎么动能和势能之和不等于常数,也不相互转化？E=u2由于w=wk+wp=2A2sin2(t-x/u)

能量密度2.波的强度单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量,称为平均能流密度,又称为

波的强度

I。按周期平均的平均能量密度为w

=wk+wp

=2A2sin2(t-kx)因为uSux

平均能流密度(波的强度)即

【解】【例6】一平面简谐波，波速为340m·s-1，频率为300Hz在横截面积为3.0010-2m2的管内的空气中传播，假设在10秒内通过截面的能量为2.7010-2J，求：

〔1〕通过截面的平均能流；

〔2〕波的平均能流密度；

〔3〕波的平均能量密度。5.6.1惠更斯原理“媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波(次级波)的子波源(点波源)，在以后的任一时刻,这些子波面的包络面就是新的波前〞。研究波的传播方向：知道某时刻波前的位置，能否知道下一时刻的波前位置？假设媒质均匀、各向同性,各子波都是以波速u向外扩展的球面波。5.6波的叠加例：t时刻的波面，得出t+t时刻的波面,就可得出波的传播方向.平面波t+t时刻波面····utt时刻波面·······t+t球面波t不足:(1)不能说明子波为何不能倒退.(2)不能正确说明某些波动现象(如干涉等)实验说明了惠更斯原理的正确性。5.6.2波的叠加原理媒质中同时有几列波时,每列波都将保持自己原有的特性,不受其它波的影响-----波传播的独立性。“在几列波相遇而互相交叠的区域中,某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成〞----波的叠加原理.当波的振幅、强度过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理就不再成立。考虑频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇时情况设波源S1

、S2的振动方程为：两列波在P点的振动方程为：P点合振动振幅：5.6.3波的干预相遇点振动加强当相遇点振动减弱当频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减弱的现象叫做波的干预。S1

、S2在P点引起振动的相位差为：波程差为波长的整数倍时干预加强。当时加强条件写为减弱条件写为波程差为半波长的奇数倍时干预减弱。【例7】相干波源A、B位置如下图，频率=100Hz，波速u=10m/s，A-B=，求：P点振动情况。【解】P点干预减弱【例8】两相干波源分别在PQ两点处，初相相同，它们相距3/2，由P、Q发出频率为，波长为的两列相干波，R为PQ连线上的一点。求：①自P、Q发出的两列波在R处的相位差。②两波源在R处干预时的合振幅。【解】合振幅最小5.6.4驻波驻波是两列振幅、频率和传播速率都相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的。设有向左传播的波和向右传播的波在原点处相位相同，它们的波动方程分别写作：它们的合振动驻波方程1.驻波波节振幅始终为0的位置波腹振幅始终最大的位置振幅与位置x有关波节两侧的振动相位相反，两波节间同步振动驻波的波形、能量都不能传播波节位置决定于相邻波节距离相邻波腹距离波腹位置决定于波节与波腹之间的距离为/4绳上向某方向传播的波与在固定点反射的波合成的结果形成驻波。在反射点处的绳固定不动，是波节。波节驻波相位突变π波疏媒质波密媒质x反射波与入射波的相位在此正好相反，有“半波损失〞。从波疏媒质到波密媒质：有“半波损失”2.半波损失当反射点处的绳是自由端时，反射波没有“半波损失〞，形成的驻波在此是波腹。波腹相位不变波疏媒质波密媒质x驻波从波密媒质到波疏媒质：无“半波损失”【例9】入图所示，为一向右传播的简谐波在t时刻的波形图，当波从波疏介质入射到波密介质外表BC，在P点反射时，反射波在t时刻波形图为〔D〕多普勒效应：当波源S和观察者R有相对运动时，接收器所测得的频率R不等于波源振动频率S的现象。

介质中波速u。设S和R的运动沿二者连线。S和R的速率分别为vS、vR。三个频率:S波源振动频率波在介质中的频率R

接收频率vR·RSvSu5.7多普勒效应

分几种情况讨论S

=，但

R=

?1波源静止，接收器运动(vS=0，vR

0)设R向着静止的S运动，

SRvRu单位时间内R所接收的波的个数为因为S

=,R靠近S时，上式中u+vR，R>S,声音变尖。R远离S时，上式中u-vR，R<S,声音变哑。2.接收器静止,波源运动(vR=0,vS

0)R

=,

但

=?SRvSuS实·0SuTSvSTSS发出“波头〞,前进vSTS后再发“波尾〞，S波长缩短。(vS>u

时不适用)3.接收器、波源都运动(vS0、vR

0)S

R综合上面1、2两种情况，有vR·RSvSuS、R相互靠近时，上式中u+vR、u-vS，得到

R>S,声音变尖。S、R相互靠近时，上式中u-vR