高一物理万有引力定律应用无忧

鲁科版必修25.2

万有引力定律的应用编读互动1．由于我国航天事业取得了举世瞩目的成就，万有引力与航天运动问题也就成为近几年高考的重点．高考命题常以选择题为主，有时也以计算题形式出现．本讲的主要内容是开普勒三定律、万有引力定律．万有引力定律在天体运动中的应用是本讲重点，天体运动的最基本关系是万有引力提供天体运动的向心力．因此应使学生明确稳定的天体运动一般可视为匀速圆周运动，可根据万有引力提供向心力，结合向心力的不同表达式由牛顿第二定律列出关联方程．2．本讲教学可以按下面的思路安排：

(1)通过例1和变式题加深对万有引力定律的理解和应用．

(2)通过例2和变式题掌握计算中心天体的质量及密度的一般方法．(3)通过例3和变式题掌握天体表面重力加速度的计算和应用．考点自主梳理知识点一

万有引力定律2．公式：

(其中引力常量

G＝6.67×10－11N·m2/

kg2)．3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体视为质点时，r

是两球心间的距离．1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成

正比，跟它们的距离的二次方成

反比．F＝Gm1m2r2知识点二

开普勒三定律开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个

焦点

上．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的

面积

相等．开普勒第三定律：所有行星的轨道的

半长轴

的三次方跟公转周期

的二次方的比值都相等．Mmv2r2G

r2

＝ma＝m

＝mω

r＝m

2πT2r.(2)在星球表面附近物体所知识点三

天体运动问题的分析1

．运动学分析：将天体或卫星的运动看成_匀速圆周

运动．2．动力学分析：(1)万有引力提供

向心力

，即

F

向＝r2＝mg(g

为星球受万有引力近似等于物体的重力，即GMm表面物体的重力加速度)．考向互动探究探究考向一

关于万有引力的计算和应用【方法概述】万有引力定律的适用条件：万有引力不仅存在于星球之间，宇宙中任意客观存在的有质量的物体之间都存在这种相互吸引力．万有引力定律公式适用于质点之间，也适用于均匀球体之间．万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．3．万有引力的一般应用：万有引力的一般应用问题主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的m1m2分析中应注意：(1)万有引力公式F＝G

r2

中的r

应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有Gm

m1

2r212＝m

a，且a＝ω

r＝v2r＝

2π

T

2r；(3)根Mm据万有引力等于重力，得

G

＝mg，GM＝gR2(黄金代换公式)，利R2用黄金代换公式进行天体质量和天体重力加速度之间的代换．例

1

[2011·四川卷]

据报道，天文学家近日发现了一颗距地球

40

光年的“超级地球”，名为“55

Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的

1

，母星的体积480约为太阳的60

倍．假设母星与太阳密度相同，“55

Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55

Cancrie”与地球的(

)A．轨道半径之比约为3B．轨道半径之比约为3

60480

60

4802C．向心加速度之比约为3

60×4802D．向心加速度之比约为3

60×480[答案]BMm[解析]

根据万有引力公式

G

r2

＝m

2πT2r，可得行星的轨道半径r＝3

GMT2

14π2

，因T55＝480T

地，M

母＝60M

太，所以轨道半径之比r55∶r

地＝3

60 4802，A

错误，B

正确；由向心加速度a＝

T2π2r，3得

a55∶a

地＝

60×4804，C、D

错误．【方法点拨】圆周运动是天体最主要的运行方式，天体做圆周运动时万有引力提供向心力，地球绕太阳如此，其他行星绕其母星的运动也是如此，要做好相关运动规律和解题方法的迁移，如下面的变式题．[答案]B[解析]

地球的公转周期

T1＝1年，设

T2为行星的公转周期，每过

N

年，行星会运行到日地连线的延长线上，即地球比该行星2π

2π

N

多转一圈，有：T1

N－T2

N＝2π，解得：T2＝N－1年，故行星与r3

N

Mm

4π2

GM地球的公转周期之比为

；由

G

2

＝mr

2

得：

2＝

2

，即：N－1

r

T

T

4π2

r∝T3，故行星与地球的公转半径比为NN－132，B

正确．►

探究考向二 中心天体质量和密度的计算计算天体的质量和密度问题的关键就是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周Mm

4π2

4π2r3

M

M运动的向心力．由

G

r2

＝m

T2

r，解得

M＝

GT2

；ρ＝

V

＝43πR3＝3πr3GT2R3(R

为中心天体的半径)．由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r

及运行周期T，就可以算出中心天体的质量M.若知道中心天体的半径，则可得中心天体的密度．例2

一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则下列说法错误的是

()v3TA．恒星的质量为2πG4π2v3B．行星的质量为GT2vTC．行星运动的轨道半径为2πD．行星运动的加速度为2πvT[答案]B2πrvT[解析]

因为

v＝ωr＝

T

，所以

r＝2π，C

正确；结合万有Mmv2v3T引力定律公式

G

r2

＝m

r

，可解得恒星的质量

M＝2πG，A

正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质2量无法计算，B

错误；行星的加速度a＝ω

r＝4π22vT

2πvT

2π

T×

＝

，D

正确．[点评]

由中心天体的密度公式

ρ＝

V

＝4M

M

3πr3＝GT2R3(R

为3πR3中心天体的半径)可知：若卫星接近中心天体表面绕中心天体做匀速圆周运动，则只需要测出卫星运动周期即可求得中心天体GT2的平均密度ρ＝

3π

，如下面的变式题．变式题[2011·福建卷]“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常3π量为

G，半径为

R

的球体体积公式

V＝4

R3，则可估算月球的(

)A．密度

C．半径B．质量

D．自转周期[答案]A[解析]

由

GMmR2＝m

2πT2433R，M＝ρV，V＝

πR

，联立解得ρ＝GT2

3π

，已知周期T，就可求密度ρ，A

正确．探究考向三

天体表面重力加速度的理解和应用天体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，忽略天体自Mm

GM转，则有mg＝G

R2

，得g＝

R2

或GM＝gR2.若物体距天体表面高度为h，则重力mg′＝GMmR＋h2，得g′＝

GM

R＋hR2R＋h2＝

2g.2．地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．例

3

[2011·成都模拟]

目前，我国探月工程已取得重大进展．在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如给你提供三组信息：①一同学在家中用长为L的细线和一个小螺丝帽组成了一个单摆，测得该单摆的振动周期为T；②一宇航员在月球表面上以初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t，小球落回原处；③地球的质量约为月球质量的81

倍，地球半径为R.请你根据上述信息求：(1)地球表面的重力加速度；

(2)月球表面的重力加速度；

(3)月球的半径．4π2L2v0[答案](1)

T2

(2)

t

(3)πR

2v0tL9Tv0[解析](1)由单摆周期公式T＝2πLg4π2L解得g＝

T2(2)小球在月球上做竖直上抛运动，上升时间为t20由运动学规律有v

＝g月·

t2月解得

g

＝2v0tR2

＝(3)由

GMm

mg得月GM＝gR2同理可知

GM

＝g

R2月

月月解得

R

＝πR

2v0tL9Tv0[点评]涉及天体表面重力加速度的问题，首先要进行近似处理，即万有引力近似等于物体所受重力；其次是选择相关规律建立方程求解．变式题[2011·重庆模拟]宇航员在地球和某星球表面做了两个对比实验．实验一：在该星球和地球上以同样的高度和初速度平抛同一物体，发现其水平射程是地球上的4倍．实验二：飞船绕该星球表面的运行周期是它绕地球表面运行周期的

2倍．则该星球与地球的质量之比和半径之比分别是()A.

1

和1

B.

1

和1256

4

256

8C.

1

和164

4[答案]AD.1

和116

82[解析]

由

h＝1

、s＝vt

得

s＝vgt22h地4s星

g星g

，已知s

＝1，则g地＝

1

16；在地球表面附近有mg＝m

T2π2R，解得R＝gT24π2，即R星＝g星T2g

T2地

地121161

4星＝

2＝；由mg＝GMmR2地得

＝M星

g星R2M

g

R2地

地星＝11

2＝R地1164

256.备用习题[备选理由]考查开普勒第三定律的直接应用．1.[2011·湖北联考]据报道，2009

年4

月29

日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星的直径为2～3

千米，绕太阳运行一周的时间为3.39

年，其轨道平面与地球轨道平面呈

155°的倾斜．假定小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为()A．1∶3

3.39 B．1∶

3.39

C.

(3.3