2020-2021学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

试题数：25，总分：100

1.（单选题，3分）函数y=（x+1）2-2的最小值是（

）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

2.（单选题，3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，

又是中心对称图形的是（

）

A.

B.

C.

D.

3.（单选题，3分）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（

A.3ᵰ

2

）

B.3

C.6

D.9

4.（单选题，3分）点A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数ᵆ=2图象上的三

ᵆ

个点，则y1，y2，y3的大小关系是（

A.y3＜y2＜y1

）

B.y1＜y3＜y2

C.y2＜y3＜y1

D.y3＜y1＜y2

5.（单选题，3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部

分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（

）

A.2分米

B.3分米

C.4分米

D.5分米

6.（单选题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的

部分对应值如下表：

x

y

下列说法正确的是（

A.抛物线G的开口向下

B.抛物线G的对称轴是直线x=-2

C.抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）

D.当x＞-3时，y随x的增大而增大

7.（单选题，3分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，

BD．则下面结论不一定成立的是（

）

-5

4

）

-4

-3

-2

-2

-2

-1

4

A.∠ACB=90°

B.∠BDC=∠BAC

C.AC平分∠BAD

D.∠BCD+∠BAD=180°

8.（单选题，3分）函数y=1+

2

1

ᵆ2

的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是该函

数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（

）

A.x10，x20

B.y1＞1，y2＞1

2

2

C.若y1

2，则|x1|=|x2|

D.若y1＜y2，则x1＜x2

9.（填空题，3分）将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为___．

10.（填空题，3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若

AE：

：2，则S△AOE：S△COB=___．

11.（填空题，3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树

在移植过程中的一组数据：

移植的棵数n

成活的棵数m

成活的频率ᵅ

ᵅ

1000

865

0.865

1500

1356

0.904

2500

2220

0.888

4000

3500

0.875

8000

7056

0.882

15000

13170

0.878

20000

17580

0.879

30000

26430

0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为___．

12.（填空题，3分）抛物线y=x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b=___．

13.（填空题，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是ᵃᵃ的中点，连接AD，BD，BD与

̂

AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形___．

14.（填空题，3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离

树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中

看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是___m．

15.（填空题，3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．

下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：

①延长OD交ᵃᵃ于点M；

̂

②连接AM交BC于点N．

所以∠BAN=∠CAN．

即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．

请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是___．

16.（填空题，3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上求圆周率

的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔•卡西的计算方法是：当正

整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的

正6n边形）的周长，再将它们的平均数作为2r的近似值．

当

时，如图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．

（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是___；

（2）按照阿尔•卡西的方法，计算

数据：31.732）

时的近似值是___．（结果保留两位小数）（参考

17.（问答题，5分）已知二次函数

（1）求二次函数

2-4x+3

2-4x+3．

图象的顶点坐标；

2-4x+3

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数

的图象；

（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

18.（问答题，5分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且

．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度数．

19.（问答题，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），

O（0，0），B（2，2）．

（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；

（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的

△A2OB2．

20.（问答题，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2）．点D是矩形

OABC对角线的交点．已知反比例函数y=ᵅ（k0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点

ᵆ

M，交AB于点N．

（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N

两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．

21.（问答题，5分）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，

DE||，CE是⊙O的直径．

OA

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若BD=4，CE=6，求AC的长．

22.（问答题，6分）在倡议"绿色环保，公交出行"的活动中，学生小志对公交车的计价方式进

行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有："10公里以内（含）票价2元，每增

加5公里以内（含）加价1元"，如图．

小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，

乘客可以按照如下方法计算票价：

①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号

的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间

（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数

在16至20之间，则票价为4元，以此类推．

②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，

普通卡打5折，学生卡打2.5折．

请根据上述信息，回答下列问题：

（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，

那么原票价应为___元，他使用学生卡实际支付___元；

（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在

佃起村上车的概率为___．

23.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx（a0）过点（4，0）．

（1）用含a的代数式表示b；

（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个

单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．

24.（问答题，7分）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，

过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．

（1）求证：∠FAB=∠BCF；

（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．

25.（问答题，7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形

M上存在点Q，使得

，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．

已知点A（-2，2），B（2，2）．

（1）在点C（1，0），D（0，-2），E（1，1）中，线段AB的2倍等距点是___；

（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；

（3）已知直线y=-x+b与x轴，y轴的交点分别为点F，G，若线段FG上存在线段AB的2

倍等距点，直接写出b的取值范围．

2020-2021学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

试题数：25，总分：100

1.（单选题，3分）函数y=（x+1）2-2的最小值是（

）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

【正确答案】：D

【解析】：抛物线y=（x+1）2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为（-1，-2），顶点的纵坐

标-2即为函数的最小值．

【解答】：解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=（x-1）2-2的最小值是-2．

故选：D．

【点评】：本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图

象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

2.（单选题，3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，

又是中心对称图形的是（

）

A.

B.

C.

D.

【正确答案】：A

【解析】：根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．

【解答】：解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：A．

【点评】：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合．

3.（单选题，3分）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（

A.3ᵰ

2

）

B.3

C.6

D.9

【正确答案】：D

【解析】：利用扇形的面积公式计算即可．

【解答】：解：S

故选：D．

=90ᵰ•62

扇形

360

，

【点评】：本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积=ᵅᵰᵅ2=1lr（r是扇形的半径，

360

2

l是扇形的弧长）．

4.（单选题，3分）点A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数ᵆ=2图象上的三

ᵆ

个点，则y1，y2，y3的大小关系是（

A.y3＜y2＜y1

B.y1＜y3＜y2

）

C.y2＜y3＜y1

D.y3＜y1＜y2

【正确答案】：B

【解析】：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点

进行解答即可

【解答】：解：∵ᵆ=2中，k=2＞0，

ᵆ

∴反比例函数ᵆ=2图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，

ᵆ

∵-1＜0，

∴A点在第三象限，

∴y1＜0，

∵2＞1＞0，

∴B、C两点在第一象限，

∴y2＞y3＞0，

∴y1＜y3＜y2．

故选：B．

【点评】：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题

的关键．

5.（单选题，3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部

分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（

）

A.2分米

B.3分米

C.4分米

D.5分米

【正确答案】：A

【解析】：连接OA，先由垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长，进而可得出

结论．

【解答】：解：连接OA，如图所示：

∵⊙O的直径为10分米，

分米，

由题意得：OD⊥AB，AB=8分米，

1

2

AB=4分米，

∴OC=ᵄᵃ2ᵃᵃ2=5242=3（分米），

∴水的最大深度

故选：A．

（分米），

【点评】：本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC的长是解答此

题的关键．

6.（单选题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的

部分对应值如下表：

x

y

下列说法正确的是（

A.抛物线G的开口向下

B.抛物线G的对称轴是直线x=-2

C.抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）

D.当x＞-3时，y随x的增大而增大

【正确答案】：C

【解析】：根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题

得以解决．

-5

4

）

-4

-3

-2

-2

-2

-1

4

【解答】：解：由表格可知，

该函数的对称轴是直线x=32

2

5

2

，故选项B错误，

该抛物线开口向上，在

5

2

时，取得最小值，故选项A错误，

当x＞-5时，y随x的增大而最大，故选项D错误，

2

当

时，y=4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；

故选：C．

【点评】：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答

本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

7.（单选题，3分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，

BD．则下面结论不一定成立的是（

）

A.∠ACB=90°

B.∠BDC=∠BAC

C.AC平分∠BAD

D.∠BCD+∠BAD=180°

【正确答案】：C

【解析】：先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆周角定理对各

选项进行判断．

【解答】：解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，

∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，

∵AB为直径，

，所以A选项的结论正确；

∵∠BDC和∠BAC都对ᵃᵃ，

̂

∴∠BDC=∠BAC，所以B选项的结论正确；

只有当

时，∠BAC=∠DAC，所以C选项的结论不正确；

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

，所以D选项的结论正确．

故选：C．

【点评】：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是

直径．

8.（单选题，3分）函数y=1+

2

1

ᵆ2

的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是该函

数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（

）

A.x10，x20

B.y1＞1，y2＞1

2

2

C.若y1

2，则|x1|=|x2|

D.若y1＜y2，则x1＜x2

【正确答案】：D

【解析】：根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．

【解答】：解：由图象可知，x10，x20，故选项A正确；

∵y=1+

2

2

1

ᵆ2

，

2

∴y1＞1，y2＞1，故选项B正确；

∵函数的图象关于y轴对称，

∴y1

2，则|x1|=|x2|，故选项

C正确；

根据函数的增减性，当x＜0时，若y1＜y2，则x1＜x2，当x＞0时，若y1＜y2，则x1＞x2，故

选项D错误，

故选：D．

【点评】：本题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．

9.（填空题，3分）将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为___．

【正确答案】：[1]y=x2-2

【解析】：根据"上加下减"可得答案．

【解答】：解：将抛物线

故答案为：

2-2．

2

向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为

2-2，

【点评】：本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加

下减．

10.（填空题，3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若

AE：

：2，则S△AOE：S△COB=___．

【正确答案】：[1]1：9

【解析】：本题通过平行四边形的性质可以得到AB=CD且AB||CD，进而得到△AOE∽△CBO，

在通过AE：ED=1：2，得到AE：BC=1：3，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出

答案．

【解答】：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

且AB||CD，

∴△AOE∽△CBO，

∵AE：

∴AE：

∴AE：

：2，

：3，

：3，

因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，

所以S△AOE：S△COB

：9，

故答案为：1：9，

【点评】：本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的

面积比等于相似比的平方是解题的关键．

11.（填空题，3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树

在移植过程中的一组数据：

移植的棵数n

成活的棵数m

成活的频率ᵅ

ᵅ

1000

865

0.865

1500

1356

0.904

2500

2220

0.888

4000

3500

0.875

___

．

8000

7056

0.882

15000

13170

0.878

20000

17580

0.879

30000

26430

0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为

【正确答案】：[1]0.881

【解析】：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多

的频率越接近于概率．

【解答】：解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数

越多的频率越接近于概率

∴这种幼树移植成活率的概率约为0.881．

故答案为：0.881．

【点评】：此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知

识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

12.（填空题，3分）抛物线y=x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b=___．

【正确答案】：[1]±4

【解析】：令

，则关于x的一元二次方程x2

的根的判别式

，据此列

出关于b的新方程，通过解新方程即可求得b的值．

【解答】：解：令

的一元二次方程x2

，则当抛物线y=x2+bx+4的图象与x轴只有一个公共点时，关于x

的根的判别式

，即b2

，

解得b=±4．

故答案是：±4．

【点评】：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，运用"二次函数y=ax2+bx+c与x轴的

交点个数与系数的关系：当b2-4ac=0时，只有一个交点"求解即可．

13.（填空题，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是ᵃᵃ的中点，连接AD，BD，BD与

̂

AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形___．

【正确答案】：[1]△CBE，△BDA

【解析】：根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出答案．

【解答】：解：∵̂=，

ᵃᵃᵃᵃ

̂

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠DAE=∠DBC，

∴∠DAE=∠ABD，

∵∠ADE=∠ADB，

∴△ADE∽△BDA，

∵∠DAE=∠EBC，∠AED=∠BEC，

∴△AED∽△BEC，

故答案为：△CBE，△BDA．

【点评】：本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

14.（填空题，3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离

树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中

看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是___．

m

【正确答案】：[1]8

【解析】：入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比

例可求得树高．

【解答】：解：∵∠ABC=∠DBE，

∴△ABC∽△DBE，

∴BC：

：DE，

，

即1：5=1.6：DE，

（m），

故答案为：8．

【点评】：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应

边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

15.（填空题，3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．

下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：

①延长OD交ᵃᵃ于点M；

̂

②连接AM交BC于点N．

所以∠BAN=∠CAN．

即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．

请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是___．

【正确答案】：[1]在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等

【解析】：根据作图步骤进行作图即可得结论．

【解答】：解：如图，AN为所求△ABC中∠BAC的平分线，

故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

【点评】：本题考查了作图-基本作图，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆与外心，角

平分线的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．

16.（填空题，3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上求圆周率

的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔•卡西的计算方法是：当正

整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的

正6n边形）的周长，再将它们的平均数作为2r的近似值．

当

时，如图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．

（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是___；

（2）按照阿尔•卡西的方法，计算

数据：31.732）

时的近似值是___．（结果保留两位小数）（参考

【正确答案】：[1]1;[2]3.23

【解析】：（1）⊙O的内接正六边形的边长与圆的半径相等，延长可得结论．

（2）求出两个正六边形的周长，再求出两个周长的平均数，可得2的近似值，延长即可解

决问题．

【解答】：解：（1）⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是1，

故答案为：1．

（2）圆的外切正六边形的边长

∴圆的外切正六边形的周长=43，

∵圆的内接正六边形的周长

，

=23，

3

∴243+6，

2

∴3.23．

故答案为：3.23．

【点评】：本题考查正多边形与圆，近似数和有效数字，解直角三角形等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

17.（问答题，5分）已知二次函数

（1）求二次函数

2-4x+3

2-4x+3．

图象的顶点坐标；

2-4x+3

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数

的图象；

（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

【正确答案】：无

【解析】：（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；

（3）结合二次函数图象，写出当1＜x＜4时对应的y的取值范围．

【解答】：解：（1）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴该二次函数图象顶点坐标为（2，-1）；

（2）当

时，x2

，解得x1

，x2

，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；

当

如图：

时，y=x2

，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），

；

（3）由图象可知，当1＜x＜4时，-1y＜3．

【点评】：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图形上点的坐标特征，数形结合是解

题的关键．

18.（问答题，5分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且

．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度数．

【正确答案】：无

【解析】：（1）本题根据相似三角形的判定可以推出△ADE∽△ACB．

（2）由第（1）问可知△ADE∽△ACB，进而得到∠ADE=∠ACB，从而得到

用三角形的内角和得出所求角即可．

，在利

【解答】：（1）证明：

，

∴ᵃᵃ=ᵃᵃ．

ᵃᵃ

ᵃᵃ

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB．

（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，

∴∠ADE=∠ACB．

，

．

又

，

∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．

【点评】：本题考查了相似三角形的判定以及性质，熟记相似三角形的判定和性质是解决本题

的关键．

19.（问答题，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），

O（0，0），B（2，2）．

（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；

（2）以点O为位似中心，将△AOB放大为原来的2倍，得到△A2OB2，画出一个满足条件的

△A2OB2．

【正确答案】：无

【解析】：（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1的坐标，然后描点即可；

（2）把A、B点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2的坐标，然后描点即可．

【解答】：解：（1）如图，△A1OB1为所作；

（2）如图，△A2OB2为所作．

【点评】：本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别

连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的

关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了旋转变

换．

20.（问答题，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，2）．点D是矩形

OABC对角线的交点．已知反比例函数y=ᵅ（k0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点

ᵆ

M，交AB于点N．

（1）求点D的坐标和k的值；（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N

两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围．

【正确答案】：无

【解析】：（1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（2）根据M的纵坐标，即可求得M的横坐标，结合N的横坐标，即可得到图形G上点的横

坐标x的取值范围．

【解答】：解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，

∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，

又∵A（4，0），C（0，2），

∴点D的坐标为（2，1）．

∵反比例函数ᵆ=ᵅ的图象经过点D，

ᵆ

∴1=ᵅ，

2

解得：

．

（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4．

∵点M在反比例函数ᵆ=2的图象上，

ᵆ

∴点M的坐标为（1，2），

∴1x4．

【点评】：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函

数的解析式，求得点D、点M的坐标是解题的关键．

21.（问答题，5分）如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，

DE||OA，CE是⊙O的直径．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若BD=4，CE=6，求AC的长．

【正确答案】：无

【解析】：（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三

角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得

到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；

（2）根据勾股定理求得BO，得到

即可．

，然后根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程

【解答】：（1）证明：连接OD．

，

∴∠OED=∠ODE，

∵DE||OA，

∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD．

在△AOD和△AOC中，

ᵃᵄ=ᵃᵄ

{∠ᵃᵄᵃ=∠ᵃᵄᵃ，

ᵄᵃ=ᵄᵃ

∴△AOD≌△AOC（SAS），

∴∠ADO=∠ACO．

∵AC与⊙O相切于点C，

，

又∵OD是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：

，

．

在Rt△ODB中，

∴BD2+OD2

2，

，OD=3，

，

．

∵⊙O与AB和AC都相切，

．

在Rt△ACB中，AC2+BC2

即：AC2+82=（AC+4）2，

2，

解得：

．

【点评】：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性

质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

22.（问答题，6分）在倡议"绿色环保，公交出行"的活动中，学生小志对公交车的计价方式进

行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有："10公里以内（含）票价2元，每增

加5公里以内（含）加价1元"，如图．

小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，

乘客可以按照如下方法计算票价：

①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号

的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间

（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数

在16至20之间，则票价为4元，以此类推．

②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，

普通卡打5折，学生卡打2.5折．

请根据上述信息，回答下列问题：

（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，

那么原票价应为___元，他使用学生卡实际支付___元；

（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在

佃起村上车的概率为___．

【正确答案】：3;0.75;

1

6

【解析】：（1）先根据上下车地点确定乘坐里程数，结合题意可得原票价及折后票价；

（2）根据支付费用及学生卡折扣求出原票价，再结合下车地点确定其上车的可能地点，再根

据概率公式求解即可．

【解答】：解：（1）乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，里程数为14-

3=11，

则原票价应为3元，

他使用学生卡实际支付

（元），

故答案为：3、0.75；

（2）∵下车刷卡时实际支付了1元，

∴学生乙原票价为

（元），

∴学生乙乘坐的里程数再16至20之间，

由图知，学生乙上车地点可能是云岗北区、佃起村、张家坟、朱家坟、赵辛店、北京十中这6

个，

∴他在佃起村上车的概率为1，

6

故答案为：1．

6

【点评】：本题主要考查有理数的混合运算和概率公式，解题的关键是根据题意找到所有可能

结果及符合条件的结果、概率公式．

23.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx（a0）过点（4，0）．

（1）用含a的代数式表示b；

（2）已知点A（0，a），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个

单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．

【正确答案】：无

【解析】：（1）将（4，0）代入即可得答案，

（2）y