【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编数列大题(原卷版及解析版)

2012∙2021十年全国高考数学真题分类汇编数列大题(原卷版)2 1(2021年高考全国乙卷理科)记5〃为数列｛q｝的前n项和，⅛为数列｛Sn｝的前n项积，已知三+厂=2.nn(1)证明：数列也｝是等差数列；(2)求｛可｝的通项公式.(2021年高考全国甲卷理科)己知数列｛q｝的各项均为正数，记S〃为｛q｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛q｝是等差数列：②数列｛底｝是等差数列；③叼=3q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.(2020年高考数学课标I卷理科)设｛可｝是公比不为1的等比数列，%为生，%的等差中项.(1)求的公比；(2)若《=1,求数列｛〃勺｝的前〃项和.(2020年高考数学课标HI卷理科)设数列｛为｝满足6=3,%+1=3许-4〃.(1)计算S,S，猜想｛为｝的通项公式并加以证明；(2)求数列｛2"g｝的前八项和Sn.(2019年高考数学课标全国II卷理科)已知数列｛aιι｝和也｝满足al=I,bl=0,4MH=3an-bιt+4,4⅛+ι=3⅛-^-4.(I)证明：｛q+々｝是等比数列，｛q,-“｝是等差数列；(2)求同｝和也｝的通项公式.(2018年高考数学课标In卷(理))(12分)等比数列｛q｝中，al=l,a5=4a.(1)求｛禺｝的通项公式；(2)记S”为｛q｝的前〃项和，若S”=63,求〃?.Cili=2"τ或all=(-2)'τ；(2)Hi=6(2018年高考数学课标I【卷(理))(12分)记S“为等差数列｛〃“｝的前〃项和，己知力=-7,S3=-15.(1)求｛4,J的通项公式：(2)求S”,并求S“的最小值.（2016高考数学课标H【卷理科）已知数列｛q｝的前〃项和=1+4%,其中4≠0.（I）证明｛6,｝是等比数列，并求其通项公式；31（H）若Ss=袁，求4.（2016高考数学课标1【卷理科）（本题满分12分），为等差数列｛q｝的前〃项和，且q=l,S7=28.记b=[lgaιι],其中国表示不超过X的最大整数，[0.9]=0,[lg99]=1.⑴求%%fc101;（H）求数列也,｝的前IoOo项和.（2015高考数学新课标1理科）（本小题满分12分）S”为数列｛q｝的前〃项和.已知%>0q-2q=4S"+3∙（I）求｛〃”｝的通项公式：（∏）设blι=一i一，求数列｛bll｝的前〃项和2。（2014高考数学课标2理科）（本小题满分12分）已知数列｛〃“｝满足的=1,aιl+l=3atl+1.（I）证明｛q+是等比数列，并求｛q｝的通项公式：（ID证明：±+-L÷∙∙∙+J-<1q%为2（2014高考数学课标1理科）已知数列an的前〃项和为S“，4=1,q≠0,c，MHd=义斗一1,其中％为常数.（1）证明：q”一q=A；（2）是否存在4,使得可为等差数列？并说明理由.2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编数列大题（精解精析）2 11.（2021年高考全国乙卷理科）记为数列｛q｝的前n项和，⅛为数列｛Sn｝的前n项积，已知葭+厂=2.（I）证明：数列也｝是等差数列；（2）求｛q｝的通项公式.-Ji=I2【答案】（1）证明见解析：（2）—1—F?”"2n（n+l）解析：⑴由己知：+；=2得S”=著7,且“≠0,⅛≠iS“bι Ibn-I 2取〃=1,由A=&得A=∙∣,由于或为数列｛s“｝的前〃项积，2b1所以西匕2b22人一12b1所以西匕2b2

2^-12%=b2⅛+1-l所以2%_鼠2⅛÷1-l卜由于"÷ι≠02 1所以/—T=厂,

2⅛÷I-1 ⅛即，其中"∈N"乙所以数列色｝是以4=2为首项，以d=g为公差等差数列；（2）由（1）可得，数列也｝是以4=,为首项，以d=；为公差的等差数列,

乙 乙1 3/ 、1 〃--bll=→（n-l）×-=l+-fS“=且=X112bn-11+〃3当"二1时，ai=S1=-CC2+/7 1+/7当心2时，4=*fτ=πrτ1而还，显然对于〃口不成立,Α=1【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前〃项和与项的关系，数列的前八项枳与项的关系,Zb12b,2b.Zb12b,

其中由Lrhr…歹七="，得到Lvhr

2b[-12A—12bn-1 2〃-12A—1▲ «0 /1 XJ∖=%,进而得到2"+IT⅛ι,⅛÷ι2⅛+1-lbιι是关键一步；要熟练掌握前〃项和，枳与数列的项的关系，消和（枳）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.2.（2021年高考全国甲卷理科）己知数列｛q｝的各项均为正数，记S〃为｛q｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛q｝是等差数列：②数列｛#1｝是等差数列；③％=3q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析解析：选①②作条件证明③：设6?=卬?+”（。＞°），则S“=（〃〃+〃『，当〃=1时，a1=S]=（4+by；当〃≥2时，%=Sn-SnT=（an+b∖-（an-a+by=a（2an-a+2b）↑因为｛4｝也是等差数列，所以（。+〃『=。（2“-4+2与，解得6=0：所以。〃=/（2〃-1）,所以%=3q.选①③作条件证明②：因为%=3%,｛4｝是等差数列，所以公差4=生一q=2q,所以Sn=nal+77(∕7-l)d=n2al2即&=向L因为67一四二向(〃+1)—向〃=疯，所以｛√Γ｝是等差数列.选②③作条件证明①：设 =an+b(a>0),则Sιι=(‹an+by,当〃=1时，6r1=S1=(a+b)~：当〃≥2时，aιι=S“一S,1=(an+b)2-(^an-a+b)2=a(lan-a-∖-2b)∙因为c4=3q,所以o(3q+2Z?)=3(。+〃)-,解得b=0或〃=一丁；当/?=0时，al=cr,an=cr(l.n-l),当〃≥2时，qq4=2/满足等差数列的定义，此时｛4｝为等差数列：当b=——⅛,y∣Sll=cm+b=cιn--cιy —§<0不合题意，舍去.综上可知｛4｝为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.(2020年高考数学课标I卷理科)设｛q｝是公比不为1的等比数列，%为生，%的等差中项.(1)求｛/｝的公比:⑵若《=1,求数歹IJ｛〃〃”｝的前〃项和.【答案】(1)-2：(2)S ]-(l+3〃卜2)”.9【解析】(1)设缶”｝的公比为q,%为生,4的等差中项，∙/2r∕1=a2+%Ml≠0,,q1+<7—2=0.q≠l..∖q=-2；(2)设｛〃为｝前〃项和为S“，4=lq=(-2)i,Sn=IXl,+2X(-2)+3X(-2)~+,,,+ 2)n^ι,(T)-2Sll=1×(-2)+2×(-2)z+3×(-2了+…(〃—1)(-2)m-1+n(-2)n,②①一②得，3S”=1+(―2)+(―2f+…+(—2)'i— 2)”=-(一2)〃_〃(_2)〃=1一(1+3〃)(-2)〃，1-(-2) 3.SJ一(1+3〃)(—2)〃n9【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.(2020年高考数学课标HI卷理科)设数列｛说满足6=3,%+1=3许-4〃.(1)计算S,S，猜想｛为｝的通项公式并加以证明；(2)求数列｛2~n｝的前八项和Sn.【答案】(1)%=5,%=7,α,r=2n+l,证明见解析；(2)Sπ=(2n-l)∙2n+1+2.解析：(1)由题意可得H=3q—4=9—4=59cl= —8=15—8=7,由数列r｝的前三项可猜想数列也｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即4=2〃+L证明如下：当〃=1时，q=3成立；假设〃=&时，％=2A+1成立.那么〃=攵+1时，ak+l=3ak—4k=3(2⅛+l)-4⅛=2k+3=2伙+1)+1也成立.则对任意的n∈N*，都有%=2〃+1成立；(2)由(1)可知，%∙2"=(2"+l)∙2"S“=3x2+5x2—7x23+…+Q-1)∙2"T+(2"+l)∙2”,①2Sπ=3×22+5×23+7×24+∙∙∙+(2m-1)∙2π+(2/?+1)∙2n+1，②由①一②得：一S“=6+2x(2?+23+—+2")—(2〃+1)-2"+】=6+2×2'I)-(2∕?+l)∙2π+1=(l-2〃)∙2z,+1-2，1-2即S'=(2"-l)∙26+2∙【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.(2019年高考数学课标全国II卷理科)已知数列｛aιι｝和也,｝满足q=1,bl=0,4all+l=3alt-bll+4,4⅛+ι=3⅛-^-4.(I)证明：｛q+4｝是等比数列，｛q,-“｝是等差数列；(2)求应｝和也｝的通项公式.【答案】(1)见解析；(2)an≈^+n-^bιι=~n+^.【官方解析】⑴由题设得4(。田+⅛+1)=2(%÷⅛),即%÷⅛+1=ɪ(all+blt).又因为q+4=l,所以｛q+£｝是首项为1,公比为;的等比数列.由题设得4(4,用-bn+l)=4(a〃F)+8,即an+l-bn+l=an-bn+2.又因为《一4=1,所以｛为一"｝是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知，4+"=∕r,an-bn=2n-l.乙所以%=；K/+%)+(%-"月=Jr

乙 乙1+n——211⅛=∣[(^n+⅛)-(^-⅛)]= n+-.2〃 2【分析】⑴可通过题意中的=3"一4+4以及4⅛+]=3%-仇—4对两式进行相加和相减即可推导出数列｛q+4｝是等比数列以及数列｛q―〃｝是等差数列：⑵可通过(1)中的结果推导出数列｛all+bll｝以及数列｛an-b,｝的通项公式，然后利用数列｛all+4｝以及数列｛《,一”｝的通项公式即可得出结果.【解析】(1)由题意可知4qr+]=3%-4+4,4⅛h=3⅛-^-4,λ1+∕j1=1,al-bl=l9所以 +4%=3an一"+4+34-氏一4=2an+2⅛,即〃田+"+】=；(%+”)，

乙所以数列｛q+4｝是首项为1、公比为;的等比数列，alt+blt=⅛因为4¾i%=M「々+4-3blt-an-4=4q,-4⅛+8,所以q+「以”=%一〃+2,数列｛。〃一”｝是首项1、公差为2等差数列，a-1—1.(2)由(1)可知,4+"=*,q-"=2〃—1,乙所以为=[[&+%)+(%—“)]=3+〃一；，⅛=∣+")一(为一a)]=3一〃+；.乙 乙 乙 乙 乙 乙【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.(2018年高考数学课标HI卷(理))(12分)等比数列｛q｝中，4=1,%=4%(1)求｛可｝的通项公式；⑵记S”为｛q,｝的前〃项和，若S”=63,求〃7.⑴aιt=2"τ或为=(―2)'i；(2)m=6【答案】【官方解析】(1)设｛《,｝的公比为夕，由题设得-由已知得了=4如，解得q=0(舍去)，夕=-2或q=2故凡=(-2)1或4=23i-(_2Vn(2)若4=(-2)"T,则S,,,= : ，由S,”=63,得(一2/=一188,此方和没有正整数解若4=2^,则鼠=2"'-1,由Spi=63,得2πι=64,解得〃?=6综上，ιn=6.【民间解析】(1)设等比数列｛q｝的公比为1，由4=1，。5=4%可得支44=4、1、心所以q?=4所以q=±2当q=2时，aιl=alq,,-l=2"-∖当夕=一2时，aιl=alqlt-l=(-2)n-l(2)由(I)可知q=±2a(l-√π) ↑-2nt当q=2时，由S=63=>- =63BP =63,即2'”=64=2,所以加=6；'" l-q 1-2a.（l-q",｝ 1-（-2Yn当q=—2时，由S,"=63n-ʌ ^=63即一-一-=63,即（-2）=-188,无解l-q 1÷2综上可知〃?=6.（2018年高考数学课标I【卷（理））（12分）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，己知％=-7,S3=-15.（1）求｛%｝的通项公式：（2）求SJ并求S”的最小值.【答案】解析：（1）设｛凡｝的公差为d,由题意得3q+3d=T5∙由.=7得d=2,所以｛an｝的通项公式为=2//-9.（2）由（I）^Sn=n2-Sn=（n-4）2-16.所以当〃=4时，S”取得最小值，最小值为-16.（2016高考数学课标HI卷理科）已知数列｛q｝的前〃项和S”=1+%凡，其中4≠0.（I）证明｛q｝是等比数列，并求其通项公式；31（H）若§5=/，求4.【答案】（I）%=Tɪ-（-ʌv）"T；（∏）%=-1.I-AA-I【解析】（I）由题意得q=E=l+%q,故2≠Lq≠0∙L-A由Szr=1+λan,Sn+l=1+皿+］得an+l=λan^-λan,即an+i（2-l）=λan.由q≠0,4≠0得为≠0,所以巴包=』-ɑ,λ-∖1 ; 1J因此｛凡｝是首项为一一,公比为——的等比数列,于是。”=」一(——)『1—4Λ—1 \—λZ-I1 ɔ1 j a1 / 1(11)由(1)得5〃=1—(二)"，由55=二得1—('-)5=上，即(_，一)5=上，解得/1=—1.〃X-V532A-I32 2-1 32（2016高考数学课标1【卷理科）（本题满分12分），为等差数列｛q｝的前〃项和，且q=LS7=28.记b=[lgan]9其中[可表示不超过X的最大整数，如[0∙9]=0,[lg99]=l.(I)求%%dn;(II)求数列｛4｝的前Iooo项和.【答案】(I)¾=[lgl]=O,⅛=[lgli]=l,¾ol=[lglθl]=2;(2)1893.【解析】(1)设｛q｝的公差为d,据己知有7+21d=28,解得d=l.所以数列｛4｝的通项公式为％=〃.4=[igi]=°∙∕=[igiι]=i,⅛∏=[igioι]=2∙o,no.(2)因为“=,L2,1O≤∕∕<1OO,IOO≤"<1000,3,〃=1000,所以数歹∣J｛〃｝的前IOOO项和为1x90+2x900+3χl=1893.（2015高考数学新课标1理科）（本小题满分12分）S”为数列｛q｝的前〃项和.已知Q.>0,qJ+2q=4S"+3.（I）求｛q｝的通项公式：12牝%+],求数列也r｝的前〃项和【答案】(I)2/7+1(II)ɪ-614〃+6(ID设4=分析：（【）先用数列第〃项与前〃项和的关系求出数列｛qj的递推公式，可以判断数列｛qj是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列｛4｝的通项公式；（1【）根据（I）数列｛4｝的通项公式，再用拆项消去法求其前〃项和.解析：（I）当〃=1时，4；+2q=4S]+3=4q+3,因为。”>0,所以％=3,当〃≥2时，4十（一q∖-%=4S〃+3-4S.T-3=4/，即&+%）（%-%）=2&+%），因为>0，所以一41二2，所以数列｛q｝是首项为3,公差为2的等差数列，所以凡二2〃+1：（H）由（I）知, =一( )，(2〃+1)(2〃+3)22w+l2〃+31所以数列WJ前n项和为4+4+H 1-(2/7+1 )]二 2〃+3 64/?+6考点：数列前n项和与第n项的关系：等差数列定义与通项公式；拆项消去法（2014高考数学课标2理科）（本小题满分12分）已知数列｛qj满足％=1,4+ι=3%+L(I)证明]4+外是等比数列，并求｛q｝的通项公式；(H)证明：±+J-+∙∙∙+J-<∣“a?an21 1 13【答案】解析：(I)由q*=3%+l,得〃用+=3(%+5),且4+5=5乙 乙 乙乙所以｛q