河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2022—2023学年（下）南阳六校高一年级期末考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知的半径为，弦的长等于半径，则劣弧的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弦长可确定所对圆心角，代入扇形弧长公式即可.【详解】弦的长等于半径，所对的圆心角为，的长为.故选：C.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算进行化简，从而得出对应点的坐标即可.【详解】，故对应点的坐标为，在第二象限.故选：B3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由，平方可得，可得，因为，所以，所以，又由，所以.故选：B.4.如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（）A.3 B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解.【详解】在直观图中，，，则，，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得，，所以.故选：D.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用降幂公式和二倍角公式进行化简，求出A的值后即可求B.【详解】，，，，在△ABC中，.,.故选：A.6.将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将所得图象向右平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的零点为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，以整体，结合正弦函数求零点.【详解】将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到，再将所得图象向右平移个单位长度，得到，因为为偶函数，则，解得，又因为，则，所以，令，解得，即的零点为.故选：C.7.已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为（）A.224 B.112 C.224或 D.112或【答案】D【解析】【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况考虑，利用勾股定理可求出正四棱台的高，近一步计算即可.【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：若球心位置在几何体内，如图所示：设为外接球球心，为外接球半径，则,又上底面是边长为的正方形，故下底面的边长为的正方形，故外接球的表面积为所以则所以正四棱台的高正四棱台的体积当球心在的延长线上时，正四棱台的高则正四棱台的体积故选：8.已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合面积公式可得，再根据向量可知，结合数量积的运算律求模长.【详解】由正弦定理可得：，设，由面积公式，即，解得，则，设边AB上的中线为，则，可得，即.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】CD【解析】【分析】根据线面位置关系逐项判断即可求解.【详解】A项，，可平行，可相交，故A项错误；B项，由，，可得，又，所以与可能平行，还可能，故B项错误；C项，由于，，所以，又，所以，故C项正确；D项，由，，可知或，又，所以，故D项正确；故选：CD.10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.z的虚部为i B.C. D.若，则的最小值是1【答案】BCD【解析】【分析】根据复数概念，可判定A不正确；根据复数的运算法则，可判定B、C正确；根据复数的几何意义，可判定D正确.【详解】由复数，可得复数虚部为，所以A不正确；由复数，所以B正确；由复数，，所以C正确；由复数，可得复数在复平面内表示以原点为圆心，半径为的单位圆，如图所示，又由复数在复平面内对应点，可得，所以的最小值为，所以D正确.故选：BCD.11.如图，正三棱锥的底面边长是侧棱长的倍，E，F，H分别是AB，AC，BC的中点，D为PH的中点，且，则下列结论中正确的是（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】ABD【解析】【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断即可.【详解】选项A，因为是的中点，在等腰三角形中，，在等腰三角形中，,又因为,平面中，所以平面,因为平面,所以平面平面，故A正确；选项B，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以∥,所以平面,因平面,所以平面平面，故B正确；选项C，由已知条件可知,为的中点，则,若平面平面，则平面,根据正三棱锥的结构特征可知点在底面内的射影是三角形的中心，同时也是的三等分点，而此处为的中点，故C错误；选项D，连接，分别为的中点，所以∥,因为正三棱锥的底边长为侧棱的倍，所以三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，所以，，因为,平面,所以平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面，故D正确；故选：.12.已知函数，则（）A.的图象关于点中心对称B.的值域为C.满足在区间上单调递增的的最大值为D.在区间上的所有实根之和为【答案】ACD【解析】【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到；利用代入检验法可知A正确；根据正弦型函数值域可知B错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得范围，知C正确；将问题转化为与交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D正确.【详解】；对于A，当时，，此时，的图象关于点中心对称，A正确；对于B，，的值域为，B错误；对于C，若在上单调递增，则，解得：，又，，解得：，，，则的最大值为，C正确；对于D，令，则；当时，，作出与的图象如下图所示，与的交点即为方程的根，由对称性可知：，，，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解；本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得，进而可求模长.【详解】由题意可得，若，则，解得，所以，则.故答案为：.14.已知函数的最小正周期为，则函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据正切型函数的周期可得，再令，结合正切函数求定义域.【详解】由题意可得：，且，解得，对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.15.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则______．【答案】【解析】【分析】先利用三角函数的定义求得和，再根据诱导公式化简求解即可.【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，所以，，所以，故答案为：16.已知向量满足，则的最小值是______，最大值是______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用向量数量积运算律可得到，，令，平方后可求得范围，进而得到的范围，即可求得所求最值.【详解】设夹角为，，，，令，则且，，，，，即的最小值为，最大值为.故答案为：；.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直三棱柱中，，，点D是AC的中点．（1）求证：平面，（2）若三棱柱的体积为6，求四面体的体积．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接交于点，可得，利用线面平行的判断定理可得答案；（2）设，，利用三棱柱的体积为6可得，再由可得答案.【小问1详解】连接交于点，连接，因为为平行四边形，所以为的中点，可得为的中位线，所以，因为平面，平面，平面；【小问2详解】在直三棱柱中，底面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，点D是AC的中点，设，，所以三棱柱的体积为，可得，所以.18.如图，在中，．（1）用，表示，；（2）若点满足，证明：，，三点共线．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.（2）利用三点共线的判定证明即可.【小问1详解】因为，，.【小问2详解】由，可得，所以，，即，所以，，三点共线.19.已知复数，，．（1）若为实数，求的值；（2）设复数在复平面内对应的向量分别是，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由复数的运算将化简，然后由为实数列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由列出方程即可得到，再由同角的平方关系，即可得到结果.【小问1详解】因为，，所以，且为实数，所以，即，又因为，所以，所以，则.【小问2详解】由题意可得，，，因为，所以，即，化简可得，所以，又因为，则，所以.20.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知的图象在区间上有且仅有两条对称轴．（1）求；（2）求在上的单调区间．【答案】（1）（2）递增区间为和，递减区间为.【解析】【分析】（1）根据三角函数的图象变换得到，再由的图象在区间上有且仅有两条对称轴，求得，得到，得出，即可求得的值；（2）由，可得，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【小问1详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，因为，可得，又因为的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则满足，解得，因为，所以，所以，则.【小问2详解】解：由函数，又由，可得，当时，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减；当时，即时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.21.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求bc的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角C，然后通过两角和差的正弦公式展开化简即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得，结合角A的范围和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】已知，由正弦定理可得，即，整理得，又，所以，所以，即，又，所以，即.【小问2详解】由（1）知，又，由正弦定理，得，所以，所以，，在锐角中，，则，当时，，当时，，所以，则，故的周长的取值范围为.22.如图，圆锥PO的体积，点A，B，C，D都在底面圆周上，且，，AB＝4，E为PB的中点．（1）求圆锥PO的侧面积；（2）求直线CE与平面