高中数学人教B版第十章《复数》知识点清单

新教材人教B版2019版数学必修第四册第十章知识点清单目录第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.1复数的概念10.1.2复数的几何意义10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法10.2.2复数的乘法与除法10.3复数的三角形式及其运算第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.1复数的概念一、复数及复数集1.复数：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数(i为虚数单位).2.复数的代数形式复数一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a，Im(z)=b.3.复数集所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C={z|z=a+

bi，a，b∈R}.二、复数的分类1.对于复数a+bi(a，b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集.这样，复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下：复数z实数2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示：三、复数相等两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1=z2.如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地，当a，b都是实数时，a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.提醒：两个复数(如果不全是实数)不能比较大小，只能说它们相等或不相等.四、对复数概念的理解1.复数的分类问题一般转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为标准形式，列出实部与虚部满足的方程或不等式即可.2.解题时一定要先看复数是不是a+bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部.3.若一个复数是实数，则有以下结论：(1)z的虚部为0，则z∈R；(2)z∈R⇔z2≥0.4.若一个复数是纯虚数，则有以下结论：(1)实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数；(2)z是纯虚数⇔z2<0；(3)若z为纯虚数，则z=ki(k∈R且k≠0).五、复数相等的定义利用复数相等的定义时要注意：(1)化为复数的标准形式z=a+bi；(2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R；(3)实部和虚部分别对应相等.根据复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了

条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.10.1.2复数的几何意义一、复数的几何意义1.复数与复平面内的点的一一对应一方面，根据复数相等的定义，复数z=a+bi(a，b∈R)被它的实数与虚部唯一确定，即复数z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a，b).因此可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一

对应关系，即复数z=a+bi↔点Z(a，b).如图所示：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内，x轴上的点对应

的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴.2.复数与平面向量的一一对应因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向

量OZ，所以复数也可用向量OZ来表示，这样也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔向量OZ=(a，b).如图所示：二、共轭复数1.定义一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭

复数.复数z的共轭复数用z表示.2.代数形式：a+bi与a-bi(a，b∈R)互为共轭复数，即z=a+bi⇔z=a-bi.3.几何描述非零复数z1、z2互为共轭复数⇔它们在复平面内对应的点Z1、Z2(或对应向量OZ1、OZ2三、复数的模1.一般地，向量OZ=(a，b)的长度称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|=a2+b2.当b=0时，2.一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|=|z|.四、对复数几何意义的理解1.复平面内的虚轴上的单位长度是1而不是i，由于i=0+1·i，所以用复平面内的点(0，1)表示i时，这一点与原点的距离是1，等于虚轴上的单位长度.2.当a=0时，对任何b≠0，b∈R，a+bi=0+bi=bi是纯虚数，但当a=b=0时，a+bi=0是实数，所以除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z=a+bi(a，b∈R)中的z，书写时要小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时要大写.4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.四、复平面内复数z对应的点Z的几个基本轨迹1.|z|=0↔点Z组成的集合是原点.2.|z|=r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆.3.|z|>r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆的外部.4.|z|<r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆的内部.5.|z|≥r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆及其外部.6.|z|≤r(r是正数)↔点Z组成的集合是圆心在原点，半径为r的圆及其内部.7.r1<|z|<r2(r1，r2是正数)↔点Z组成的集合是一个圆环(不包括边界).10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法一、复数的加、减运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R).(1)z1+z2=(a+c)+(b+d)i，(2)z1-z2=(a-c)+(b-d)i.二、复数的加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1+z2=z2+z1，(交换律)(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(结合律)三、复数加、减法的几何意义设复数z1，z2所对应的向量分别为OZ1与OZ2，则当OZ1与OZ2不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量就是OZ，如图1所示.设点Z满足OZ=Z由复数加、减法的几何意义可得||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.四、复数代数形式的加、减运算1.复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项.2.复数的加法满足交换律和结合律，利用复数加法的运算律可以简化运算.五、复数加、减运算的几何意义1.利用复数加、减运算的几何意义解题的常用技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形有关的问题转化成复数的运算进行解题；(2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中.2.利用复数的几何意义解题的常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点(点O，A，B不共线).(1)四边形OACB为平行四边形；(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形.10.2.2复数的乘法与除法一、集合的相关概念1.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(2)z1z2=a+bic+di=ac+bdc22.z的n次方(或n次幂)n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作zn.3.常用结论(1)∀z∈C，zz=|z|2=|z|2.(2)zmzn=zm+n(m，n∈N*).(3)(zm)n=zmn(m，n∈N*).(4)(z1z2)n=z1nz2n(5)z0=1，z-n=1zn(z≠0，n∈N*)二、复数的乘法运算律对任意z1，z2，z3∈C，(1)z1z2=z2z1；(交换律)(2)(z1z2)z3=z1(z2z3)；(结合律)(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(分配律)三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集1.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内的解：Δ=b2-4ac>0两个不相等的实数根Δ=b2-4ac=0两个相等的实数根Δ=b2-4ac<0两个互为共轭的虚数根四、复数代数形式的乘、除运算1.复数乘、除运算的策略(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘多项式，复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘分母的共轭复数.这种方法通常称为“分母实数化”.2.复数代数运算中的常用结论(1)(1±i)2=±2i，1+i1-i=i，1-i1+i(2)-12±32i(3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R).五、in(n∈N)的周期性及其应用1.虚数单位i的幂的周期性(1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)，其中i0=1，i-n=1in(n∈N*(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).2.计算(a+bi)n时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1±i，计算它的n(n≥2且n∈N)次方时，一般先计算它的平方；对于复数±12±32i，计算它的n(n≥3且n∈N)次方时，六、复数范围内实系数一元二次方程根的问题1.对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时，方程没有实数根.因

此，在研究代数方程的问题中，如果仅限于实数集，有些问题就无法解决.在实数集

扩充到复数集后，就可以对上述方程进行求解了.2.复数范围内实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式：(1)当Δ≥0时，x=-b±b(2)当Δ<0时，x=-b±-(3.如果实系数一元二次方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对”出现.4.根与系数的关系在复数范围内仍然成立.10.3复数的三角形式及其运算一、复数的三角形式一般地，如果非零复数z=a+bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r=|z|=a2根据任意角余弦、正弦的定义可知cosθ=ar，sinθ=br.因此a=rcosθ，b=rsinθ，如图所示，从而z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ)，上式的右边称为非零复数z=a+bi的三角形式(对应地，a+bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相

差2π的整数倍.特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.二、复数三角形式的乘除法1.复数三角形式的乘除法设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].特别地，如果n∈N，则[r(cosθ+isinθ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(2.复数乘除运算的几何意义(1)复数乘法的几何意义两个复数z1，z2相乘时，如图1，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ(2)复数除法的几何意义两个复数z1，z2相除时，如图2，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r图1图2三、复数的三角形式1.复数z=r(cosθ+isinθ)的结构特点①r是复数的模，r≥0；②式中的三角函数是同一个辐角θ的余弦和正弦；③cosθ在前，