用变分法解平面问题

用变分法解平面问题第1页，课件共21页，创作于2023年2月在x方向上，有正应力和正应变,则单位体积的形变势能（又称应变能或内力势能)为：图5-13）另外，若在x和y方向上有切应力,相应的切应变为,则其形变势能为§5－1

弹性体的形变势能和外力势能弹性力学中所研究的泛函，就是弹性体的能量（如形变势能、外力势能等），弹性力学的变分法又称能量法形变势能密度1、形变势能2）同理，在y方向上的应变势能为:第2页，课件共21页，创作于2023年2月

弹性体有全部六个应力分量：则弹性体的全部形变势能密度：（a）对于平面问题，则形变势能密度：（b）整个弹性体的形变势能U为（取h＝1单位）：（c）ijmxyh图5-24）整个弹性体的形变势能第3页，课件共21页，创作于2023年2月2.1用应变分量表示形变势能平面应力问题的物理方程：（d）代入（b）式，得：（e）结论：弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量2、形变势能的表示形式第4页，课件共21页，创作于2023年2月2.2用位移分量表示形变势能由几何方程代入（e）式，即得：（f）注：叠加原理不适合于形变势能平面应变问题时,将上述各式中的

和作如下替换第5页，课件共21页，创作于2023年2月外力功：外力（体力和面力）在实际位移上所做的功弹性体受体力和面力作用，平面区域A内的体力分量为、，边界上的面力分量为、，则（5－17)外力势能为：（5－18）3、外力势能第6页，课件共21页，创作于2023年2月§5－2位移变分方程虚位移或者位移变分假想位移分量v、u发生了位移边界条件所容许的微小改变实际位移状态虚位移状态AB图5－8x实际位移分量：u，v虚位移状态：1、虚位移第7页，课件共21页，创作于2023年2月2、微分和变分的异同1）运算对象不同

在微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数例如：，由坐标的微分dx引起函数的微分是在变分运算中，自变量是函数，因变量是泛函。例如，形变势能U是位移函数v的函数，由于位移的变分引起形变势能的变分是2）运算方法是相同因为微分和变分都是微量第8页，课件共21页，创作于2023年2月3、外力势能和形变势能的变分由于位移的变分，引起外力功的变分（即外力虚功）和外力势能的变分(5-19)(5-20)(注：外力作为恒力计算）引起形变势能的变分：（注：应力分量作为恒力计算）第9页，课件共21页，创作于2023年2月4、位移变分方程

1）在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。（5－22）3）虚功方程将用式（5－21），表示，再代入位移变分方程（5－22），得到外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功（条件：弹性体变形前处于平衡状态）（5－24）内力虚功=外力虚功2）极小势能原理在给定的外力作用之下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值第10页，课件共21页，创作于2023年2月现在我们得出，实际存在的位移，除了预先满足位移边界条件外，还必须满足位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）。而且，通过进一步运算，还可以从位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）导出平衡微分方程和应力边界条件结论位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件第11页，课件共21页，创作于2023年2月§5－3位移变分法变分解法（瑞利－里茨法）思路：1）设定一组包含若干特定系数的位移分量的表达式，并使它们满足位移边界条件，2）然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）3）求出待定系数，即得出实际位移第12页，课件共21页，创作于2023年2月取位移表达式：（5－25）其中和均为设定的坐标函数，并在约束边界上，令分别等于给定的约束位移值，令分别等于零。（位移分量须预先满足了约束边界上的位移边界条件）而为互不依赖的2m个待定的系数，用来反映位移状态的变化即位移的变分是由系数的变分来实现。第13页，课件共21页，创作于2023年2月位移分量的变分：形变势能的变分：代入（5－22）式移项整理第14页，课件共21页，创作于2023年2月用位移变分法求得位移以后，不难通过几何方程求得形变，进而通过物理方程求得应力，但是往往会出现这样的情况：取不多的系数，就可以求得较精确的位移，而通过求导后的应力却不精确。为了使求得的应力充分精确，必须取更多的系数。m＝（1，2，3……)(5-26)Am,Bm的位移变分方程要使上式对任意的都成立,则有第15页，课件共21页，创作于2023年2月§5－4位移变分法的例题第一例题设有宽度为a而高度为b的矩形薄板，xyab图5－9图5－9，在左边及下边受连杆支撑，在右边及上边分别受有均布压力q1和q2，不计体力，试求薄板的位移。第16页，课件共21页，创作于2023年2月分析：取坐标轴如图所示。按（5－25）的形式，把位移分量设定为（a）满足位移边界条件试在式（a）中只取A1及B1两个待定系数，即（b）代入式（5－16），并积分得，得到（c）因为不计体力，所以有fx＝0，fy＝0。则（5－26）可简化为（d）（e）（f）第17页，课件共21页，创作于2023年2月（c）代入式（f）（g）（h）

若在式（a）中除了A1和B1外再取一些其他的待定系数，例如A2和B2，则在进行与上相似的计算后，可见这些系数都等于零。而A1和B1仍然如式（g）所示，可见位移分量的解答仍然如式（h）所示。思考：按照几何方程及物理方程由位移分量（h）求出的应力分量，可以满足平衡微分方程和应力边界条件第18页，课件共21页，创作于2023年2月xybbaa图5－10第二例设有宽度为2a而高度为（b）的矩形薄板，图5－10,它的左边、右边和下边均被固定，而上边（自由边）具有给定的位移，如下式：（i）不计体力，试求薄板的位移第19页，课件共21页，创作于2023年2月分析：取坐标轴如图所示。按照式（5－25）的形式，但m＝1，位移分量的表达式设定为（i）（k）显然满足位移边界条件：因为于是式（5－26）可以简化为（l）第20页，课件共21页，创作于2023年2