矢量分析和场论基础

矢量分析和场论基础第1页，课件共18页，创作于2023年2月矢量和标量电磁学中的各种物理量可分为两类标量矢量标量（Scalar）：选定单位后仅用一个数值就可以表示其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等矢量（Vector）：不仅有大小，还有方向的物理量，称为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等矢量在印刷体中常用黑体字，如A

第2页，课件共18页，创作于2023年2月0.1矢量及运算1、矢量的表示方法单位矢量：长度为一个单位的矢量称为单位矢量。在正交坐标系，矢量可以用坐标来表示。如：直角坐标系中，从O指向终点P的矢量A可以表示为：、、表示x、y、z三个坐标轴方向上的单位矢量。第3页，课件共18页，创作于2023年2月2、矢量运算矢量标积(点乘):在直角坐标系中，其解析式为矢量矢积(叉乘):在直角坐标系中，其解析式为

第4页，课件共18页，创作于2023年2月0.2标量场和矢量场

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量。例如，在直角坐标系下，标量场如温度场，电位场，高度场等；矢量场如流速场，电场，涡流场等。第5页，课件共18页，创作于2023年2月形象描绘场分布的工具—场线矢量场—矢量线标量场—等值线(面)其方程为其方程为三维场在直角坐标下(矢量线):二维场矢量线等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？过点P等值面的法线方向n方向(垂直于等高线，斜率最大)—梯度方向。第6页，课件共18页，创作于2023年2月0.3标量场的梯度当，即与方向一致时，最大。1、梯度

设一个标量函数(x,y,z)，若函数

在点P可微，则在点P沿任意方向l的方向导数为(沿方向l对距离的变化率)：梯度(gradient)哈密(尔)顿算子式中则有：设式中，，，分别是与x,y,z轴的夹角，el为方向l的单位矢量第7页，课件共18页，创作于2023年2月例1高度场的梯度h=f(x,y)例2电位场的梯度(金属球在正电荷产生的场中—电场线)高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；2、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。

梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;三维高度场的梯度电位场的梯度第8页，课件共18页，创作于2023年2月0.4矢量场的通量与散度1、通量

通量：矢量E

沿有向曲面S的面积分>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)矢量场的通量矢量场的通量

若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质：第9页，课件共18页，创作于2023年2月2、散度如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时，通量与体积之比的极限存在，即散度(divergence)计算公式3、散度的物理意义散度代表矢量场的通量源的分布特性。•

A=0(无源）•

A=0(负源)•

A=0(正源)在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；第10页，课件共18页，创作于2023年2月4、高斯(Gauss)公式(散度定理)高斯公式该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。散度定理由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量第11页，课件共18页，创作于2023年2月0.5矢量场的环量与旋度1、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量例：流速场流速场环量的计算第12页，课件共18页，创作于2023年2月2、旋度(1)环量密度过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限环量密度取不同的路径，其环量密度不同。(2)旋度—最大环量密度

旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl)它与环量密度的关系为在直角坐标系下第13页，课件共18页，创作于2023年2月3、旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。

点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0，称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。4、斯托克斯(Stockes)定理A是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Stockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。

矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系若矢量场处处A=0，称之为无旋场。斯托克斯定理第14页，课件共18页，创作于2023年2月0.6亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(HelmholtzTheorem)：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质=0=0=000=0第15页，课件共18页，创作于2023年2月0.7三种特殊形式的场1.平行平面场：如果在一族平行平面上，场F的分布都相同，即F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族子午面上，场F的分布都相同，即F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。3.球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场F的分布都相同，即F=f(r)，则称这个场为球面对称场。第16页，课件共18页，创作于2023年2月算子(直角坐标系)一、哈密(尔)顿算子1定义：矢量