电力系统稳定性电磁暂态

电力系统稳定性电磁暂态第1页，课件共65页，创作于2023年2月第二章电力系统电磁暂态过程分析第一节概述在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁暂态过程和机电暂态过程，电磁暂态过程主要指各元件中电场和磁场以及相应的电压和电流的变化过程，机电暂态过程则指由于发电机和电动机电磁转矩的变化所引起电机转子机械运动的变化过程。虽然电磁暂态过程和机电暂态过程同时发生并且相互影响，但是要对它们统一分析却十分复杂。第2页，课件共65页，创作于2023年2月由于这两个暂态过程的变化速度实际上相差很大，在工程上通常近似地对它们分别进行分析。例如：在电磁暂态过程分析中，常不计发电机和电动机的转速变化。而在静态稳定性和暂态稳定性等机电暂态过程分析中，则往往近似考虑或甚至忽略电磁暂态过程。只有在分析由发电机组轴系引起的次同步谐振现象，计算大扰动后轴系的暂态扭矩等问题中，才不得不同时考虑电磁暂态过程和机电暂态过程。第3页，课件共65页，创作于2023年2月电磁暂态过程分析的主要目的：在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措施。对于研究新型快速继电保护装置的动作原理，故障点探测原理以及电磁干扰等问题，也常需要进行电磁暂态过程分析。第4页，课件共65页，创作于2023年2月由于电磁暂态过程变化很快，一般需要分析和计算持续时间在毫秒级以内的电压、电流瞬时值变化情况，因此，在分析中需要考虑：元件的电磁耦合计及输电线路分布参数所引起的波过程有时甚至要考虑线路三相结构的不对称线路参数的频率特性以及电晕等因素的影响电磁暂态过程的分析方法可以分为两类：一类是应用暂态网络分析仪—TNA(TransientNetworkAnalyzer)的物理模拟方法。第5页，课件共65页，创作于2023年2月另一类是数值计算(或称数字仿真)方法即列出描述各元件和全系统暂态过程的微分方程，应用数值方法进行求解。随着数字计算机和计算方法的发展，现在已研究和开发出一些比较成熟的数值计算方法和程序。其中由H.W.Dommel创建的电磁暂态程序—EMTP(ElectromegnaticTransientProgram)，经过许多人的共同工作进行不断改进和完善后，已具有很强的计算功能和良好的计算精度，并包括了发电机、轴系和控制系统动态过程的模拟，使之能用于次同步谐振问题的分析。这一程序已得到国际上的普遍承认和广泛应用，并仍在继续发展。第6页，课件共65页，创作于2023年2月本章将主要介绍EMTP的基本数学模型和计算方法，重点在于阐述其基本原理，以作为同学们使用和进一步深入了解这一程序和其它有关程序，乃至研究和开发新程序的基础。第7页，课件共65页，创作于2023年2月

第二节电磁暂态过程数值计算的基本方法对于电力系统中的并联电抗器、并联和串联电容器等集中参数元件，或可以近似处理成集中参数的元件(如变压器和短线路)，总可以列出描述其暂态过程中电压和电流间关系的常微分方程(纯电阻参数元件则为代数方程)，然后应用数值方法进行求解。由于隐式梯形积分法比较简单而且具有相当的精度和良好的数值稳定性，并能较好地适应刚性微分方程组，因此在EMTP和其它一些电磁暂态程序中大多采用这种积分方法。第8页，课件共65页，创作于2023年2月

上述常微分方程在采用隐式梯形积分法时，在一个积分步长t内(例如由t-t到t)将被转换成相应的差分方程。它描述了t时刻的电压、电流与t-t时刻的电压、电流之间的相互关系，而t-t时刻的电压和电流是前一个步长的计算结果，对于本步长来说是已知量。进而，这些差分方程可以用一种由纯电阻和电流源构成的电路来代替，以反映t时刻未知电压和电流之间的关系，其中的电阻决定于元件的参数和积分步长，而电流源则决定于t-t时刻的电压和电流值。这种电路称为暂态等值计算电路。第9页，课件共65页，创作于2023年2月

在暂态过程中，对于长线等分布参数元件，其电压和电流之间的关系应由偏微分方程来描述。在单根导线并且不计损耗的情况下，t时刻线路两端电压、电流之间的关系，可以由偏微分方程的解析解转换成用纯电阻和电流源构成的暂态等值计算电路，其中的电阻决定于线路参数，电流源的取值则决定于t-时刻(t为线路上电磁波的传播时间)的电压、电流。对于有损线路，在作适当近似处理后仍可沿用类似的暂态等值计算电路。第10页，课件共65页，创作于2023年2月

这样，根据各元件之间的实际接线方式，将它们的暂态等值计算电路进行相应的连接，便可组成一个带有已知电流源的纯电阻网络。对这一网络进行求解，即可以得出t时刻各个元件的电压和电流。依次对各个步长进行递推计算，便可求得整个暂态过程的数值解。上述方法仅限于元件参数为常数的情况，对于饱和电抗器、避雷器等非线性元件，还需作特殊处理。以上便是本节所要介绍的电磁暂态过程数值计算的基本原理。第11页，课件共65页，创作于2023年2月

在介绍具体方法以前，先引出隐式梯形积分公式，以便应用。对于常微分方程，即在t-t到t积分步长内的隐式梯形积分公式(以下简称梯形积分公式)为

第12页，课件共65页，创作于2023年2月

一、集中参数元件的暂态等值计算电路

1．电感元件对于图2-1(a)所示的电感电路，可以列出其微分方程，即第13页，课件共65页，创作于2023年2月

应用梯形积分公式，可将它化为下列差分方程很明显，式(2-2)中t

时刻的电压、电流关系可以用图2-1(b)所示的等值电路代替，并称之为暂态等值计算电路。其中，RL是积分计算中反映电感L的等值电阻、当步长t固定时它为定值；IL(t-t)是t时刻的等值电流源，由t-t时刻的电流和电压按式(2-4)计算而得。第14页，课件共65页，创作于2023年2月

对于积分的第一个时段，t=t，t-t＝0，式(2-4)右端的电流和电压将是它们的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而对于其它时段则是前一个时段的计算结果。在实际计算中，为了省去对电感支路电流ijk(t-t)的计算，可应用对应于t-t时刻的电流、电压关系式(2-2)，将式(2-4)改写成下列递推形式

(2-5)

并用式(2-5)进行电流源的递推计算，当然，在起步时仍需应用式(2-4)来计算相应的电流源。第15页，课件共65页，创作于2023年2月2．电容元件仿照电感元件的方法，可以导出图2-2(a)所示电容电路的暂态等值计算电路[见图2-2(b)]。第16页，课件共65页，创作于2023年2月相应的计算公式为电流源的递推计算式为第17页，课件共65页，创作于2023年2月3．电阻元件图2-3所示的电阻元件电路，其电压、电流的关系为代数方程，即

(2-10)

它直接描述了t时刻的电压和电流之间的关系，因此，图2-3中的电路本身就是它的暂态等值计算电路。第18页，课件共65页，创作于2023年2月

以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数(例如R、L串联)时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。另外，对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。暂态等值计算电路又称等值计算电路。后面在不引起混淆的情况下，将它简称为等值电路。第19页，课件共65页，创作于2023年2月

二、单根分布参数线路的贝瑞隆(Bergeron)等值计算电路在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用型或T型集中参数电路代替，再将其中的各个参数用前面介绍的等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。第20页，课件共65页，创作于2023年2月(一)单根无损线路的暂态等值计算电路对于图2—5(a)所示的单根无损线路，第21页，课件共65页，创作于2023年2月

设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程（2-11）可将式(2—11)改写为二阶波动方程，即（2-12）式中：为沿线电磁波的传播速度。第22页，课件共65页，创作于2023年2月

式(2—12)的通解为：

（2-13）在式中，与f1(x-vt)有关的项反映速度为v的前行波，与f2(x+vt)有关的项反映速度为v的反行波，为线路的波阻抗。将式(2-13)的第二式两端乘以ZC，再与其第一式分别相加和相减后，得（2-14）（2-15）

贝瑞隆应用此两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。第23页，课件共65页，创作于2023年2月

这里并不直接应用贝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推导线路两端的等值计算电路。在式(2-14)中，分别令x＝0和x=l,则由图2-5(a)知u(0,t)＝uj(t)，i(0,t)＝ijk(t)，u(l,t)＝uk(t)

，i(l,t)＝-ikj(t)

。于是得

(2-16)(2-17)

在式(2-16)中，将t换成t-(=l/v，为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间），于是式（2-16）变为：（2-18）将式(2-18)与式(2-17)进行比较，可以导出（2-19）第24页，课件共65页，创作于2023年2月

式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意义为：t-时刻在j端的前行波，在t时刻到达k端。式(2-19)可改写为

(2-20)(2-21)

采用相同的方法，由式(2-15)可以导出

(2-22)(2-23)

式(2-22)、(2-23)的物理意义为：t-时刻在k端的反行波，在t时刻到达j端。第25页，课件共65页，创作于2023年2月

式(2-20)~(2-23)给出了t时刻线路一端电流、电压与t-时刻另一端电流、电压之件的关系。不难看出，这组关系可以用图2-5（b)所示的暂态等值计算电路（又称贝瑞隆等值计算电路)来反映。它将分布参数线路的波过程转化为仅含电阻和电流源的集中参数电路，线路两端间的电磁联系由反映t-时刻两端电压、电流的等值电流源来实现，而无直接拓扑联系。第26页，课件共65页，创作于2023年2月

这样，在已知t-时刻线路两端电压和电流值的情况下，可以分别应用式(2-21)和式(2-23)求出两端的等值电流源，然后，应用式(2-20)和式(2-22)或图2-5(b)中的等值计算电路，便可分别得出t时刻两端电流和电压的关系式，从而将它们用于全网在t时刻的数值计算。必须指出，由于式(2-20)~(2-23)是由式(2-12)波动方程的解析解经严格推导而得出的，因此它与所采用的积分步长t无关。等值电流源经过适当推导可以改写为下列递推形式第27页，课件共65页，创作于2023年2月(二)线路损耗的近似处理在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则屑于专门研究课题，已超出本书范围。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可以满足工程计算的精度要求。第28页，课件共65页，创作于2023年2月

图2-6(a)所示为线路被等分为两段第29页，课件共65页，创作于2023年2月

为了避免新增节点，将图2-6(b)等值简化为图2-6(c)第30页，课件共65页，创作于2023年2月第31页，课件共65页，创作于2023年2月

另版——34张第二节电磁暂态过程数值计算的基本方法对于电力系统中的并联电抗器、并联和串联电容器等集中参数元件，或可以近似处理成集中参数的元件(如变压器和短线路)，总可以列出描述其暂态过程中电压和电流间关系的常微分方程(纯电阻参数元件则为代数方程)，然后应用数值方法进行求解。由于隐式梯形积分法比较简单而且具有相当的精度和良好的数值稳定性，并能较好地适应刚性微分方程组，因此在EMTP和其它一些电磁暂态程序中大多采用这种积分方法。第32页，课件共65页，创作于2023年2月

上述常微分方程在采用隐式梯形积分法时，在一个积分步长t内(例如由t-t到t)将被转换成相应的差分方程。它描述了t时刻的电压、电流与t-t时刻的电压、电流之间的相互关系，而t-t时刻的电压和电流是前一个步长的计算结果，对于本步长来说是已知量。进而，这些差分方程可以用一种由纯电阻和电流源构成的电路来代替，以反映t时刻未知电压和电流之间的关系，其中的电阻决定于元件的参数和积分步长，而电流源则决定于t-t时刻的电压和电流值。这种电路称为暂态等值计算电路。第33页，课件共65页，创作于2023年2月

在暂态过程中，对于长线等分布参数元件，其电压和电流之间的关系应由偏微分方程来描述。在单根导线并且不计损耗的情况下，t时刻线路两端电压、电流之间的关系，可以由偏微分方程的解析解转换成用纯电阻和电流源构成的暂态等值计算电路，其中的电阻决定于线路参数，电流源的取值则决定于t-时刻(t为线路上电磁波的传播时间)的电压、电流。对于有损线路，在作适当近似处理后仍可沿用类似的暂态等值计算电路。第34页，课件共65页，创作于2023年2月

这样，根据各元件之间的实际接线方式，将它们的暂态等值计算电路进行相应的连接，便可组成一个带有已知电流源的纯电阻网络。对这一网络进行求解，即可以得出t时刻各个元件的电压和电流。依次对各个步长进行递推计算，便可求得整个暂态过程的数值解。上述方法仅限于元件参数为常数的情况，对于饱和电抗器、避雷器等非线性元件，还需作特殊处理。以上便是本节所要介绍的电磁暂态过程数值计算的基本原理。第35页，课件共65页，创作于2023年2月

在介绍具体方法以前，先引出隐式梯形积分公式，以便应用。对于常微分方程，即在t-t到t积分步长内的隐式梯形积分公式(以下简称梯形积分公式)为

第36页，课件共65页，创作于2023年2月

一、集中参数元件的暂态等值计算电路

1．电感元件对于图2-1(a)所示的电感电路，可以列出其微分方程，即第37页，课件共65页，创作于2023年2月

应用梯形积分公式，可将它化为下列差分方程很明显，式(2-2)中t

时刻的电压、电流关系可以用图2-1(b)所示的等值电路代替，并称之为暂态等值计算电路。其中，RL是积分计算中反映电感L的等值电阻、当步长t固定时它为定值；IL(t-t)是t时刻的等值电流源，由t-t时刻的电流和电压按式(2-4)计算而得。第38页，课件共65页，创作于2023年2月

对于积分的第一个时段，t=t，t-t＝0，式(2-4)右端的电流和电压将是它们的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而对于其它时段则是前一个时段的计算结果。在实际计算中，为了省去对电感支路电流ijk(t-t)的计算，可应用对应于t-t时刻的电流、电压关系式(2-2)，将式(2-4)改写成下列递推形式

(2-5)

并用式(2-5)进行电流源的递推计算，当然，在起步时仍需应用式(2-4)来计算相应的电流源。第39页，课件共65页，创作于2023年2月2．电容元件仿照电感元件的方法，可以导出图2-2(a)所示电容电路的暂态等值计算电路[见图2-2(b)]。第40页，课件共65页，创作于2023年2月相应的计算公式为电流源的递推计算式为第41页，课件共65页，创作于2023年2月3．电阻元件图2-3所示的电阻元件电路，其电压、电流的关系为代数方程，即

(2-10)

它直接描述了t时刻的电压和电流之间的关系，因此，图2-3中的电路本身就是它的暂态等值计算电路。第42页，课件共65页，创作于2023年2月以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数(例如R、L串联)时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。暂态等值计算电路又称等值计算电路。后面在不引起混淆的情况下，将它简称为等值电路。第43页，课件共65页，创作于2023年2月

二、单根分布参数线路的贝瑞隆(Bergeron)等值计算电路在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用型或T型集中参数电路代替，再将其中的各个参数用前面介绍的等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。第44页，课件共65页，创作于2023年2月(一)单根无损线路的暂态等值计算电路对于图2-5(a)所示的单根无损线路，第45页，课件共65页，创作于2023年2月

设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程（2-11）可将式(2—11)改写为二阶波动方程，即（2-12）式中：为沿线电磁波的传播速度。第46页，课件共65页，创作于2023年2月

式(2-12)的通解为：

（2-13）在式中，与f1(x-vt)有关的项反映速度为v的前行波，与f2(x+vt)有关的项反映速度为v的反行波，为线路的波阻抗。

第47页，课件共65页，创作于2023年2月

将式(2-13)的第二式两端乘以ZC，再与其第一式分别相加和相减后，得（2-14）（2-15）

贝瑞隆应用此两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。我们并不直接应用贝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推导线路两端的等值计算电路。第48页，课件共65页，创作于2023年2月

在式(2-14)中，分别令x＝0和x=l,则由图2-5(a)知u(0,t)＝uj(t)，i(0,t)＝ijk(t)，u(l,t)＝uk(t)

，i(l,t)＝-ikj(t)

。于是得

(2-16)(2-17)

在式(2-16)中，将t换成t-(=l/v，为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间），于是式（2-16）变为：（2-18）将式(2-18)与式(2-17)进行比较，可以导出（2-19）第49页，课件共65页，创作于2023年2月

式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意义为：t-时刻在j端的前行波，在t时刻到达k端。式(2-19)可改写为

(2-20)(2-21)

采用相同的方法，由式(2-15)可以导出

(2-22)(2-23)

式(2-22)、(2-23)的物理意义为：t-时刻在k端的反行波，在t时刻到达j端。第50页，课件共65页，创作于2023年2月

式(2-20)~(2-23)给出了t时刻线路一端电流、电压与t-时刻另一端电流、电压之件的关系。不难看出，这组关系可以用图2-5(b)所示的暂态等值计算电路（又称贝瑞隆等值计算电路)来反映。第51页，课件共65页，创作于2023年2月它将分布参数线路的波过程转化为仅含电阻和电流源的集中参数电路，线路两端间的电磁联系由反映t-时刻两端电压、电流的等值电流源来实现，而无直接拓扑联系。这样，在已知t-时刻线路两端电压和电流值的情况下，可以分别应用式(2-21)和式(2-23)求出两端的等值电流源，然后，应用式(2-20)和式(2-22)或图2-5(b)中的等值计算电路，便可分别得出t时刻两端电流和电压的关系式，从而将它们用于全网在t时刻的数值计算。第52页，课件共65页，创作于2023年2月必须指出，由于式(2-20)~(2-23)是由式(2-12)波动方程的解析解经严格推导而得出的，因此它与所采用的积分步长t无关。等值电流源经过适当推导可以改写为下列递推形式第53页，课件共65页，创作于2023年2月(二)线路损耗的近似处理在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则屑于专门研究课题，已超出本书范围。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可以满足工程计算的精度要求。第54页，课件共65页，创作于2023年2月

图2-6(a)所示为线路被等分为两段第55页，课件共65页，创作于2023年2月

为了避免新增节点，将图2-6(b)等值简化为图2-6(c)第56页，课件共65页，创作于2023年2月第57页，课件共65页，创作于2023年2月三、暂态等值计算网络的形成及求解

前面介绍的各种元件，在时刻t的等值计算电路都由等值电阻和电流源组成。当电力网由这些元件构成时，将各元件的等值计算电路按照电网的实际接线情况进行相应的连接后，便形成一个由纯电阻和电流源组成的网络。显然，这一网络反映了t时刻各元件本身及其相互之间的电压、电流关系，因此称它为t时刻的暂态等值计算网络，或简称等值计算网络。第58页，课件共65页，创作于2023年2月在