山东省青岛市胶州第九中学高二数学理上学期期末试题含解析

山东省青岛市胶州第九中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某单位员工按年龄分为A、B、C三个等级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从C等级组中应抽取的样本数为（）A．2 B．4 C．8 D．10参考答案：A【考点】分层抽样方法．【分析】利用抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，即可得出结论．【解答】解：由题意，从C等级组中应抽取的样本数为20×=2，故选A．2.已知，则、、的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则

(

)A

B

C

D参考答案：D略4.已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，，，，则该球的表面积为（

）A.4π B.8π C.16π D.32π参考答案：B【分析】利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故可求外接球的直径，从而求得球的表面积．【详解】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．5.下列结论中,正确的是

⑴垂直于同一条直线的两条直线平行.

⑵垂直于同一条直线的两个平面平行.⑶垂直于同一个平面的两条直线平行.

⑷垂直于同一个平面的两个平面平行.A．⑴⑵⑶

B．⑴⑵⑶⑷

C．⑵⑶

D．⑵⑶⑷参考答案：C6.命题：$x0?R，x20+2x0+2≤0，该命题的否定是A．$x0?R，x20+2x0+2≥0

B．"x?R，x2+2x+2＞0C．"x?R，x2+2x+2≤0

D．若x20+2x0+2≤0，则$x0?R参考答案：B7.抛物线顶点在原点，焦y轴上，其上一点P(m,1)到焦点距离为，则抛物线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：C8.在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是

A.

B.

C.

D.参考答案：B9.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有（

）．A．①②

B．②④

C．①③

D．③④参考答案：D

在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．10.已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是(

) A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20参考答案：C考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项的性质，可得结论．解答： 解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；a6+a10≠a16，即C错误a4+a12=a6+a10=20，即D正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以A（-1，2），B（5，6）为直径端点的圆的方程是_______________。参考答案：12.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为______.参考答案：0.4；13.已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是__.参考答案：略14.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．参考答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考点】归纳推理．【专题】计算题．【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．15.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是

．参考答案：16.过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=3，则|PQ|=．参考答案：4【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据抛物线的定义可知PF=，，且PQ=PF+QF=x1+x2+1，代入可求【解答】解：∵抛物线y2=2x的焦点（，0），准线x=﹣根据抛物线的定义可知PF=，∴PQ=PF+QF=x1+x2+1=4故答案为：417.关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以2006的余数是2005.其中所有正确命题的序号是_______________。参考答案：①④令x=1求出二项式(x?1)2005所有项的系数和为0，令x=0求出常数项为?l，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第六项为，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项，即③错误；当x=2006时,(x?1)2005除以2006的余数是2006?l=2005，即④正确。故答案为：①④。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF∥面PAD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定．【分析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF=CF，PG=DG，所以FG∥CD，且FG=CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE=CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF∥AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF=CF，PG=DG，所以FG∥CD，且FG=CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE=CD．所以FG∥AE，且FG=AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF∥AG．又因为EF?平面PAD，AG?平面PAD，所以EF∥平面PAD．19.（2012?杨浦区一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，S⊿ABC=，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，即∴bc=3①由余弦定理可知cosA==∴b2+c2=6，②由①②得，∴△ABC为等边三角形考点：正弦定理；余弦定理．

专题：计算题．分析：（1）先利用正弦定理把（2b﹣c）cosA﹣acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA﹣1）=0，求得cosA，进而求得A．（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b2+c2进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形．解答：解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，即∴bc=3①由余弦定理可知cosA==∴b2+c2=6，②由①②得，∴△ABC为等边三角形．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．21.已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x﹣y=0截得的弦长为，求圆的方程． 参考答案：【考点】关于点、直线对称的圆的方程． 【专题】计算题． 【分析】设圆心（a，2a），由弦长求出a的值，得到圆心的坐标，又已知半径，故可写出圆的标准方程． 【解答】解：设圆心（a，2a），由弦长公式求得弦心距d==， 再由点到直线的距离公式得d==|a|， ∴a=±2，∴圆心坐标为（2，4），或（﹣2，﹣4），又半径为， ∴所求的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，利用弦长公式和点到直线的距离公式，关键是求出圆心的坐标． 22.（本题满分14分）设三组实验数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)的回归直线方程是：＝x＋，使代数式[y1－(x1＋)]2＋[y2－(x2＋)]2＋[y3－(x3＋)]2的值最小时，=，

＝－，(分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数)．若有六组数据列表如下：x2345