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文档简介
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式R·九年级上册新课导入导入课题问题:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?会用待定系数法求二次函数的解析式.学习目标推进新课思考
回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么?知识点1用二次函数一般式y=ax2+bx+c
求函数解析式我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数,由几个点的坐标可以确定二次函数?探究已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4),求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式;第二步:代入已知点的坐标;第三步:解方程组。解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得:a-b+c=10a+b+c=4三个未知数,两个等量关系,这个方程组能解吗?已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7),
求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式;第二步:代入已知点的坐标;第三步:解方程组。解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数,三个等量关系,这个方程组能解吗?a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7①②③?由②-①可得:2b=-6b=-3由③-①可得:3a+3b=-3a+b=-1a=2将a=2,b=-3代入①可得:2+3+c=10c=5∴解方程组得:a=2,b=-3,c=5已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7),
求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式;第二步:代入已知点的坐标;第三步:解方程组。解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7∴解方程组得:因此,所求二次函数是:a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5.
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a,b,c的值。由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式。归纳任意两点的连线不与y轴平行已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).
三点,求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式;第二步:代入已知点的坐标;第三步:解方程组。解:设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).∴
解得a=1,b=-2,c=-3.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.练习
图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,如果顶点坐标已知,那么求解析式的关键是什么?知识点2用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3),求其解析式.解:∵抛物线顶点为(1,-4)∴设其解析式为y=a(x-1)2-4,
又抛物线过点(2,-3),
则-3=a(2-1)2-4,则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
已知顶点坐标和一点,求二次函数解析式的一般步骤:第一步:设解析式为y=a(x-h)2+k.第二步:将已知点坐标代入求a值得出解析式.归纳知识点3用交点式y=a(x-x1)
(x-x2)
求二次函数解析式
一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,当x=-2与
时,y=0,求这个二次函数的解析式.两种方法的结果一样吗?两种方法哪一个更简捷?
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0),与y轴交于点C(0,3),求这个二次函数的解析式.解:∵图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)
∴设函数解析式为y=a(x-1)(x-3)
∵图象过点C(0,3)
∴3=a(0-1)(0-3),解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤:①设出合适的函数解析式;②把已知条件代入函数解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;③解方程组求出待定系数的值,从而写出函数的解析式.知识点4已知图象上关于对称轴对称的两点坐标
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,1),B(3,1)两点,与y轴交于点C(0,3),求这个二次函数的解析式.方法1:设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0,3)代入其中求出a的值.方法2:设y=ax2+bx+c,把A(1,1),B(3,1),C(0,3)代入其中列方程组求a,b,c的值.两种方法的结果一样吗?哪种方法更简捷?
已知二次函数的图象经过点(-1,3),(1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.解:设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3,
又图象经过点(2,6),
∴6=a(2-1)(2+1)+3,
解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2.随堂演练基础巩固1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为()
A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=
.3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为
.D-2y=-7(x-3)2+4.解:(1)选用一般式求解析式:(2)选用交点式求解析式:根据已知条件选设函数解析式:用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:①已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用交点式;④已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式(可求出对称轴).综合应用5.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.解:由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,
知抛物线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),拓展延伸6.已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8,求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0),(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16)∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.课堂小结课后作业1.从课后习题中选取;2.完成练习册本课时的习题。学习目标1.巩固公式法解一元二次方程的步骤。2.利用根的判别式判断方程根的情况。3.利用公式法熟练解方程。用公式法解一元二次方程的一般步骤:4、代入求根公式:3、求出
的值。1、把方程化成一般形式。5、写出方程的解:特别注意:若则方程无解复习巩固2、写出的值。(2)9x2+6x+1=0公式法解方程:(1)x2-7x-18=0复习巩固例:
解方程:精讲点拨注:当时,方程有两相等的实数根,=0注意此时方程的解的写法。例:解方程:精讲点拨注:当时,方程没有实数根。<
0跟踪练习1.用公式法解下列方程(1)x2-3x-1=0(2)x2–
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