考点01集合与逻辑（16种题型3个易错考点）（原卷版）

考点01集合与规律〔16种题型4个易错考点〕【课程支配细目表】真题抢先刷，考向提前知二、考点清单三、题型方法四、易错分析五、刷好题六.刷压轴一一、真题抢先刷，考向提前知一．选择题〔共3小题〕1．〔2022•上海〕假设集合A＝[﹣1，2〕，B＝Z，那么A∩B＝〔〕A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}2．〔2021•上海〕集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，那么以下关系中，正确的选项是〔〕A．A⊆B B．∁RA⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R3．〔2020•上海〕命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f〔x+a〕＜f〔x〕+f〔a〕；命题q1：f〔x〕单调递减且f〔x〕＞0恒成立；命题q2：f〔x〕单调递增，存在x0＜0使得f〔x0〕＝0，那么以下说法正确的选项是〔〕A．只有q1是p的充分条件 B．只有q2是p的充分条件 C．q1，q2都是p的充分条件 D．q1，q2都不是p的充分条件二．填空题〔共5小题〕4．〔2022•上海〕集合A＝〔﹣1，2〕，集合B＝〔1，3〕，那么A∩B＝．5．〔2021•上海〕A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，那么A∩B＝．6．〔2020•上海〕集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，那么A∩B＝．7．〔2020•上海〕集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，假设A⊆B，那么a＝．8．〔2023•上海〕集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，那么a＝．二二、考点清单1.集合的有关概念〔1〕集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．〔2〕元素与集合的两种关系：属于，记为eq\a\vs4\al(∈)；不属于，记为.〔3〕集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．〔4〕五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)2.集合间的根本关系文字语言符号语言集合间的根本关系相等集合A与集合B中的全部元素都相同A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的根本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B假设全集为U，那么集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.5．常用结论〔1〕空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；②空集是任何集合的子集〔即∅⊆A〕；空集是任何非空集合的真子集〔假设A≠∅，那么∅A〕．〔2〕子集个数：假设有限集A中有n个元素，那么A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．〔3〕A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．〔4〕(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．6.充分条件、必要条件与充要条件的概念假设p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．〔1〕p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB；〔2〕p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA；〔3〕p是q的充要条件⇔A＝B．<学问记忆小口诀>集合平常很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不管空不空，总有子集在其中，集合用图很便利，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合根本运算的方法技巧：〔1〕当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；〔2〕当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，根本函数结合，常见规律用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种推断方法(1)定义法：依据p⇒q，q⇒p进行推断.(2)集合法：依据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行推断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需留意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要留意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号打算端点值的取舍，处理不当简单消失漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.三三、题型方法一．集合的含义〔共1小题〕1．〔2022•上海自主招生〕等势集合指两个集合间一一对应，以下为等势集合的是〔〕A．[0，1]与{E|0≤E≤1} B．[0，1]与{a，b，c，d} C．〔0，1〕与[0，1] D．{1，2，3}与{a，b，c，d}二．元素与集合关系的推断〔共3小题〕2．〔2022•黄浦区模拟〕假设集合A＝{n|＝0.，n∈N*}，其中a和b是不同的数字，那么A中全部元素的和为〔〕A．44 B．110 C．132 D．1433．〔2022•宝山区模拟〕集合S＝{x|x＝a+bi，a，b∈Z}，i是虚数单位，对任意x1，x2∈S〔x1，x2可以相等〕均有∈S，那么符合条件的元素个数最多的集合S＝．4．〔2022•青浦区二模〕集合，其中1∉A且s+＜t，函数f〔x〕＝，且对任意a∈A，都有f〔a〕∈A，那么t的值是．三．集合的表示法〔共2小题〕5．〔2022秋•徐汇区校级期末〕假设函数f〔x〕＝4|x|+〔2|x|﹣14〕2|x|+x2﹣14|x|+33有零点，那么其全部零点的集合为.〔用列举法表示〕．6．〔2022秋•浦东新区期末〕集合A＝{〔x，y〕|y＝4x﹣1}，集合B＝{〔x，y〕|y＝x2+2}，用列举法表示集合A∩B．四．集合的相等〔共1小题〕7．〔2020•崇明区二模〕函数f〔x〕＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f〔x〕＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f〔x〕]＝0，x∈R}，假设A＝B，且都不是空集，那么m+n的取值范围是〔〕A．[0，4〕 B．[﹣1，4〕 C．[﹣3，5] D．[0，7〕五．集合的包含关系推断及应用〔共2小题〕8．〔2023•浦东新区校级三模〕设集合M＝{0，1，2}，N＝{1，a}，假设M⊇N，那么实数a＝．9．〔2022•金山区二模〕集合A＝{﹣1，3，0}，B＝{3，m2}，假设B⊆A，那么实数m的值为．六．子集与真子集〔共2小题〕10．〔2023•松江区模拟〕非空集合A中全部元素乘积记为T〔A〕．集合M＝{1，4，5，8}，从集合M的全部非空子集中任选一个子集A，那么T〔A〕为偶数的概率是〔结果用最简分数表示〕．11．〔2022•闵行区校级二模〕设ai〔i＝1，2，3〕均为实数，假设集合{a1，a2，a3}的全部非空真子集的元素之和为12，那么a1+a2+a3＝．七．集合中元素个数的最值〔共2小题〕12．〔2022•上海自主招生〕集合A＝{〔x，y〕|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，那么A中元素的个数为〔〕A．4 B．5 C．8 D．913．〔2022秋•浦东新区校级期中〕集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．〔1〕假设集合A＝{1，3}，直接写出集合S，T〔无需写计算过程〕；〔2〕假设集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3；〔3〕假设集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．八．空集的定义、性质及运算〔共2小题〕14．〔2022秋•宝山区校级月考〕设集合X是实数集R的子集，假如点x0∈R满意：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，那么在以下集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有〔〕A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④15．〔2022秋•徐汇区校级月考〕不等式组的解集不是空集，那么实数a的取值范围是．九．集合关系中的参数取值问题〔共2小题〕16．〔2020•浦东新区校级模拟〕集合A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|1＜2x＜2}，假设A∩B≠∅，那么实数a的取值范围是．17．〔2021秋•宝山区校级期中〕集合，B＝{x|x2﹣〔a+1〕x+a≤0}．〔1〕假设A⊆B，求实数a的取值范围；〔2〕假设A∪B＝A，求实数a的取值范围．一十．并集及其运算〔共2小题〕18．〔2023•徐汇区二模〕集合A＝{x|x＜3}，，那么A∪B＝．19．〔2023•静安区二模〕假设集合A＝{2，log2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{0}，那么A∪B＝．一十一．交集及其运算〔共2小题〕20．〔2023•松江区二模〕假设方程f〔x〕•g〔x〕＝0的解集为M，那么以下结论肯定正确的选项是〔〕〔1〕M＝{x|f〔x〕＝0}∪{x|g〔x〕＝0}〔2〕M＝{x|f〔x〕＝0}∩{x|g〔x〕＝0}〔3〕M⊆{x|f〔x〕＝0}∪{x|g〔x〕＝0}〔4〕M⊇{x|f〔x〕＝0}∩{x|g〔x〕＝0}A．〔1〕〔4〕 B．〔2〕〔4〕 C．〔3〕〔4〕 D．〔1〕〔3〕〔4〕21．〔2023•浦东新区三模〕集合A＝〔1，3〕，集合B＝〔2，4〕，那么A∩B＝．一十二．补集及其运算〔共3小题〕22．〔2023•杨浦区校级三模〕全集U＝R，集合A＝〔﹣∞，1〕∪[2，+∞〕，那么＝．23．〔2023•普陀区二模〕设全集U＝R，假设集合A＝{x||x|≥1，x∈R}，那么＝．24．〔2023•闵行区二模〕设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，0，2}，那么＝．一十三．子集与交集、并集运算的转换〔共4小题〕25．〔2022秋•宝山区校级期中〕用C〔A〕表非空集合A中元素的个数，定义，假设A＝{1}，B＝{x|x〔x2+ax+2〕＝0}，且A*B＝1，设实数a的全部可能取值构成集合S，那么C〔S〕＝〔〕A．4 B．3 C．2 D．926．〔2022秋•浦东新区校级月考〕设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，那么集合M﹣〔M﹣P〕是〔〕A．P B．M C．M∪P D．M∩P27．〔2022秋•金山区校级月考〕数学中常常把集合{x|x∈A，x∉B}称为集合A对B的差集，记作A﹣B，M＝〔﹣∞，3]∪〔5，2022〕，N是自然数集，那么N﹣M＝．28．〔2022秋•青浦区校级期中〕用C〔A〕表示非空集合A中元素的个数，设A＝{x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|＝0}，假设C〔A〕＝5，那么实数a的取值范围．一十四．Venn图表达集合的关系及运算〔共2小题〕29．〔2022秋•浦东新区校级期中〕设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，4，5，7}，B＝{1，4，7，8}，那么如下图的阴影局部所表示的集合是〔〕A．{3，6} B．{4，7} C．{1，2，4，5，7，8} D．{1，2，3，5，6，8}30．〔2022秋•杨浦区校级期中〕全集为U，那么图中阴影局部表示的集合是．〔用含A，B或∁UA，∁UB的集合语言表示〕．一十五．充分条件与必要条件〔共5小题〕31．〔2023•宝山区校级模拟〕“a＝1〞是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+〔a+1〕y+4＝0平行〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件32．〔2023•浦东新区三模〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，设甲：a1＜a2＜a3，乙：{Sn}是严格增数列，那么甲是乙的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件33．〔2023•普陀区二模〕设a、b为实数，那么“a＞b＞0〞的一个充分非必要条件是〔〕A． B．a2＞b2 C． D．a﹣b＞b﹣a34．〔2023•松江区二模〕直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：x+ay﹣2＝0，那么“l1∥l2〞是“a＝1〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件35．〔2023•宝山区校级模拟〕假设α：x∈〔1，2〕，β：x∈[0，2]，那么α是β的条件．一十六．命题的真假推断与应用〔共2小题〕36．〔2023•徐汇区二模〕“假设x＞a，那么＞0“为真命题，那么实数a的取值范围是．37．〔2023•宝山区校级模拟〕命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素〞是假命题．给出以下四个命题：①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；③M中有P的元素；④存在x∈M，使得x∉P．其中真命题的序号是．〔将正确命题的序号都填上〕四四、易错分析易错点1：无视集合元素的互异性致错例1：集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.易错点2：无视空集致错例2.集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，假设B⊆A，求实数m的取值范围．易错点3：推断充要条件时出错例4：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角〞是命题q：“a·b>0〞的________条件．五五、刷好题一．选择题〔共5小题〕1．〔2023•杨浦区二模〕a、b∈R，那么“a＞b〞是“a3＞b3〞的〔〕条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．〔2022•虹口区二模〕l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间的一条直线，那么“l⊥α〞是“l⊥l1且l⊥l2〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件3．〔2022•嘉定区二模〕复数z＝〔2sinα﹣1〕+i〔i为虚数单位〕，那么“z为纯虚数〞是“〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件4．〔2022•黄浦区模拟〕向量，，“〞是“＝0〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．〔2022•浦东新区校级模拟〕设x＞0，那么“a＝1〞是“〞恒成立的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要二．填空题〔共8小题〕6．〔2023•奉贤区二模〕集合A＝{1，2}，B＝{a，3}，假设A∩B＝{2}，那么a＝．7．〔2023•金山区二模〕集合A＝{﹣1，0}，集合B＝{2，a}，假设A∩B＝{0}，那么a＝．8．〔2023•黄浦区二模〕设集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x|2≤x≤5}，那么A∩B＝．9．〔2023•虹口区二模〕集合A＝{x|﹣2＜x≤3，x∈R}，B＝{0，2，4，6}，那么A∩B＝．10．〔2023•浦东新区二模〕集合A＝{x|x2+x﹣6＜0，x∈R}，B＝{0，1，2}，那么A∩B＝．11．〔2023•宝山区二模〕集合A＝〔1，3〕，B＝[2，+∞〕，那么A∩B＝．12．〔2023•松江区二模〕集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|＞1}，那么A∩B＝．13．〔2023•嘉定区模拟〕全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{4，5}，那么＝．六六.刷压轴一、单项选择题1．〔2020·上海杨浦·统考二模〕设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值.①存在满意条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满意条件的数列，使得其中恰有550个1.命题的真假状况为〔

〕A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题2．〔2020·上海·统考模拟猜测〕对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,以下结论中错误的选项是(

)A．假设那么 B．C． D．3．〔2021·上海闵行·统考一模〕设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.以下选项中正确的选项是〔

〕A．中仅是的充分条件B．中仅是的充分条件C．都不是的充分条件D．都是的充分条件4．〔2022·上海黄浦·统考模拟猜测〕假设集合，其中和是不同的数字，那么A中全部元素的和为〔

〕.A．44 B．110 C．132 D．1435．〔2022·上海普陀·统考一模〕设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，那么中元素个数的最小值是〔

〕A． B． C． D．6．〔2023·上海浦东新·统考三模〕定义在上的函数．对任意区间和，假设存在开区间，使得，且对任意〔〕都成立，那么称为在上的一个“M点〞．有以下两个命题：①假设是在区间上的最大值，那么是在区间上的一个M点；②假设对任意，都是在区间上的一个M点，那么在上严格增．那么〔

〕A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题7．〔2021·上海黄浦·上海市大同中学校考三模〕数列满意，假设，那么“数列为无穷数列〞是“数列单调〞的〔

〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、解答题8．〔2022·上海·统考模拟猜测〕函数，其中．〔1〕推断函数的奇偶性，并说明理由；〔2〕记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；〔3〕对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.9．〔2020·上海宝山·上海交大附中校考模拟猜测〕f(x)是定义在[0，+∞〕上的函数，满意：①对任意x∈[0，+∞〕，均有f(x)＞0；②对任意0≤x1＜x2，均有f〔x1〕≠f〔x2〕．数列{an}满意：a1＝0，an+1＝an+，n∈N*．〔1〕假设函数f(x)＝〔x≥0〕，求实数a的取值范围；〔2〕假设函数f(x)在[0，+∞〕上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N*，使得n＞n0时，均有an＞M；〔3〕求证：“函数f(x)在[0，+∞〕上单调递增〞是“存在n∈N*，使得f〔an+1〕＜2f〔an〕〞的充分非必要条件．10．〔2022·上海徐汇·统考三模〕对于数列，记．(1)假设数列通项公式为：，求；(2)假设数列满意：，，且，求证：的充分必要条件是；(3)，假设，．求的最大值．11．〔2022·上海金山·统考二模〕对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.(1)推断集合是否具有性质，并说明理由；(2)设集合，且具有性质，假设中的全部元素能构成等差数列，求的值；(3)假设集合A具有性质，且中的全部元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；假设不存在，请说明理由.12．〔2022·上海·模拟猜测〕数列对任意，且，均存在正整数，满意.(1)求可能值；(2)