高考数学总复习平面向量的概念及线性运算理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第4章§4.1平面向量的概念及线性运算理-A3演示文稿设计与制作§4.1平面向量的概念及线性运算

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.1平面向量的概念及线性运算双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有_____的量；向量的大小叫作向量的______

(或模)零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量与向量a________，且长度为单位1的向量叫作a方向上的单位向量平行(共线)向量方向_____或______的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等、方向相同的向量0的相反向量为0相反向量长度相等、方向______的向量方向长度同方向相同相反相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的和的运算________法则_____________法则(1)交换律：a＋b＝______.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差_________法则三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0λ(μ

a)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝__________.相同相反λa＋λb3．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得_______，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量

b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得_________.b＝λab＝λa思考感悟a∥b是a＝λb(λ∈R)的什么条件？提示：a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要条件．(1)当a＝λb(λ∈R)时，由数乘的几何意义知a∥b成立．(2)当a≠0，b＝0时，a∥b成立，而不存在λ∈R使a＝λb成立．答案：B课前热身2．(2009年高考湖南卷)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．如图，向量a－b等于(

)A．－4e1－2e2

B．－2e1－4e2C．e1－3e2

D．3e1－e2答案：C答案：(1)(2)(3)5．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.考点探究•挑战高考考点突破考点一向量的有关概念准确理解向量的基本概念是解这类题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，才是相等的向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．例1A．2

B．3C．4 D．5【思路点拨】理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可．【解析】①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．【答案】

C【名师点评】本例中多个命题的真假判断需逐一进行，而且要求准确无误，特别注意特殊情况，如命题②中忘记考虑零向量．命题⑤中向量平行混同于解析几何中的直线平行．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．考点二向量的线性运算例2(2)(2009年高考湖南卷)如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(

)【思路点拨】利用向量的线性运算，三角形的性质及向量的几何意义可得结论．【答案】

(1)B

(2)A

(3)C【名师点评】解决此类问题关键要熟练掌握运算法则，并善于用基本向量表示其余所涉及到的向量，表示的方法是依据三角形法则或平行四边形法则，构造含有表示所求向量的有向线段的三角形或平行四边形．变式训练1

(1)(2009年高考北京卷)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(

)A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向考点三共线向量定理的应用例3【答案】

(1)D

(2)D【规律小结】

(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．方法技巧1．将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．(如例2(1))2．首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量．(如例1)3．通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别．(如例3)方法感悟1．关于两个向量的和应注意的几个问题(1)两个向量的和仍是一个向量；(2)使用三角形法则时要注意“首尾相连”；(3)当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用．失误防范2．向量减法运算应注意的两个问题(1)向量的减法实质是加法的逆运算；差仍为一个向量．(2)用三角形法则作向量减法时，记住“连接两个向量的终点，箭头指向被减向量”．3．向量的数乘运算(1)向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，也有λa＝0.(2)实数和向量可以求积，但不能求和、求差．(3)熟练掌握向量线性运算的运算规律是正确化简向量算式的关键，要正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．考情分析考向瞭望•把脉高考向量的线性运算，共线问题是高考的热点，尤其向量的线性运算出现频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属于中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和向量基本定理交汇命题．预测2012年高考仍将以向量的线性运算、向量的基本概念为主要考点，重点考查向量加、减的三角形法则及平行四边形法则．命题探源例(2)本题主要考查了向量的线性运算和平面向量的基本定理．向量加法的运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是本题运算的主要依据．作为平面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的基本定理是往年高考考查的重点，值得关注．名师预测答案：－4答案：6感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．2．常见的“结论词”与“反设