高考数学总复习简单的三角恒等变换理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第3章§3.4简单的三角恒等变换理-A3演示文稿设计与制作§3.4简单的三角恒等变换

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.4简单的三角恒等变换双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理2sinαcosα2cos2α

－1思考感悟答案：D课前热身答案：B3．(2011年江门质检)已知sin10°＝a，则sin70°等于(

)A．1－2a2 B．1＋2a2C．1－a2 D．a2－1答案：A考点探究•挑战高考考点突破考点一运用倍、半角公式求值利用倍、半角公式求值的关键在于转化，将未知向已知转化或将非特殊角转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得解．例1【思路点拨】逆用倍角公式求值．【名师点评】

在运用倍角、半角公式求值时，应注意二倍角公式与两角和公式的内在联系，准确理解倍角公式中角度之间的“二倍”关系，这样有助于我们灵活运用公式进行化简求值．对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法．考点二三角函数式的化简(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；(2)a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．例2【思路点拨】本题以函数形式给出三角函数式，第(1)问实质上是化简三角函数式，第(2)问可让两曲线方程右端相等，得方程有解既可．【规律小结】三角函数式化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．1．证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等．考点三三角函数式的证明2．证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等．例3【名师点评】证明三角恒等式时要注意观察分析函数名称、角在恒等式两端的异同，这样才能确定变换的方向．三角恒等式的证明一般方法较多，要善于选择最简捷的方法进行证明．变式训练证明：sin3xsin3x＋cos3xcos3x＝cos32x.方法技巧1．三角恒等变形可以归纳为以下三步(1)找到差异：主要是指角、函数名称和运算间的差异；(2)抓住联系：即利用有关公式，建立差异间的联系；(3)促进转化：就是灵活选择公式，促使差异转化，以达到简化统一的目的．(如例2)方法感悟2．化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．(如例3)3．三角恒等式的证明实质上也是一个化简过程，因此我们仍然要注意三角恒等变换思想方法的灵活运用．不同于化简求值问题的地方是化简不是随意化简，而是要等于等式的另一端，因此在化简过程中，必须强化“目标意识”，也就是每化简一步要尽量向其目标靠拢．(如例3)解决给式(值)求值问题要注意以下几点：(1)注意整体思想在解题中的应用；(2)注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，把待求角用已知角表示出来；(3)注意条件中角的范围对三角函数值的制约作用，确定所涉及的每一个角的范围，以免出现增、漏解．失误防范考情分析考向瞭望•把脉高考二倍角公式是高考的热点，考查重点是利用二倍角公式求值，求角的大小，与三角函数的求值、化简交汇命题，既有小题，又有解答题，难度为中档，主要考查公式的灵活运用及恒等变形能力．预测2012年高考仍将以二倍角公式在三角恒等变形中的应用为主要考点，重点考查转化化归的数学思想．规范解答例名师预测感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等都有可能考查，在考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．预测2012年广东高考仍将以综合法证明为主要考点，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运算能力与逻辑推理能力．规范解答例【名师点评】本题考查了数列的计算及反证法的证明，试题为中高档题，易误点