物理机械ch5气体动理论

第五章气体分子运动论§1理想气体1-1分子动理论的基本观点按照物质结构的理论，自然界所有的物质实体都是由大量分子或原子组成，构成物质的分子处于永不停息的、杂乱无章的运动之中；分子与分子之间相隔一定的距离，且存在相互作用力。这样一种关于物质结构的理论称为“分子动理论”。分子热运动：大量分子的无规则运动阿伏伽德罗常量(NA)：1

mol

的任何物质含有的分子数。23

-1N

A

=

6.022136

7(36

·10

mol1-2

理想气体宏观定义：严格遵守三个实验定律的气体.微观模型：分子线度与分子间距相比较可忽略，分子被看做质点。除了分子碰撞的瞬间外，忽略分子间的相互作用。气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设碰撞为弹性碰撞。即理想气体分子是自由地，无规则地运动着的弹性质点群。温度不太低，压强不太高的实际气体都可以近似看做理想气体。1-3 平衡态 准静态过程平衡态：一个孤立系统，其宏观性质在经过充分长

的时间后保持不变（即其物态参量不再随时间改变）的物态。注意：如果系统与外界有能量交换，即使系统的宏观性质不随时间变化，也不能断定系统是否处于平衡态。两头处于冰水、沸水中的金属棒是一种稳定态，而不是平衡态。热力学过程：热力学系统的物态随时间发生变化的过程。p准静态过程：状态变化过程进行得非常缓慢，以至于过程中的每一个中间状态都近似于平衡态。准静态过程的过程曲线可以用p-V

图来描述，图上的每一点都表示系统的一个平衡态。B

B

B(

p

,V

,T

)(

pA,VA,TA

)pVO(

pC,VC,TC

)1-4

状态参量：描述热力学系统状态的物理量。描述气体的状态参量：压强、体积和温度压强（p）：垂直作用在容器壁单位面积上的气体压力.国际单位：帕斯卡（1

Pa

=1

N/m2）1标准大气压=1.01325×105（Pa）体积（V）：气体分子自由活动的空间。国际单位：米3（m3

）温度（T）：表征在热平衡状态下大量分子热运动的剧烈程度的物理量。国际单位：绝对温标

T

开（K）常用单位：摄氏温标

t

度，CT

=

t

+

273.151-5

理想气体状态方程理想气体：在任何情况下都严格遵守“波意耳定律”、“盖-吕萨克定律”以及“查理定律”的气体。=

=恒量①（质量不变）p0

,V0

,T0

(标准状态)p,V

,T

fip1V1

=

p2V2T1

T2标准状态：5p0

=

1.01325·10

PaT0

=

273.15

KmolV

=

22.4

·10-3

m30

molMV

=

m

V理想气体物态方程：MpV

=

m

RT令：K

-1=

8.31

J

mol

-1T0R

=

p0VmolR

称为“摩尔气体常量”=

m

p0VmolM

T0pV

=

p0V0T

T0代入：=

m

p0VmolM

T0pV

=

p0V0T

T0②NAk

=单个分子质量为m0，气体分子数为N，分子数密度n。0

m

=

m

NM

=

m

N0

AMpV

=

m

RTVn

=

NTR\

p

=

NV

NAm

=

NM

N\A阿伏伽德罗常量23

-1NA

=

6.022·10

molR

=

1.38

·10-23

J

K

-1玻耳兹曼常量p

=

nkT③OxyzviA1A22

x

vix4

单位时间碰撞次数2xvix2-1理想气体压强的统计意义1设立方体容器分子质量m0

追踪其中一个分子,某一时刻速率为vi与器壁A1碰撞,x

方向动量的增量-

m0

vix

-

m0

vix

=

-2m0

vix分子对器壁的冲量：2m0

vix分子与A2面发生碰撞后，又与A1面发生碰撞，相继两次对A1面碰撞所用的时间：§2理想气体压强与温度的微观解释2ix2xi

iNmNm

0

ix

0

x

x

0

x ix

0

N

x===im

v2

mv2vv5单位时间单个分子施于器壁的冲量（即平均冲力）：m

v

2

x0

ix6容器内N个分子对器壁的平均冲力：OxyzviA1A27

容器A1面受到的压强：02xNmFyz

xyzp

=

=v0

x\

p

=

m

nv2v2

+

v2

+

v2

=

v2x

y

z根据统计假设：231v=

v=

v=

v2z2y2xxvvyvzvO200312x=

m

nvp

=

m

nvk3p

=

2

ne20k21m

v因为

e

=所以④压强是由于大量气体分子碰撞器壁产生的，它是对大量分子统计平均的结果。对单个分子无压强的概念。压强公式建立起宏观量压强P与微观气体分子运动之间的关系。3.分子数密度越大，压强越大；分子运动得越激烈，压强越大。P

nP

ekk3p

=

2

ne注意几点2-2温度的微观意义2ke

=

3

kT结论：温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度，它是大量分子热运动的平均平动动能的量度。k3

p

=

2

nep

=

nkT20k21e

=

m

v因为=

3

kT方均根速率：Mm023kT

=

3RT=v2⑤⑥例1

试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率。设：（1）在温度t

=

1000

℃时；（2）t

=

0

℃时。解：1123e

=

kT23M13RT1=v228·10-3= ·1.38·10-23

·1273

J

=

2.63·10-20

J3·8.31·1273

m

s-1

=1194

m

s-1=2223e

=23-23

-21·1.38·10

·

273

J=

5.65·10

JkT

=28·10-33·8.31·

273

m

s-1

=

493

m

s-1=M23RT2=v2运动刚体的自由度：zyxqCz’x’y’agbcos2

a

+cos2

b

+cos2

g

=1结论：自由刚体有六个自由度三个平动自由度三个转动自由度3-1自由度：确定一个物体在空间的位置所必需的独立坐标数目。做直线运动的质点：一个自由度做平面运动的质点：二个自由度做空间运动的质点：三个自由度§3

理想气体的内能单原子分子：一个原子构成一个分子氦、氩等 三个自由度双原子分子：两个原子构成一个分子氢、氧、氮等 五个自由度多原子分子：三个以上原子构成一个分子水蒸气、甲烷等 六个自由度3-2

能量按自由度均分原理分子平均平动动能：232121221

120

z20

y20

x20=

kTm

v+

m

v

+=

m

vke

=

m

v231=

v2z2y2x

v1=

v1=

v12

2

2

212

2

20

x

0

y

0

z=

m

v

=

m

v

=

kT\

m

v能量均分定理：在温度为T的平衡态下，物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其值为

kT

2

。2ke

=

i

kT分子平均动能：“i”为分子自由度数

⑦单原子分子：2ke

=

3

kTi

=

3多原子分子：2ke

=

6

kTi

=

6双原子分子：2ke

=

5

kTi

=

52ke

=

i

kT分子平均动能：“i”为分子自由度数

⑦3-3

理想气体的内能内能：气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能的总和。理想气体内能：气体中所有分子的动能。1mol

理想气体内能：2A

2molE

=

N

i

kT

=

i

RT质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：molE

=

m

E

=

m

i

RT改内能的变量：DE

=

m

i

RDTM

M

2

M

2结论：理想气体的内能只是温度的单值函数。⑧⑨例2

容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压强为0.01

atm

(

1atm

=

1.013×105

Pa

)，密度为1.24×10-2

kg·

m-3。试求：气体分子的方均根速率；气体的摩尔质量，并确定它是什么气体；气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是多少？单位体积内分子的平动动能是多少？若气体的物质的量为0.3

mol，其内能是多少？解：（1）气体分子的方均根速率为M3RT=v

2由物态方程MpV

=

m

RTr

=

m

V2m

s-11.24

·10-2r3

p

3·

0.01·1.013·105v

=

==

494

m

s-1（2）根据物态方程，得M

=

m

RT

=

r

RTmol

-1·

8.31·

273

kgV

p

p=1.24

·10-20.01·1.013

·105mol

-1=

28

·10-3

kg氮气（N2

）或一氧化碳（CO）气体（3）分子的平均平动动能：3

kT

=

3

·1.38·10-23

·

273

J

=

5.6

·10-21

J2

2分子的平均转动动能：2

kT

=

1.38·10-23

·

273

J

=

3.7

·10-21

J2（4）单位体积内的分子数：kTpn

=2

2E2=

1.5

·103Jk=

n

3

kT

=

3

p

=

3

·

0.01·1.013·105

J（5）根据内能公式2E

=

m

i

RT

=

0.3·

5

·8.31·

273

JM

2=

1.7

·103

J一.分布的概念问题的提出气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞不断地改变,不可能逐个加以描述,只能给出分子数按速率的分布。分布的概念例如学生人数按年龄的分布年龄15

~1617

~

1819

~2021~22人数按年龄的分布2000300040001000人数比率按年龄的分布20%30%40%10%§4麦克斯韦速率分布函数速率v1

～

v2v2

～

v3…vi

～

vi

+Δv…分子数按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…分子数比率按速率的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…例如气体分子按速率的分布｛

ΔNi

｝就是分子数按速率的分布二.速率分布函数f(v)设某系统处于平衡态下，

总分子数为

N

，则在v～v+

dv

区间内分子数的比率为NdN

=

f

(v

)dvNdvf

(v

)

=

dNf(v)称为速率分布函数，含义：分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率。⑩2πkTf

(v

)

=

4p

(

m02)3/2v

2e-m0v

/2kT

(麦克斯韦速率分布函数)三.麦克斯韦速率分布定律1.

麦克斯韦速率分布定律理想气体在平衡态下分子的速率分布函数dN

=

f

(v

)dv

=

4π(

m0N

2πkT2)3/

2v

2e-m0v

/

2kT

dv式中m0为分子质量，T

为气体热力学温度，k

为玻耳兹曼常量k

=1.38×10-23

J

/K理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+dv

区间内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律f(v)vO2.

麦克斯韦速率分布曲线·由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。Nf

(v

)dv

=

dN·在dv间隔内,曲线下的面积表示速率分布在v～v+

dv

中的分子数与总分子数的比率·

··在v1~v2

区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2

之间的分子数与总分子数的比率N2vv1f

(v

)dv

=

DNv1

v＋vd2

v(速率分布曲线)T四.分子速率的三种统计平均值1.平均速率MRT=

8kT

=1.59π

m¥=0N

NdN

1v

)dNv

Nf

(v

=

v8.310=1.38

·10-23

J/KN

6.022

·1023k

=

R

=¥0v

f

(v

)dNv

=式中M

为气体的摩尔质量，R

为摩尔气体常量21vvvf

(v

)dv思考：是否表示在v1

~v2

区间内的平均速率？(11)Mμv

2

=

3kT

=1.732.方均根速率μRT3kT022¥v

f

(v

)dv

=v

==

0v

=v

pdvdf

(v

)MMμp2RT

=1.412kT

=v

=3.最概然速率在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在vp附近的单位速率区间内的分子数占气体总分子数的百分比最大。RT

(12)T能用v

2v

p

vv

2>v

>v

pv

2f(v)vO(2)

同一种气体分子的三种速率的大小关系:说明(1)一般三种速率用途各不相同·讨论速率分布一般用v

p·讨论分子的碰撞次数用v·讨论分子的平均平动动这时曲线向右移动这时曲线向左移动①

m0

一定,T

越大,

v

p越大,②

T

一定,

m0

越大,

v

p

越小,T1f(v)vOT2(>

T1)12v

p

v

pm0

1f(v)vOm02(>

m01)12v

p

v

p由于曲线下的面积不变,由此可见Mmp02kT

=

2RTv

=1000HeH22

·10-310-3RT(v

p

)H

=2=1.41·103

m/sM3RTH2=(

v

2

)=1.73·103

m/sM2RT

=

RT= =1000

m/spf

(v

)v

(m/s)O例氦气的速率分布曲线如图所示.求(1)

试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)

氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率解(2)

vf(v)vT1T2例3

图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2）如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？M2kT解：vp

=T1

<

T2绿：氧白：氢vp2vp1例4

求在标准状态下，1.0

m3

氮气中速率处于500

~

501

m

·

s-1之间的分子数目。解：已知T

=

273.15

Kp

=1.013·105

PaM

=

28·10-3

kg

mol

-10=

kg

=

4.65·10-26

kgAN

6.022·1023M

28·10-3m

=m-3

=

2.7

·1025

m-31.013·105=kT

1.38·10-23

·

273.15pn

=一.分子的平均碰撞频率Z一个分子单位时间内和其它分子碰撞的平均次数，称为分子的平