标准分与正态分布

标准分与正态分布第1页，课件共22页，创作于2023年2月标准分

(1)小赵同学

数学95分

语文80分

那门课好？问该同学究竟是数学好还是语文好？原始分是有弊端的。如何衡量两个成绩的高低？第2页，课件共22页，创作于2023年2月标准分

(2)

▲引入Z分概念：Z=

如小赵同学的数学Z1=1，语文Z2=2。▲意义：数学成绩比团体平均分高出1个标准差，语文成绩比团体平均分高出2个标准差。第3页，课件共22页，创作于2023年2月标准分

(3)

▲Z分克服了原始分含义不明确，不可比，不可加等局限性。它以考生的平均成绩

为参考点，以考生之间差异s为分数单位，排除了题目难度及题目难度分布的影响，确定了其在团体中的具体位置。▲以标准分统计成绩在一些高校使用比较普遍。第4页，课件共22页，创作于2023年2月标准分

(4)▲为避免出现负值，出现小数，可经过线性变换得到T分，如托福（TOFEL）考试

T=500+70Z（500分为平均分）。如某人托福原始分79分,团体平均分63分,标准差8分。第5页，课件共22页，创作于2023年2月正偏态第6页，课件共22页，创作于2023年2月负偏态第7页，课件共22页，创作于2023年2月正态第8页，课件共22页，创作于2023年2月第9页，课件共22页，创作于2023年2月标准正态曲线第10页，课件共22页，创作于2023年2月正态分布

一、正态分布曲线

二、正态分布表的使用

三、应用举例

第11页，课件共22页，创作于2023年2月一、正态分布曲线(1)▲

正态分布图的特点：两头低，中间高，呈钟型；两边对称，对称轴为x=曲线与数轴所围部分面积为1，即总概率为1；落在某区间上的概率等于相应区间上的面积。

第12页，课件共22页，创作于2023年2月一、正态分布曲线(2)▲

正态分布曲线的函数表达式：▲

当x=时，取到最大值（高峰）峰的高低与标准差s有关:s愈大，曲线愈“胖”；s愈小，曲线愈“瘦”。第13页，课件共22页，创作于2023年2月一、正态分布曲线(3)欲求落在某区间（分数段）上的概率，要用到高等数学中积分的知识。

x>a时面积

▲为避免积分运算，我们作变换：这样得到了标准正态分布。▲这种变换，实际上达到两个目的：（1）移轴，使对称轴变成纵轴；（2）标准差变成1，使“体形”标准化。于是，不用积分，只需查表便可求出某部分的面积（概率）。第14页，课件共22页，创作于2023年2月二、正态分布表的使用

(1)▲前提：在教育研究中，许多现象如学习成绩，身高，品德等一般都呈正态分布。【例】某次测验

=65s=10问65分到85分的概率是多少？

第15页，课件共22页，创作于2023年2月二、正态分布表的使用(2)▲

正态分布表介绍：表的纵目——z的整数和第一位小数部分，表的横目——z的第二位小数部分；中间是相应的概率（面积）Ф(z)值z的范围由0到3.09；区间[z1,z2]上曲线与横轴所夹的面积Ф(z2)-Ф(z1)

；对称轴两边面积均为0.5。

第16页，课件共22页，创作于2023年2月二、正态分布表的使用(3)两个重要的数据：在[-1.96,1.96]之间的概率（面积）为95%。在[-2.58,2.58]之间的概率（面积）为99%。落到[-1.96,1.96]以外的可能性为5%，称1.96是α=0.05的临界值。落到[-2.58,2.58]以外的可能性更小，仅为1%，称2.58是α=0.01的临界值。第17页，课件共22页，创作于2023年2月三、应用举例(1)

1．各分数段的比例

【例】某班48人，语文测验分数呈正态分布，=80，s=10，问分数在70-88之间的学生比例为多少？人数为多少？

第18页，课件共22页，创作于2023年2月三、应用举例(2)

2.求各比例的分数区间

【例】某校欲招收500名新生，报考人数为3160人，考生平均成绩为176分，标准差为64分，考试满分400分，若全体考生成绩呈正态分布，问：（1）成绩为300分的考生大约能列多少名？（2）最低录取分数线约为多少？

第19页，课件共22页，创作于2023年2月三、应用举例(3)【例】某校欲招收500名新生，报考人数为3160人，考生平均成绩为176分，标准差为64分，考试满分400分，若全体考生成绩呈正态分布，问：（1）成绩为300分的考生大约能列多少名？（2）最低录取分数线约为多少？第20页，课件共22页，创作于2023年2月三、应用举例(4)要想把100人在某一能力上分成5个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？计算如下：6S÷5=1.2S，要使各等级等距，每一等级应占1.2个标准差的距离。确定各等级的Z分数界限，然后查表。

第21页，课件共22页，创作于2023年2月分组各组界限比率P人数分布（P×N）A1.8S以上0.03594B0.6S——1