最优控制第四章极小值原理及其应用

最优控制第四章极小值原理及其应用第1页，课件共48页，创作于2023年2月4-1.连续时间系统的极小值原理设系统状态方程为:初始条件Ω为有界闭集,不等式约束为G为m维连续可微的向量函数,系统从x0转移到终端状态x(tf)，tf未给定,终端状态x(tf)满足等式约束M为q维连续可微向量函数,性能指标:最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小第2页，课件共48页，创作于2023年2月令于是,系统方程为:终端时刻tf未给定,终端约束要求确定最优控制使性能指标为极小3第3页，课件共48页，创作于2023年2月引入拉格朗日乘子向量λ及Γ,写出增广性能指标泛函令哈密而顿函数为拉格朗日纯量函数则4第4页，课件共48页，创作于2023年2月令可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为欧拉方程对Jα取一阶变分得5第5页，课件共48页，创作于2023年2月横截条件:把Φ的表达式代入欧拉方程:横截条件:由欧拉方程和横截条件知,最优轨线6第6页，课件共48页，创作于2023年2月以上为使性能指标Jα取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即:或:上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一个重要结论.00-λ*7第7页，课件共48页，创作于2023年2月上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线不再成立8第8页，课件共48页，创作于2023年2月定理:(极小值原理)设系统的状态方程为控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集Ω,满足不等式约束:在终端时刻tf未知的情况下,为使状态自初态转移到满足边界条件的终态,并使性能指标达极小值.设哈密而顿函数为第9页，课件共48页，创作于2023年2月则最优控制u*(t),最优轨线x*(t)和最优伴随向量λ*(t)必须满足下列条件:(1).沿最优轨线满足正则方程:式中Γ是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与G相同,若G中不包含x,则:(2)横截条件及边界条件:10第10页，课件共48页，创作于2023年2月(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值,即并且沿最优轨线,下式成立上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较,横截条件及端点边界条件没有改变,仅这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小,其次是正则方程略有改变,仅当G中不包含x时,方程才不改变.11第11页，课件共48页，创作于2023年2月当t0和x(t0)给定,根据tf给定或自由,x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导出的最优解必要条件列表如下:tf给定

性能指标

终端状态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

固定

自由

约束

12第12页，课件共48页，创作于2023年2月tf给定

性能指标

终端状态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

固定

自由

约束

13第13页，课件共48页，创作于2023年2月tf给定

性能指标

终端状态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

固定

自由

约束

14第14页，课件共48页，创作于2023年2月tf自由性能指标

终端状态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

固定

自由

约束

15第15页，课件共48页，创作于2023年2月tf自由性能指标

终端状态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

固定

自由

约束

16第16页，课件共48页，创作于2023年2月tf自由性能指标

终端状态

正则方程

极值条件

边界条件与横截条件

固定

自由

约束

17第17页，课件共48页，创作于2023年2月例1

设宇宙飞船质量为m,高度为h,垂直速度为v,发动机推力为u,月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料的总质量为F,飞船的状态方程为:要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为发动机推力u受到约束,试确定u*(t),使飞船由已知初态转移到要求的终端状态并使飞船燃料消耗最少,即使得本题是控制受约束,tf自由,末值型性能指标,终端受约束的最优控制问题.解:第18页，课件共48页，创作于2023年2月构造哈密而顿函数伴随方程:横截条件为待定的拉格朗日乘子,将哈密而顿函数整理19第19页，课件共48页，创作于2023年2月有极小值原理知,H相对u*(t)取极小值,因此最优控制律为:上述结果表明,只有当发动机推理在最大值和零值之间进行开关控制,才有可能在实现软着陆的同时保证燃料消耗最少.20第20页，课件共48页，创作于2023年2月4-2离散系统极小值原理

设离散系统的状态方程为:其中f是连续可导的n维向量函数,x(k)为n维的状态向量序列,u(k)为p维控制向量序列,k表示时刻tk,终端时刻tf=tN.设初始状态x(0)=0,终端时刻tN给定,终端状态x(N)自由,控制向量序列u(k)无不等式约束.系统性能指标为:要求寻找最优控制u*(k),使性能指标J为极小.建立增广指标泛函第21页，课件共48页，创作于2023年2月式中λ(k+1)为n维拉格朗日乘子向量序列离散哈密而顿函数序列H为由于x(0)给定,δx(0)=022第22页，课件共48页，创作于2023年2月令可得J取极值的必要条件为:正则方程边界条件与横截条件:控制方程:23第23页，课件共48页，创作于2023年2月*特别的当终端状态有等式约束时横截条件改为:*当u(k)有不等式约束时不成立,此时最优控制序列对应的H函数序列为绝对极小值,即:24第24页，课件共48页，创作于2023年2月连续极小值原理离散极小值原理系统性能指标极值问题哈密而顿函数正则方程极值条件控制无约束控制有约束横截条件(终端时间给定,终端自由)25第25页，课件共48页，创作于2023年2月例2设离散状态方程及边界条件为试用离散极小值原理求最优控制序列使性能指标取极小值,并求出最优状态序列.解伴随方程控制方程第26页，课件共48页，创作于2023年2月状态方程:27第27页，课件共48页，创作于2023年2月列写结果如下28第28页，课件共48页，创作于2023年2月4-3极小值原理的应用1：最小时间控制(时间最优控制)

设线性定常系统的状态方程其中控制向量u(t)受不等式约束寻求最优控制u*(t),使系统从已知的初始状态转移到终端状态，tf自由,并使性能指标为极小第29页，课件共48页，创作于2023年2月构造哈密尔顿函数:根据极小值原理,最优控制的必要条件为:正则方程边界条件极值条件设30第30页，课件共48页，创作于2023年2月则设各控制分量相互独立,则有在约束条件下的最优控制为:由此可知,当λ*T(t)bj≠0时,可以找出确定的u*j(t)来,并且它们都为容许控制的边界值.当λ*T(t)bj

穿过零点时,u*j(t)由一个边界值切换到另一个边界值.如果λ*T(t)bj在某一时间区间内保持为零,则u*j(t)为不确定值,这种情况称为奇异问题或非平凡问题,相应的时间区段称为奇异区段.当整个时间区间内不出现奇异区段时,则称为非奇异问题或平凡问题,对于平凡问题,有以下几个定义及定理31第31页，课件共48页，创作于2023年2月①Bang-Bang原理若线性定常系统属于平凡情况,则其最短时间控制为u*(t)的各个分量都是时间的分段恒值函数,并均取边界值,称此为Bang-Bang原理.Bang-Bang原理也适用于下列一类非线性系统32第32页，课件共48页，创作于2023年2月②最短时间控制存在定理若线性定常系统完全能控,矩阵A的特征值均具有非正实部,控制变量满足不等式约束|u(t)|≤M,则最短时间控制存在.③最短时间控制的唯一性定理若线性定常系统属于平凡情况,若时间最优控制存在,则必定是唯一的.④开关次数定理若线性定常系统控制变量满足不等式约束|u(t)|≤M矩阵A的特征值全部为实数,若最短时间控制存在.则必为Bang-Bang控制,并且每个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1次.33第33页，课件共48页，创作于2023年2月例3设系统的状态方程为边界条件:控制变量u(t)的不等式约束|u(t)|≤1性能指标求最优控制u*(t),使J为最小.第34页，课件共48页，创作于2023年2月解:由于A具有两个零特征值,满足非正实部的要求,且系统能控,因而最优时间控制存在,如果系统属于平凡情况,则最优控制是唯一的,开关换向次数最多只有一次.伴随方程解得极值条件35第35页，课件共48页，创作于2023年2月最优控制规律为当u(t)=+1时,状态方程的解为:最优轨迹方程:当u(t)=-1时,状态方程的解为:最优轨迹方程36第36页，课件共48页，创作于2023年2月两族抛物线中,各有半支抛物线引向原点,由这两条半支抛物线所组成的曲线AOB称为开关曲线:讨论不同初始状态的最优控制方案,有四种情况综上所述,最优控制规律为37第37页，课件共48页，创作于2023年2月上述控制规律的工程实现方法38第38页，课件共48页，创作于2023年2月2:最小燃料消耗控制

最小燃料控制问题,性能指标对于双积分模型的最小燃料消耗控制问题,描述如下:设系统状态方程为控制约束为第39页，课件共48页，创作于2023年2月性能指标求最优控制,使J为极小,其中tf

给定根据最优控制规律40第40页，课件共48页，创作于2023年2月伴随方程为:状态方程的解为41第41页，课件共48页，创作于2023年2月上述方程和边界条件联立,可求出由此可见,最小燃料消耗控制是一种开关型控制,可采用理想的三位式继电器作为控制器.42第42页，课件共48页，创作于2023年2月例4已知系统状态方程及初始条件为:试求最优控制,使性能指标取极小值,并分段求出最优轨线解本题属于终端状态自由,有末值性能指标要求的最小燃料消耗问题由第43页，课件共48页，创作于2023年2月伴随方程为横截条件为从而得44第44页，课件共48页，创作于2023年2月解此方程,45第45页，课件共48页，创