重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型与方法） -2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型与方法）能力拓展能力拓展题型一：数轴法解集合问题1．集合的包含关系判断及应用【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．集合关系中的参数取值问题【解题方法点拨】求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．【命题方向】集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．3．交集及其运算【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．4．交、并、补集的混合运算【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．5．充分条件与必要条件【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．一．选择题（共2小题）1．（2021秋•武汉期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣3} B．{x|x≥1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|1≤x＜2}2．（2021秋•新余期末）已知（x+a）2﹣16＞0”的必要不充分条件是“x≤﹣2或x≥3”，则实数a的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．解答题（共3小题）3．（2022秋•东莞市校级月考）设全集为R，集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥3}，求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁RA）∩（∁RB）；（4）∁R（A∩B）．4．（2021秋•成都期末）集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝，C＝{x|2a≤x≤a+3，a∈R}．（1）求（∁RA）∩B；（2）请从①B∩C＝C，②B∩C＝∅，③C⫋B这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．5．（2022秋•朝阳区校级期中）已知函数f（x）＝的定义域为集合A，集合B＝{x||x﹣1|＜a}．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若全集U＝R，a＝2，求A∩∁UB；（Ⅲ）若B⊆A，求a的取值范围．题型二：由元素集合之间的关系求参数范围1．元素与集合关系的判断【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．集合的表示法【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．3．集合的相等【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．4．集合的包含关系判断及应用【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．5．子集与真子集【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．6．集合中元素个数的最值【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．7．交集及其运算【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．8．交、并、补集的混合运算【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．一．选择题（共7小题）1．（2022秋•广州月考）已知集合A＝{x|x＝2m﹣1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是（）A．x1•x2∈A B．x2•x3∈B C．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A2．（2022秋•新罗区校级月考）下列元素与集合的关系判断正确的是（）A．0∈N B．π∈Q C．∉R D．﹣1∉Z3．（2022秋•武清区校级月考）下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0，1，2} B．∅∈{0，1，2} C．∅⊆{2，0，1} D．{1}∈{0，1，2}4．（2022秋•雁塔区校级月考）若集合A＝{（m，n）|＝102021，m∈Z，n∈N*}，则集合A的元素个数为（）A．4042 B．4044 C．20212 D．202225．（2022秋•广州月考）若1∉{x|≤0}，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1或a＜0 D．a＞1或a＜06．（2022秋•栖霞区校级期中）已知集合M＝{x|x＝m﹣，m∈Z}，N＝{x|x＝﹣，n∈Z}，P＝{x|x＝+，p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M＝N＝P B．M⊆N＝P C．M⊆N⊆P D．M⊆N，N∩P＝∅7．（2022秋•白云区校级月考）设集合A＝{x|ax2+ax+1≥0}满足R⊆A，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．0≤a＜4 C．0≤a≤4 D．0＜a≤4二．多选题（共1小题）（多选）8．（2022秋•白云区校级月考）已知A＝{x2+y2|x，y∈Z}，且a∈A，b∈A，则下列结论中正确是（）A．ab∈A B．a+b∈A C．a2b∈A D．a2021b2022∈A三．填空题（共5小题）9．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合M＝{（x，y）|3x+4y﹣12＜0，x，y∈N，xy＞0}，则集合M的非空真子集有个．10．（2022秋•徐汇区校级月考）已知集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|p+1≤x≤2p﹣1}，若B⊆A，则实数p的取值范围是．11．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B≠∅，则n的取值范围是．12．（2022秋•白云区校级月考）已知A＝{x∈R|x2﹣ax+a2﹣3＝0}，且满足A⊆{x|x＞0}，则a的取值范围是．13．（2022•浦东新区校级开学）用|A|表示非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{0，1}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+3）＝0}，A*B＝1，则实数a的所有可能取值构成集合S，则S＝（请用列举法表示）．四．解答题（共7小题）14．（2022秋•桐城市校级月考）给定非空数集A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，a﹣b∈A，则称集合A为闭集合．（1）判断集合A1＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并加以证明；（2）证明：已知A，B是闭集合，且A∪B是闭集合，则A⊆B或B⊆A．15．（2022秋•仁寿县校级月考）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|x＜﹣2或x＞5}．（1）求∁RA，（∁RA）∩B；（2）若集合C＝{x|2m＜x＜m+1}，且∃x∈C，x∈A为假命题．求m的取值范围．16．（2022秋•闵行区校级月考）设A为非空集合，定义A×A＝{（x，y）|x，y∈A}（其中（x，y）表示有序对），称A×A的任意非空子集R为A上的一个关系．例如A＝{0，1，2}时，A×A与{（0，0），（2，1）}都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：①（自反性）若对任意x∈A，有（x，x）∈R，则称R在A上是自反的；②（对称性）若对任意（x，y）∈R，有（y，x）∈R，则称R在A上是对称的；③（传递性）若对任意（x，y），（y，z）∈R，有（x，z）∈R，则称R在A上是传递的．如果A上关系R同时满足上述3条性质，则称R为A上的等价关系．任给集合S1，S2，…，Sm，定义S1∪S2∪…∪Sm为{x|x∈S1，x∈S2，…，或x∈Sm}．（1）若A＝{0，1，2}，问：A上关系有多少个？A上等价关系有多少个？（不必说明理由）（2）若集合A有n个元素（n≥1），A的非空子集A1，A2，…，Am（1≤m≤n）两两交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，求证：R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（Am×Am）为等价关系．（3）若集合A有n个元素（n≥1），问：对A上的任意等价关系R，是否存在A的非空子集A1，A2，…，Am（1≤m≤n），其中任意两个交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，使得R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（Am×Am）？请判断并说明理由．17．（2022秋•于洪区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+bx+1＝0，a∈R，b∈R}，求：（1）当b＝2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；（2）当a、b满足什么条件时，集合A为空集．18．（2022秋•伊川县校级月考）已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A．（1）若a＝﹣3，求出A中其他所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A，再求出A中的元素．19．（2022秋•甘州区校级月考）已知集合A＝{x|x2+2x﹣8＜0}，，C＝{x|x2﹣3ax+2a2＜0}．（1）求A∩B；（2）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．20．（2022春•东城区期末）设A是非空实数集，且0∉A．若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P1；若对于任意的x，y∈A，都有，则称集合A具有性质P2．（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质P1的集合A；（2）若非空实数集A具有性质P2，求证：集合A具有性质P1；（3）设全集U＝{x|x≠0，x∈R}，是否存在具有性质P1的非空实数集A，使得集合∁UA具有性质P2？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．题型三：venn图法解集合问题Venn图表达集合的关系及运算【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．一．选择题（共4小题）1．（2021秋•西湖区校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+3，x∈R}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．[﹣2，3] B．（﹣2，3） C．（﹣2，3] D．[﹣2，3）2．（2022秋•渝中区校级月考）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有146人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人．问只参与两项活动的同学有多少人？（）A．30 B．31 C．32 D．333．（2022秋•洛阳月考）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x＝0}，则下列关于集合A，B关系的韦恩图正确的是（）A． B． C． D．4．（2022秋•南明区校级月考）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则图中阴影部分表示的集合（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤3} C．{x|1＜x≤2} D．{x|2≤x＜3}二．填空题（共2小题）5．（2021秋•宿迁期末）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有人．6．（2021秋•厦门期末）1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣2ax+2＜0}，N＝{x||log2x|≤1}的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是．题型四：集合交、并、补全的运算1．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．4．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．一．选择题（共7小题）1．（2022秋•焦作期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∪B＝（）A．（0，3） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）2．（2022秋•厦门月考）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|log2x≥1}，则（）A．M∩N＝{x|x＞1} B．M∪N＝{x|x≥2} C．∁MN＝{x|1＜x＜2} D．M＝N3．（2022秋•秦淮区校级月考）已知集合，集合B＝{x|x＜﹣1}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1或x≥2} D．{x|x＜﹣1或﹣1＜x≤2}4．（2022秋•邢台月考）已知全集U＝{x∈N*|x≤7}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4，5} B．{0，1，3，5，6，7} C．{0，6，7} D．{6，7}5．（2022秋•和平区校级月考）若A∩B＝{a，f}，A∪B＝{a，b，c，d，e，f，g，h，l}，A∩C＝{a，g}，A∪C＝{a，b，d，e，f，g，l}，B∩C＝{a，e，l}，则B∪C＝（）A．{a，c，e，f，h，l} B．{a，c，d，e，f，g，h，l} C．{a，c，e，f，g，h，l} D．{a，e，f，g，h，l}6．（2022秋•邓州市校级月考）已知集合I＝{x∈Z|﹣3＜x＜3}，M＝{﹣2，1}，N＝{﹣2，2}，则（∁IM）∪N＝（）A．{﹣2，1，2} B．{﹣2，0，2} C．{﹣2，﹣1，0，2} D．{﹣2，﹣1，2}7．（2022秋•武功县校级月考）已知集合A＝{1，2，3}，，则A∪B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}二．填空题（共5小题）8．（2022秋•道里区校级月考）已知集合A＝{2a，a2，3}，集合B＝{1，a+2，}，且A∩B＝A∪B，则实数a＝．9．（2022秋•沙坪坝区校级月考）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|2x2+（2k+7）x+7k＜0}，若A∩B中恰有一个整数，则实数k的取值范围为．10．（2022秋•黄浦区校级月考）集合M＝，则M∩N＝．11．（2022秋•伊川县校级月考）设U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣（m+1）x+m＝0}，若（∁UA）∩B＝∅，则实数m＝．12．（2022秋•黄浦区校级月考）已知，其中a1＜a2＜a3＜a4，且a1、a2、a3、a4均为整数，若A∩B＝{a3，a4}，a1+a3＝0，且A∪B中的所有元素之和为270，则集合A中所有元素之和为．三．解答题（共11小题）13．（2022秋•河北期中）在①A∪B＝B；②A∩B＝∅这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，B＝{x|﹣1≤x≤2}．（1）当a＝2时，求A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．14．（2022秋•浦东新区校级月考）已知集合A＝{x|3﹣a≤x≤3+a}，B＝{x|x≤0或x≥4}．（1）当a＝1时，求A⋂B；（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．15．（2022秋•桐城市校级月考）已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x∈R|x2+ax+a2﹣27＜0}．（1）若a＝3，求A∩B；（2）证明：“A∩B＝A”的充分必要条件是“a＝﹣3”．16．（2022秋•道里区校级月考）已知集合A＝{x|2a﹣1≤x≤a+3}，集合B＝{y|y＝x+3，2＜x＜4}．（Ⅰ）当a＝时，求A∩B及A∪B；（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．17．（2022秋•东城区校级月考）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}．B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（2022秋•九龙坡区校级月考）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|2m+1≤x≤m+3}（m∈R）．（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B；（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（2022秋•鼓楼区校级月考）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，B＝{x|2＜x≤5}．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．20．（2022秋•白云区校级月考）在集合论中“差集”的定义是：A﹣B＝{x|x∈A，且x∉B}（1）若A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，求A﹣B；（2）若A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，求A﹣B；（3）若A＝{x|x3﹣4x2+3x≤0}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，求证：A﹣（A﹣B）＝A∩B．21．（2022秋•新华区校级月考）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2a＜x＜1}．（1）若A∩B＝B，求实数a的取值范围；（2）若（∁RA）∩B中只有一个整数，求实数a的取值范围．22．（2022秋•南海区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|（x﹣2+m）（x﹣2﹣m）≤0，m＞0}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求实数m的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．（2022秋•广州月考）已知集合A＝{x||x﹣1|+|x﹣2|＜3}，B＝{x|x2+4≤ax}，A∩B＝∅，求a的取值范围．题型五：元素、子集、集合的个数子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．一．选择题（共3小题）1．（2022秋•金水区校级月考）若，，，则这三个集合间的关系是（）A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B2．（2022春•农安县期末）下列四组集合中表示同一集合的为（）A．M＝{（﹣1，3）}，N＝{（3，﹣1）} B．M＝{﹣1，3}，N＝{3，﹣1} C．M＝{（x，y）|y＝x2+3x}，N＝{x|y＝x2+3x} D．M＝{∅}，N＝∅3．（2022秋•浦东新区校级月考）对于集合M，定义函数，对于两个集合M、N，定义集合，MΔN＝{x|fM（x）•fN（x）＝﹣1}，已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，16}，用|M|表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M，|MΔA|+|MΔB|的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2二．多选题（共3小题）（多选）4．（2022秋•郸城县月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的好集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的好集的是（）A．∅ B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3}（多选）5．（2022秋•九龙坡区校级月考）已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a的可能取值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2（多选）6．（2022秋•东莞市校级月考）已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{x|x＞2}，下列关系正确的是（）A．B⊆A B．A⊆B C．0∉A D．1∈A三．填空题（共4小题）7．（2022秋•浦东新区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0，a∈R，x∈R}中至多有一个元素，则a的取值范围是．8．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合Un＝{1，2，3，⋯，n}，n为正整数，记f（x）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Un；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈，则2x∉，那么f（10）＝．9．（2022秋•浦东新区校级月考）对正整数n，记In＝{1，2，3，⋯，n}，，则集合P7中元素的个数为．10．（2022秋•浦东新区校级月考）若A＝{x|kx＝1}，B＝{x|x2+x＝2}，且A⊂B，则实数k的值为．四．解答题（共6小题）11．（2022秋•深圳校级月考）给定的正整数n（n≥2），若集合A＝{a1，a2，⋯，an}⊆M，且满足a1+a2+⋯+an＝a1•a2•…•an，则称A为集合M的n元“好集”．（1）写出一个实数集R的2元“好集”；（2）证明：不存在自然数集N的2元“好集”．12．（2022秋•浦东新区校级月考）集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．若B⊆A∩B，求实数m的取值范围．13．（2022秋•青浦区校级月考）设集合A2n＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N，n≥2），如果对于A2n的任意一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．（1）当n＝3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（2）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m≠n+2．14．（2022秋•宝山区校级月考）设集合A＝{x|x2+2x＝0}，B＝{x|x2+4（a+1）x+4a2﹣1＝0}．（1）若A∪B＝B，求a的值；（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．15．（2022秋•鼓楼区校级月考）设集合A＝{x∈R|x2+4x＝0}，B＝{x∈R|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R}．（1）若a＝0，试求A∪B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．16．（2022秋•西城区校级月考）设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若a∈A，则a的所有因数都属于A；（3）若a∈A，b∈A，1＜a＜b则1+ab∈A．请回答下面的问题：（1）证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素；（2）判断2021是否集合A的元素，并说明理由．题型六：推出法解充分必要条件1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n﹣1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．一．选择题（共4小题）1．（2022秋•南阳月考）“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022秋•邢台月考）“a＜b＜0”是“a﹣＜b﹣”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022•镜湖区校级模拟）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022秋•南海区月考）“xy＞1”是“x＞1，y＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二．多选题（共2小题）（多选）5．（2022秋•香洲区校级月考）已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，则下列说法正确的是（）A．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是m＞1 C．方程有两个正根的充要条件是0＜m＜1 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m＜0（多选）6．（2022秋•行唐县校级月考）下列选项中p是q的必要不充分条件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1 B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝B C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等 D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0三．解答题（共2小题）7．（2022秋•桃城区校级月考）当m，n∈Z时，定义运算⊗：当m，n＞0时，m⊗n＝m+n；当m，n＜0时，m⊗n＝m•n；当m＞0，n＜0或m＜0，n＞0时，m⊗n＝|m+n|；当m＝0时，m⊗n＝n；当n＝0时，m⊗n＝m．（1）计算[（﹣2）⊗（﹣3）]⊗（﹣7）；（2）证明，“a＝0，b＝﹣2或a＝﹣2，b＝0”是“a⊗b＝﹣2”的充要条件．8．（2022春•兴庆区校级期末）命题p：﹣x2+4ax﹣3a2＞0（a＞0），命题q：．（1）当a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．题型七：集合法解充分必要条件命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．一．选择题（共3小题）1．（2022春•沈河区校级期末）命题“∀x∈[1，2]，3x2﹣a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤3 B．a≥2 C．a≤4 D．a＜22．（2022春•雁塔区期末）“a＞b＞0”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022秋•岳麓区校级月考）不等式成立的一个必要不充分条件是（）A．0＜x＜2 B．0＜x＜1 C．1＜x＜3 D．x≥﹣1二．多选题（共1小题）（多选）4．（2022秋•光明区校级月考）下列命题正确的是（）A．“a＞1”是“”的充分不必要条件 B．命题p：∃x＜1，x2＞1是假命题 C．已知a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D．的最小值为2三．填空题（共1小题）5．（2022秋•温州期中）已知集合，若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．四．解答题（共7小题）6．（2022秋•三水区校级月考）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．7．（2022秋•顺德区校级期中）已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，（1）当a＝0时，求A∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．8．（2022秋•南海区校级月考）函数的定义域为集合A．集合B＝{y|y＝﹣x2+2x+3，0＜x＜3}，C＝{x|m﹣2＜x＜2m}．（1）求集合A，B；（2）设p：x∈A，q：x∈C，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．9．（2022秋•黄岛区校级月考）已知全集为R，集合P＝{x|2≤x≤10}，集合M＝{x|x＜a或x＞2a+1}（a＞0）．（1）若x∈P是x∈M成立的充分不必要条件，求a的取值范围；（2）若P∩（∁RM）≠∅，求a的取值范围．10．（2022秋•宛城区校级月考）定义一种新的集合运算Δ：AΔB＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|4x2+9x+2＜0}，，M＝BΔA．（1）求集合M；（2）设不等式（x﹣2a）（x+a﹣2）＜0的解集为P，若x∈P是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．11．（2022春•农安县期末）已知命题p：∃x∈R，使mx2﹣4x+2＝0为假命题．（Ⅰ）求实数m的取值集合B；（Ⅱ）设A＝{x|3a＜x＜a+2}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．12．（2022秋•硚口区校级月考）设全集为R，A＝{x|（ax+4）（x﹣2a+3）＞0，a＞0}，．（Ⅰ）若a＝2，求A∩B，（∁RA）∪（∁RB）；（Ⅱ）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．题型八：充分、必要条件的应用一．选择题（共6小题）1．（2022秋•渝中区校级月考）“﹣3＜m＜1”是“不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x﹣1＜0对任意的x∈R恒成立”的（）条件．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022秋•渝中区校级月考）使得不等式“x2≤1”成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1≤x≤1 B．x＜1 C．x≤1 D．x＞13．（2022秋•洛阳月考）“ab≤2”是“a2+b2≤4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022秋•香坊区校级月考）下列选项中，“a＞b”成立的一个必要不充分条件是（）A．a＞b﹣1 B．a2＞b2 C．a＞b+1 D．a﹣b＞05．（2022秋•松北区校级月考）“x+y＞5”是“x＞2且y＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．（2022秋•天心区校级月考）命题p：“∃x∈R，ax2+2ax﹣4≥0”为假命题的一个充分不必要条件是（）A．﹣4＜a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣3≤a≤0 D．﹣4≤a≤0二．多选题（共2小题）（多选）7．（2022秋•海沧区校级月考）下列说法正确的是（）A．当a≠0，不等式a+＝2恒成立 B．当x＞1时，的最小值是5 C．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2 D．“a＞1”是“＜1”的充要条件（多选）8．（2022秋•永年区校级月考）下列说法中正确的有（）A．“ab＝0”是“”的充要条件 B．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件 C．“x＝2或x＝﹣3”是“x2+x﹣6＝0”的充要条件 D．“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件三．解答题（共2小题）9．（2022秋•北碚区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c，（1）若a，b，c＞0，求证：“y＝ax2+bx+c过点（1，3）”是“”的充分条件；（2）求（）10的整数部分．10．（2022•天元区校级开学）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式x2﹣（4a+2）x+3a（a+2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．题型九：量词命题及其否定1．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．