结构力学课件一四

二、单自由度体系自由振动微分方程的解)(mk=w02yy=+Þw&&)(0akyym=+LL&&)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=Þ=yCyycossin)(21ww+=tCtCty)0(010w=Þ=vCvy&y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、Δst

三参数中哪一个最便于计算来选用。自振周期计算公式：圆频率计算公式：一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512

׃

2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。1θ例5、求图示结构的自振圆频率。解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ例6户、求看图示茫结构遣的自初振频骨率。lEImk1k11k11k解：删求k对于治静定危结构蛇一般歇计算绩柔度庸系数认方便茂。如果版让振桨动体箩系沿承振动潮方向障发生袋单位贡位移漏时，农所有闪刚节尚点都明不鱼能兰发过生福转哈动耕（回如耻横湾梁悟刚排度占为陡∞兆刚拍架行)惭计购算谊刚雀度孙系私数切方币便拣。一端皱铰结纽奉的杆驾的侧岩移刚荐度为秧：两托端言刚吼结隆的破杆略的香侧贷移故刚革度话为轮：五送、急阻毛尼交对哨自摊由慎振亡动废的臣影具响忽略残阻尼企影响反时所见得结续果能框不宁能反映秧实际湿结构鼠的振东动规弦律。大才体某上忽略触阻尼客的振丑动规坐律考学虑乒阻择尼额的辈振送动泼规旅律结倦构糠的牺自脾振狸频第率讽是铃结环构雅的牌固吨有泰特兰性习，粉与躬外匙因义无付关那。简稠谐业荷担载盆作馋用砖下贝有徒可铁能旗出校现磨共凡振熟。自由琴振动奋的振轧幅永搭不衰孙减。自估由德振播动驱的术振涌幅奔逐型渐您衰宽减沿。共振呼时的局振幅逝趋于痕无穷资大。共振氏时的雁振幅夸较大选但为弦有限梅值。产费生浅阻懂尼逮的喂原支因：年结仁构跟与揪支藏承伏之斧间寻的拔外育摩怠擦妈；奋材萍料容之喉间拔的促内肢摩似擦廊；倦周剥围勾介狐质带的喜阻钩力摇。阻尼遍力的京确定：总达与质凶点速韵度反瘦向;设大小朋与质缝点速摇度有器如下顽关系拾：①与宗质点钞速度滩成反府比（抱比较疑常用挥，称欧为粘亏滞阻戴尼）品。②威与兄质砌点匹速状度差平侨方诊成政反发比推（幕如崭质渗点驴在晕流贵体面中魔运乖动疏受似到归的妇阻邪力贿）黎。③与毯质点阁速度纠无关私（如减摩擦猜力）社。粘滞殖阻尼壶力的街分析衔比较夕简单俊，(妇因为R(t)=茅－宇C枯y).其洲他汉阻嗓尼默力摸也葡可哪化姜为栏等港效挖粘财滞策阻慈尼卧力盈来染分贯析学。振抗动抬模迅型ykykmy有阻汪尼的糠自由教振动潜，动平傻衡方差程：(阻销尼阴比）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设膜解唐为：特征岛方程做为：1头)ξ贯<即1（低趁阻哪尼塌）奶情酷况c令低阻尼体系的自振圆频率ae-ξωttyty低阻忙尼y粮-镰t曲罗线无阻掉尼y-钉t曲线①阻尼应对自臂振频丹率的言影响.当ξ<马0.丙2，则装存牛在0晓.脂9电6回<ωr/像ω雹<吨1胳。在矮工雾程臭结怎构贝问倡题博中笼，南若0约.发0屿1门<ξ<0湾.1玻，可唉近众似城取纸:称练为残振柜幅析的越对镜数仗递该减时率祸.设yk和yk+速n是相粒隔n个咏周卖期刻的作两枣个喇振隆幅垃则鸦:经晌过市一挖个值周乔期泊后欣，乎相屯邻讲两潮振佩幅yk和yk+1的比睬值的地对数残为:工赏程俩中化常景用酒此换方蚁法惩测绒定责阻弟尼②阻尼劣对振鸦幅的松影响.振酬幅ae-ξ藏ωt随揭时夸间脂衰姻减国，玻相剩邻炒两绪个艰振惠幅源的念比振剧幅苗按蒜等胃比费级辩数兆递协减糕.EI=∞m例、图示天一单星层建容筑物笨的计厨算简躬图。害屋盖瓜系统拍和柱衡子的畏质量赢均集姐中在破横梁座处共泥计为m9.8kN，加陈一水微平力P=储9鸽.拉8抽k氧N，测挪得岔侧壳移A0=奇0猪.爽5谜c交m，然后志突然胃卸载学使结等构发青生水焦平自厅由振瞧动。踏在测胆得周穴期T=芬1温.洽5虚s及一个侮周卧期驻后考的堪侧充移A1=川0仁.猜4捡c垒m。求种结辆构沙的台阻车尼砍比ξ和孤阻貌尼跪系躬数c。解秤：=wxk2=wxmc2=wwxm22临追界厕阻圾尼较常烤数cr为ξ=崭1时的黑阻尼中常数羊。（振与刷不振旅的分透界点）阻然尼镰比诞。只反史映奏阻枝尼滔情闪况拘的碍基雀本译参箭数霉。3)ξ列>贪1强下阻抓尼乔：不出回现振学动，挠实际罪问题具不常送见。2丹)ξ=郊1（临界转阻尼蜓）情毒况)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0这条炎曲线托仍具冻有衰欠减性独，但搏不浴具培有间波曲动刚性核。m§1乏5摄-慨3滑单掏自罚由然度旷体符系愤的有受煌迫蝇振完动受迫愤振动丛（强惰迫振蛇动）张：结榴构毅在帮动住力熄荷候载赌作冲用宅下灭的颠振辟动陆。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)弹性苦力－ky、惯性贱力和饼荷充载P(t)之惰间鬼的膝平派衡奶方阻程液为:一、衡简谐袖荷载污：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=单店自匀由衰度滤体规系骨强疮迫振滔动楼的姿微轰分谣方议程特锈解：最此大陵静伟位它移yst（是把抖荷载必幅值判当作很静荷养载作居用时慨结构惠所产吧生的位瓣移）播。特解厚可写爆为：通丘解糊可盏写派为锋：设t=晴0时的声初始借位移始和初丑始速烤度均壤为零倚，则伏：过鹅渡和阶乌段：振旗动开挡始两讨种振耽动同幅时存端在的霸阶段翻；平稳捞阶段：后抵来只杠按荷脾载频粱率振仰动的帖阶段想。（漆由于磁阻尼钩的存泽在）按自含振频吃率振伞动按荷吸载频停率振福动平稳爱阶段吐：最大逢动位裂移（尾振幅饲）为淡：动姐力监系缸数β为：1023123wqb重彻要染的课特现性峡：当θ孕/涂ω→0时,β→1测，荷芝载醋变附化斧得仪很终慢理，够可框当双作板静郊荷唤载孙处臣理逃。当0肤<θ冲/药ω<1时,β>1泳，并且宿随θ/意ω的技增败大查而孙增锹大城。当θ/郑ω→1时,β→上∞爱。即周当搜荷绳载腊频坝率雅接赚近舞于午自查振拆频详率订时端，廊振势幅厅会辛无屠限蜡增事大输。帽称午为谋“叮共蝴振凳”讽。腾通剂常犯把0乱.乞7快5村<θ粗/昨ω<1栗.2袍5称历为羡共籍振鞋区。当θ拢/栏ω>1时,β的绝吩对值胖随θ榜/栋ω的川增暴大袋而葡减旱小桂。星当θ很基大哭时怪，锹荷受载娱变膀化延很慎快姻，泉结万构扁来稳不心及碍反无应。当傲动究荷互载叶作狭用屯在登单壤自残由引度流体送系映的急质谊点疯上披时爹，找由片于湾体询系票上哑各截垒面梅的待内快力隶、浓位巧移座都昨与暖质陡点璃处显的似位刘移伴成巷正念比断，男故根各莫截粱面蒙的蒸最自大渠动糠内尼力陆和哪最咱大约动罢位晶移南可蒸采映用丽统垒一记的趴动该力贼系轿数潜，只困需坝将叛干位扰赚力州幅独值烤乘标以席动度力尸系新数堡按竿静货力洽方鼠法晒来坦计鸦算局即菊可。例：高已知m馆=3厉0为0锣k胳g不，E毅I统=90紧×1行05N技.辫m2,训k糟=4销8奏E陶I淋/l3,墓P肯=2色0联k晶N,进θ集=8城0纹s-1求梁帮中点轮的位瓦移幅碗值及仍最大链动力躬弯矩筒。2mEImkPsinθt2m解娇：1问)店求ω2酿)乖求β3穗)贫求yma倡x，Mm粉a级x例溜、被一掏简泛支踩梁额（I引2进8装b破）亏，惯阀性希矩I=7烂48陵0c员m4，截面员系数W=5锐34氏cm3，E=颠2情.目1威×袋1惨0街4婚k睬N稼/烦c杯m2。在跨沫度中驼点有惠电动锦机重矛量Q=3鉴5k魔N，转速n=5护00王r/沃mi模n。由枪于愤具夫有更偏句心惧，行转猪动半时滥产址生钞离盒心今力P=蝇1济0惨k的N，P的京竖哨向蜓分锹量引为Psi膝nθt。忽略末梁的顷质量演，试参求强权迫振警动的客动力项系数效和最奥大挠幼度和陵最大酸正应晨力。摔（梁液长l=4春m）解汪：队1幼）丛求高自贸振彩频专率颠和付荷悔载挣频颗率2援）地求拼动院力售系期数β1振7标5杀.位6MP鹿a必须题特别澡注意塞，这狗种处彻理方膏法只节适用盖于单穷自由役度体戒系在老质点帅上鸡受散干容扰膏力鼠作扭用什的校情茅况律。炮对恰于案干匆扰原力猎不耐作缺用拆于厦质情点是的闭单午自农由度体货系，裁以及鹅多自跳由度先体系绵，均手不能熊采用渠这一略方法乳。I2停2b35困70追cm435扛7039父.73俯9尺.魔71刃.叮3讽5对于格本例旅，采践用较塘小的混截面修的梁村既可嫂避免龄共振叶，又阵能获游得较犬好的凭经济骆效益梅。3村2拍51著4仪9这.雨2设体巴系在t=0时静扇止，霸然后绘有瞬溜时冲刚量S作用。二千、沙一伙般眉荷嫌载一般追荷载霉作用坟下的四动力漫反应乖可利兄用瞬签时冲俘量的动拳力肌反阅应扇来革推斩导1公、不瞬锯时放冲找量津的灿动来力众反手应P(t)tP瞬时火冲量S引起科的振战动可惕视为况由初脊始条籍件引肥起的瓶自由谦振动泻。由动印量定孔理：Δtcossin)(00www+=tvtytyΔtτtt't'cossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty2、袋任意畜荷载P(t)的睡动姑力扎反阶应P(t)tττ时刻填的微杜分冲驾量对t瞬榨时(t部>τ)引起掀的动舱力反环应:初始择静止尤状态姜的单叮自由局度体尖系在抖任意厅荷载娘作用附下的恳位移什公式暖:(Du游ha滤me厚l积分侮)…成…（蠢15包.2回9）初始着位移y0和半初夺始胞速兄度v0不为垮零在苹任意般荷载味作用留下的遇位移盛公式衬:t3躁、驾几胃种以典映型块荷持载闭的锈动本力寄反段应1逃）席突佳加芽荷固载P(t)tPys创t=膊P0δ=虎P0/遮mω2ysty(t)ωt0π2π3π质点截围绕梨静力煌平衡系位置蜓作简燃谐振况动2）基短时烈荷载P(t)tPu阶纠段Ⅰ(0<t<u)语：与突怎加荷很载相书同。阶段Ⅱ(t>u)：无台荷选载这，坛体树系微以t=u时刻鸦的位群移和层速卡度为初阅始条合件作咸自由证振动肠。sincos)(00www+=tvtyty或摆者朋直谷接抛由Du朴ha累me里l积分仗作另解总：短爬时荷撤载可劝认为篮由两想个突把加荷妈载叠赴加而蔽成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0<t<u当t>uysty(t)ωt0π2π3πωT最大虚动反弦应1）当u>T/2最谎大印动瞒位艇移催发首生牛在局阶叫段Ⅰ2猴）当u<T/2最大指动位站移发能生在报阶段Ⅱβ=蹦2β1/611/22动力悦系数但反应闲谱(β与T和u之娃间逗的枣关槽系鼻曲篮线)3虏）蔽线拿性益渐故增咱荷潜载P(t)tP0tr这种竭荷载陕引起付的动离力反遥应同叹样可驶由Du颂ha两me闻l积羽分殃来逢求解:对怪于怖这脂种锣线裤性寨渐子增晌荷并载宰,借其警动饶力傅反疑应卸与堂升艇载哪时惭间澡的部长叶短袋有翁很酿大伏关献系地。蜂其坝动红力宫系小数床的智反章应嘱谱豆如菠下禁：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrP0动力猴系数眯反应纹谱动挨力糠系标数β介于忠1与冈2之羞间。如着果但升暂载盼很驼短渐，tr<T/4鼻,则β接骑近矮于芝2悄,杂即抱相临当吼于沸突沸加目荷赢载卵情陷况臭。如果励升载化很长贴，tr>4T,则β接缝近但于纠1派,任即顽相季当肝于妙静私荷轻载轻情忍况摄。常取超外包溉虚线堪作为稿设计轰的依织据。三途、熊有您阻刺尼捡的利强阀迫支振拳动①单采独绪由v0引知起弱的逮自侨由落振领动煌：②删瞬搂时艰冲谈量ds=Pdt=虑m密v0所柜引圣起牌的戴振泳动挖，杀可返视膀为繁以v0=Pdt/攀m，y0=0为纸初敢始艺条咳件构的我自旅由类振时动支：③将唉荷载P(t)的蛋加祝载绿过师程机看虚作镰一脊系真列森瞬僵时携冲培量香：④撒总灾反您应P(t)tτtEI=∞m例、图示季一单加层建届筑物调的计抵算简非图。茎屋盖件系统仿和柱惧子的尚质量吊均集画中在表横梁脊处共唱计为m9.8kN，加括一水炸平力P=9卷.8鬼kN，测得翅侧移A0=恨0售.网5份c罩m，然后莫突然洽卸载傻使结救构发袄生水贩平自详由振设动。露在测项得周饼期T=1乓.5期s及镰一个周待期后效的侧床移A1=活0异.始4缝c震m。求结套构的鄙阻尼凤比ξ和阻缎尼系聚数c。解：=wxk2=wxmc2=wwxm22（鄙1唇）突加无荷载P0低阻滥尼y狸-租t曲名线无阻我尼y托-阵t曲依线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静河力热平掉衡嚼位热置具挽有吸阻号尼夺的司体厅系执在突临加蜡荷畏载毅作死用畜下庄，最初示所引沙起的努最大位移藏接近树于静端位移ys排t=P0/mω2的抛两袜倍佩，然后徒逐渐曲衰减泳，最后停做留在举静力现平衡位置仗。（温2法）简谐穿荷载P(t)=Fs铸i孕nθt设特津解为款：y=Asi印nθt胖+Bco歌sθt代入姿（肠1仍5伴-捆3顿4近）幼得：+{Asi群nθt+Bc召o罪sθt}齐叠次伞解解加午特总解昌得惩到望通炕解牌：自扬由改振膝动茄，钟因皆阻寺尼嫩作方用加，逐路渐剃衰嫂减顾、真消这失度。纯强丛迫振促动，班平稳色振动疼，振幅亏和周魂期不鸟随时袖间而执变化省。结论：努在帮简却谐维荷索载茅作告用图下篇，潮无蹲论尊是垫否睁计警入邪阻暂尼不的宁作傻用都，佣纯强再迫瞒振分动络部册分的总仪是柱稳览定轿的偶周还期叼运米动魂，宣称椅为才平殿稳驻振波动擦。y容=Asi括nθt+Bc滚o屈sθt=yPsi庄n(θt－α)(胞1旗5拐-咳3肿5主a坏)振幅：yp，最脂大汽静帜力座位驰移：yst=F已/k迎=F镰/m北ω2动偿力蝴系蹦数β与除频谱率院比θ朗/开ω和阻央尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几腿点会注喉意荐：①随ξ增大β曲睡线卧渐则趋桂平什缓布，特别陪是在θ/超ω=1附勾近β的峰值止下降阻的最丸为显赏著。xb21=共振时②当θ接近ω时，β增附加捆很珍快乒，ξ对β的淋数轿值蝴影衔响骆也更很翠大。在0.狭75<θ/录ω<1.询25(共恼振娃区醒)动内仔，挣阻惨尼剖大钞大姻减怕小凯了铺受灾