第07讲 直线的交点坐标与距离公式（6大考点12种解题方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第07讲直线的交点坐标与距离公式（6大考点12种解题方法）考点考向考点考向一、两条直线的交点坐标1．基础知识几何元素及关系代数表示点M直线l不同时为0）点M在直线l上直线与的交点是M方程组的解是.2．两条直线的交点已知两条不重合的直线不同时为0），不同时为0），如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的交点．3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系直线与的位置关系相交重合平行直线与的公共点个数一个无数个零个方程组的解一组无数组无解【微点拨】本节课中的平面内两条直线的位置关系是相交与平行.4.直线过定点问题【微点拨】如果是不论参数为何值，那么过定点的直线为直线系.二、两点间的距离公式1.两点间的距离公式平面上任意两点间的距离公式为.特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．2．两点间距离公式的推导法一：已知平面上的任意两点，向量，则.因此得到平面上的任意两点的距离公式为：.法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离?如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q．在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得．所以．由此得到平面上任意两点间的距离公式为．三、坐标法（解析法）1．坐标法的定义通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法．2．坐标法解决问题的基本步骤（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；（3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论；（4）反演回去，得到几何问题的结论．也可简记为：【微点拨】对解析几何的理解就是将几何问题代数化，也就是用代数方法解决平面几何问题，是数与形的最好结合.四、对称问题对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．1．点关于点对称点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．2．点关于直线对称对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．常见的点关于直线的对称点：点关于x轴的对称点；点关于y轴的对称点；点关于直线y=x的对称点；点关于直线y=−x的对称点；⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点；点关于直线y=n（n≠0）的对称点．【微点拨】对称与距离有关，与垂直有关.五、点到直线的距离1．点到直线的距离点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．2．点到直线的距离公式平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．3．点到直线的距离公式的推导如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为，于是有，，．设，由三角形面积公式可得，于是得．因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离．可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立．【微点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有，所以有.4.点到直线的距离问题（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．六、两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离．3．两条平行直线间的距离公式的推导对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）．在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则．∵点在直线上，∴，即．∴两条平行直线，（其中A与B不同时为0，且）之间的距离为．4.直线关于直线对称（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法．（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0，①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0；②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0；③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0．技巧方法技巧方法1.直线的交点问题将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行；若方程组有无数组解，则两直线重合．2.直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点．3.两点间距离公式的应用平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解．（2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形．4.解析法证明平面几何问题利用解析法解题的步骤：先建立坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行有关代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．用解析法解决平面几何问题的关键是利用图形的对称性等建立适当的平面直角坐标系，简化运算过程．5.对称问题利用对称性可解决下列问题：（1）在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小．①当两定点不在直线的同一侧时，两点连线与直线的交点即所求；②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．（2）在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大．①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即所求；当两定点不在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．6.点、线间距离公式的综合应用利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法，数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．考点精讲考点精讲考点一：两条直线的交点坐标题型一：直线的交点问题1．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：（1），；（2），；（3），．2.已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合．3.求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．题型二：直线过定点问题4.求证：不论m取什么实数，直线（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．题型三：根据直线相交求待定参数问题5.已知两条直线和，试分别确定的值，使：（1）与相交于一点；（2）且过点；（3）且在y轴上的截距为．6.直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．考点二：两点间的距离公式题型四：求平面两点间距离7.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．题型五：两点间距离公式的应用8.已知点A（–1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使，并求|PA|的值．9.已知的三个顶点分别是A（−1，0），B（1，0），，则为（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形考点三：解析法题型六:解析法证明平面几何问题10.用解析法证明：如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立．考点四：对称问题题型七：对称问题11.某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线l的方程为x+2y–10=0．在河边上建一座供水站P分别向A，B两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站P应建在什么地方?12.已知点P，Q在直线上．（1）若点P到点A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大，求点P的坐标；（2）若点Q到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小，求点Q的坐标．考点五：点到直线的距离题型八：求点到直线的距离13.利用向量知识可以计算点到直线的距离，例如：直角坐标平面内有一直线，求点到该直线的距离d，可以按以下步骤计算；第一步，在直线上取两点和，则向量；第二步，写出一个与垂直的向量；第三步，求出在上的投影向量；第四步，求出距离，请根据以上方法完成下面两个小题：（1）求点到直线的距离；（2）求点到直线的距离．题型九：点、线间距离公式的综合应用14.已知直线l经过点，则（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且的面积为4，求直线l的方程；（2）若直线l与原点的距离为2，求直线l的方程．15.已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y−13=0，对角线AC，BD的交点为P（1，5），求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．16.一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300m和700m，且两村相距500m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？17.求适合下列条件的直线的方程：（1）直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为；（2）直线经过点且与点和点的距离之比为.考点六：两条平行直线间的距离题型十：求两条平行线间的距离18.已知直线，直线，则与之间的距离为（）A． B． C． D．19.已知两条直线：，：平行，则与的距离为（）A． B．2 C． D．题型十一：利用平行直线求待定参数20.若直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．题型十二：综合应用21.（1）求平行于直线x﹣2y+1=0，且与它的距离为2的直线方程；（2）求经过两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P，且与直线l3：2x+3y+1=0垂直的直线l的方程．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·北京师范大学昌平附属学校高二期末）和直线关于轴对称的直线方程为（）A． B．C． D．2．（2021·江西新余四中高二开学考试）平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（）A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值3．（2020·河北武强中学高二月考）与直线平行，且与直线交于x轴上的同一点的直线方程是（）A． B． C． D．4．（2020·福建省南安市柳城中学高二月考）经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A． B．C． D．或5．（2020·福建省南安市柳城中学高二月考）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（）A． B．C． D．6．（2020·浙江瑞安中学高二期中）在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:①对任意三点，都有②已知点和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、多选题7．（2021·江苏高二专题练习）下列结论错误的是（）A．过点，的直线的倾斜角为B．若直线与直线垂直，则C．直线与直线之间的距离是D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是58．（2021·湖南雅礼中学高二开学考试）与直线平行且到直线l的距离为2的直线方程是（）A． B．C． D．9．（2021·江苏高二专题练习）已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（）A．线段PQ的长度的最小值为B．当PQ最短时，直线PQ的方程是C．当PQ最短时P的坐标为D．线段PQ的长度可能是三、填空题10．（2021·山西大同市·高二期中（文））已知点到直线的距离为，则______.11．（2021·全国高二单元测试）已知直线，，若，则与的距离为______．12．（2021·南京航空航天大学附属高级中学高二期中）已知复数满足（其中为虚数单位），则的最小值为________．13．（2021·贵州凯里实验高级中学（理））点在曲线上，当点到直线的距离最小时，的坐标是______.四．解答题14.已知直线l经过直线与的交点M．（Ⅰ）若l经过点，求l的方程；（Ⅱ）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．15．已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求（1）AC所在的直线的方程；（2）点B的坐标．16.已知直线，若直线在轴上的截距为，且.（1）求直线和直线的交点坐标；（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.17.如图，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当的中点恰好落在直线上时，求直线的方程．18．直线与直线相交于点（1）过点与直线平行的直线方程；（2）直线与在轴上的截距相同，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4求直线的方程．19．已知直线：与：的交点为.（1）求交点的坐标；（2）求过点且平行于直线：的直线方程；（3）求过点且垂直于直线：直线方程.20.已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．21.已知点，，直线，（1）求直线和交点的坐标；（2）若点P在直线上，求的最小值．22.在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线，于点．（1）若直线的斜率为，求线段的长度；（2）当的中点为时，求直线的方程.23.数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点，，且的欧拉线的方程为．（1）求线段的垂直平分线方程；（2）求外心（外接圆圆心）的坐标；（3）求顶点的坐标．24.已知，直线和直线相交于点P，和y轴交于点A，和x轴交于点B．（1）判断与的位置关系，并用t表示点P的坐标；（2）求的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．25.已知三角形的顶点为，，.（1）求直线的方程；（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.①求点关于直线的对称点的坐标.②若直线过点且与直线交于点，，求直线是的方程.26.如图，射线，所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于.（1）若，，求的值；（2）若，的面积是，求的值；（3）已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围.27.已知直线：，：.（1）求直线过的定点P，并求出直线的方程，使得定点P到直线的距离为；（2）过点P引直线分别交，轴正半轴于A、B两点，求使得面积最小时，直线的方程.28.