导数不等式恒成立求字母范围综合教师

四、不等式恒建立求字母范围恒建立之最值的直策应用（2011北京理18倒数第3大题，最值的直策应用）x已知函数f(x)(xk)2ek。⑴求f(x)的单一区间；⑵若对于随意的x(0,)，都有f(x)≤1，求k的取值范围.e1x解：⑴f(x)(x2k2)ek，令f(x)0,xk，k当k0时，f(x)与f(x)的状况以下：x(,k)k(k,k)k(k,)f(x)+00+f(x)4k2e10所以，f(x)的单一递加区间是(,k)和(k,)：单一递减区间是(k,k)，当k0时，f(x)与f(x)的状况以下：x(,k)k(k,k)k(k,)f(x)0+0f(x)04k2e1所以，f(x)的单一递减区间是(,k)和(k,)：单一递减区间是(k,k)。k11⑵当k0时，因为f(k1)ek1x(0,，所以不会有),f(x).ee当k0时，由（Ⅰ）知f(x)在(0,)上的最大值是f(4k2，k)e所以x(0,),f(x)14k21,解10.等价于f(k)ekee2综上：故当x(0,),f(x)1k的取值范围是[1时，，0].e212.（2008天津理20倒数第3大题，最值的直策应用，第3问带有小的办理技巧）已知函数fxxa0，此中a,bR.bxx⑴若曲线yfx在点P2,f2处切线方程为y3x1,求函数fx的分析式；⑵议论函数fx的单一性；⑶若对于随意的a1,2，不等式fx10在1,1上恒建立，求b的取值范围.24解：⑴f(x)1af(2)3，于是a8．2，由导数的几何意义得x由切点P(2,f(2))在直线y3x1上可得2b7，解得b9．所以函数f(x)的分析式为f(x)x89．x⑵f(x)1ax2．当a0时，明显f(x)0(x0),这时f(x)在(,0)，(0,)上内是增函数．当a0时，令f(x)0，解得xa．当x变化时，f(x)，f(x)的变化状况以下表：x(,a)a(a,0)(0,a)a(a,)f(x)＋0－－0＋f(x)↗极大值↘↘极小值↗∴f(x)在(,a)，(a,)内是增函数，在(a,0)，(0,)内是减函数．⑶由⑵知，f(x)在[1,1]上的最大值为f(1)与f(1)的较大者，对于随意的a[1,2]，不等式f(x)10442f(1)10b394a[1,2]建立．进而得b7在[1,1]上恒建立，当且仅当4，即4，对随意的a，所4f(1)10b9a24以知足条件的b的取值范围是(7]．,4（变换变量，作差）已知函数f(x)(x2a)ex.⑴若a3，求f(x)的单一区间；2⑵已知x1,x2是f(x)的两个不一样的极值点，且|x1x2||x1x2|，若3f(a)a33a23ab恒建立，务实数b的取值范围。2解：⑴a3,f(x)(x23)ex，f(x)(x22x3)ex0x3或1令f(x)0，解得x(,3)(1,)令f(x)0，解得x(3,1)，f(x)的增区间为(,3),(1,)；减区间为(3,1)，⑵f(x)(x22xa)ex0，即x22xa0由题意两根为x1,x2，x1x22,x1x2a，又|x1x2||x1x2|2a2且△44a0，1a2.设g(a)3f(a)a33a23a3(a2a)eaa33a23a，22g(a)3(a2a1)(ea1)0a15或a02a(1,0)0515151,2)2(0,)2(22g(a)+00+g(a)极大值极小值g(2)又g(0)0，g(2)6e28，g(a)max6e28，b6e28.恒建立之分别常数（分别常数）已知函数f(x)alnx1,aR.x(1)若yf(x)在P(1,y0)处的切线平行于直线yx1，求函数yf(x)的单一区间；(2)若a0，且对x(0,2e]时，f(x)0恒建立，务实数a的取值范围.3A解:(1)()a1,.f(x)定义域为(0,),直线yx1的斜率为fxxaR,x1f'(x)a1,f'(1)a11,a2.所以f'(x)21x2x2xx2xx2由f'(x)0得x2;由f'(x)0得0x2所以函数yf(x)的单一增区间为(2，),减区间为(0,2).(2)a0，且对x(0,2e]时，f(x)0恒建立a1即ax(lnx1).lnx0在x(0,2e]恒建立,x设g(x)x(1lnx)xxlnx,x(0,2e].g'(x)1lnx1lnx,x(0,2e]当0x1时,g'(x)0,g(x)为增函数当0x2e时,g'(x)0,g(x)为减函数.所以当x1时,函数g(x)在x(0,2e]上取到最大值,且g(1)1ln11所以g(x)1,所以a1所以实数a的取值范围为(1,).（法二）议论法f(x)xaf(x)在(0,a)上是减函数，在(a,)上是增函数.x2，当a≤2e时，f(x)≥f(a)1lna10，解得a1，∴1a≤2e.当a2e时，f(x)f(2e)aln(2e)10，解得a2eln2，∴a2e.2e综上a1.4（2011长春一模，恒建立，分别常数，二阶导数）已知函数f(x)exx2ax1,（此中aR,e为自然对数的底数）.2(1)当a0时求曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线方程；,(2)当x≥1时,若对于x的不等式f(x)≥0恒建立,务实数a的取值范围.（改x≥0时，f(x)≥0恒建立.a≤1）解：（1）当a0时，f(x)exx21,f'(x)exx,f(0)0,f'(0)1,2切线方程为yx．（2）[方法一]x≥1,f(x)exx2ax1≥0a≤exx21,22xexx21,则(x1)exx21,设g(x)2g'(x)2xx2设(x)(xxx2,则'(x)x(ex1)0,1)e21(x)在[1,)上为增函数,(x)≥(1)10,2(x1)exx21exx21在[1,)上为增函数,g'(x)20,g(x)2x2xg(x)≥g(1)e3a≤e3．,22[方法二]f(x)exx2ax1,f'(x)exxa,2设h(x)exxa,h'(x)ex1,x≥0,'(x)x1≥0,h(x)xa在[1,)上为增函数,heexh(x)≥h(1)e1a.5又xx21≥恒建立f(1)ea3a≤e3f(x)eax,≥0,,222h(x)≥h(1)e1a0,f'(x)exxa0,f(x)exx2ax1在[1,3)上为增函数,此时f(x)≥f(1)ea223a≤e．2（改x≥0时，f(x)≥0恒建立.a≤1）

≥0恒建立,xx2解：先证明g(x)在(0,)上是增函数，再由洛比达法例e1x，∴g(x)1，lim2limex1x0xx01∴a≤1.（正常的议论进行不了，除非系数调到二次项上f(x)exax2x1，分两种状况议论可得a2≤1）16.（两边取对数的技巧）设函数f(x)(x1且x0）(x1)ln(x1)1）求f(x)的单一区间；2）求f(x)的取值范围；1(x1)m对随意x(1,0)恒建立，务实数m的取值范围。（3）已知2x11f'(x)ln(x1)1解：（）(x1)2ln2(x1),当f'(x)0时，即ln(x1)10,1xe11.当f'(x)0时，即ln(x1)10,0xe11或x0.故函数f(x)的单一递加区间是(1,e11).函数f(x)的单一递减区间是(e11,0),(0,).（2）由f'(x)0时，即ln(x1)10,xe11，由（1）可知f(x)在11)上递加，在(e11,0)递减，所以在区间（－，）上，10当xe11时，f(x)获得极大值，即最大值为f(e11)w.在区间(0,)上，f(x)0.6函数f(x)的取值范围为(,e)(0,).分（3）1m，两边取自然对数得1ln2mln(x1)2x1(x1)0,x(1,0)x1（分别常数）已知函数f(x)1lnxx．1)此中a>0，上存在极值，务实数（Ⅰ）若函数在区间(a,aa的取值范围；2k（Ⅱ）假如当x1时，不等式f(x)kx1恒建立，务实数的取值范围；1lnxlnx解：（Ⅰ）因为f(x)，x>0，则f(x)xx2，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0．所以f(x)在（0，1）上单一递加；在(1,)上单一递减，所以函数f(x)在x1处获得极大值．因为函数f(x)在区间(a,a10）上存在极值，)（此中a2a1,1所以1解得1．1,aa22（Ⅱ）不等式f(x)k,即为(x1)(1lnx)k,记g(x)(x1)(1lnx),x1xx所以g(x)(x1)(1lnx)x(x1)(1lnx)xlnxx22x令h(x)xlnx，则h(x)11，xx1，h(x)0,h(x)在1,)上单一递加，h(x)minh(1)10，进而g(x)0，7故g(x)在1,)上也单一递加，所以g(x)ming(1)2，所以k2．（2010湖南，分别常数，结构函数）已知函数f(x)x2bxc(b,cR),对随意的xR,恒有f(x)≤f(x).⑴证明：当x≥0时，f(x)≤(xc)2;⑵若对知足题设条件的随意b、c，不等式f(c)f(b)≤M(c2b2)恒建立，求M的最小值。9.（第3问不常有，有特色，由特别到一般，先猜后证）11n(x1)已知函数f(x)x（Ⅰ）求函数f(x)的定义域（Ⅱ）确立函数f(x)在定义域上的单一性，并证明你的结论.k恒建立，求正整数k的最大值.（Ⅲ）若x>0时f(x)x1解：（1）定义域(1,0)(0,)（2）f(x)1[1ln(x1)]当x0时,f(x)0单一递减。x2x1当x(1,0)，令g(x)11)g(x)11x0ln(x(x1)2x1(x1)2x1，81ln(x1)11x0g(x)g(x)x1(x1)x1(x1)22故g(x)在（－1，0）上是减函数，即g(x)g(0)10，故此时f(x)1[1ln(x1)]x2x1在（－1，0）和（0，+）上都是减函数（3）当x>0时，f(x)k1有k2[1ln2]恒建立，令x1又k为正整数，∴k的最大值不大于3下边证明当k=3时，f(x)k(x0)恒建立x1当x>0时(x1)ln(x1)12x0恒建立令g(x)(x1)ln(x1)12x则g(x)ln(x1)1,当x时，e1g(x)ln(x1)1,当xe时，g(x)0当0xe时1，1,g(x)0∴当xe1时,g(x)获得最小值g(e1)3e0当x>0时，(x1)ln(x1)12x0恒建立，所以正整数k的最大值为3(恒建立，分别常数，波及整数、较难的办理)已知函数f(x)1ln(x1)(x0).x（Ⅰ）试判断函数f(x)在(0,)上单一性并证明你的结论；（Ⅱ）若f(x)k恒建立，求整数k的最大值；（较难的办理）x1（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×[1+n(n+1)]>3)e2n－3.解：（I）f(x)1x1)]1[1ln(x1)]x2[1ln(xx21x1x1x0,x20,0,ln(x1)0,f(x)0.f(x)在(0,)上递减.x1（II）f(x)k恒建立,即h(x)(x1)[1ln(x1)]xxk恒建立.1h(x)x1ln(x1),记g(x)x1ln(x1)(x0).x则g(x)x0,g(x)在(0,)上单一递加，x1又g(2)1ln30,g(3)22ln20.g(x)0存在独一实根a，且知足a(2,3),a1ln(a1).9当xa时，g(x)0,h(x)0，当0xa时，g(x)0,h(x)0.∴h(x)minh(a)(a1)[1ln(a1)](a1)a1(3,4)aa故正整数k的最大值是3.a（Ⅲ）由（Ⅱ）知1ln(x1)3(x0)xx1∴ln(x1)3x12323x1xx1令xn(n1)(nN*)，则ln[1n(n1)]32n(n1)ln(1+1×2)+ln(1+2×3)++ln[1+n(n+1)](213)(23)2132n3[1312232n3(11)2nn1

3][2n(n1)1]n(n1)32n33n1∴（1+1×2）（1+2×3）[1+n（n+1）]>e2n－311.(分别常数，双参，较难)已知函数f(x)(x36x23xt)ex，tR.（１）若函数yf(x)挨次在xa,xb,xc(abc)处取到极值．①求t的取值范围；②若ac2b2，求t的值．（２）若存在实数t0,2，使对随意的x1,m，不等式f(x)x恒建立．求正整数m的最大值．解：（1）①f(x)(3x212x3)ex(x36x23xt)ex(x33x29xt3)exf(x)有3个极值点,x33x29xt30有3个根a,b,c.令g(x)x33x29xt3,g'(x)3x26x93(x1)(x3)g(x)在(-,-1),(3,+)上递加,(-1,3)上递减.g(-1)>0g(x)有3个零点8t24.g(3)0a,b,c是f(x)的三个极值点x33x29xt3(x-a)(x-b)(x-c)=x3(abc)x2(abbcac)xabc10abc33(舍a123abacbc9b1或b(-1,3))b1t8.t3abc2c123（2）不等式f(x)x，即(x36x23xt)exx，即txexx36x23x.转变成存在实数t0,2，使对随意x1,m，不等式txexx36x23x恒建立,即不等式0xexx36x23x在x1,m上恒建立。即不等式0exx26x3在x1,m上恒建立。设(x)exx26x3，则(x)ex2x6。设r(x)(x)ex2x6，则r(x)ex2，因为1xm，有r(x)0。故r(x)在区间1,m上是减函数。又r(1)4e10,r(2)2e20,r(3)e30故存在x0(2,3)，使得r(x0)(x0)0。当1xx0时，有(x)0，当xx0时，有(x)0。进而y(x)在区间1,x0上递加，在区间x0,上递减。又(1)e140,(2)e25>0,(3)e36>0,(4)e45>0,(5)e520,(6)e630.所以当1x5时，恒有(x)0；当x6时，恒有(x)0；故使命题建立的正整数m的最大值为5.（2008湖南理22，分别常数，复合的超范围）已知函数f(x)ln2(1x)x2.1x⑴求函数f(x)的单一区间;⑵若不等式1na(1)≤e对随意的nN*都建立（此中ea的最大值.（分别常数）n解:⑴函数f(x)的定义域是(1,)，2ln(1x)x22x2(1x)ln(1x)x22xf(x)1x(1x)2(1x)2.11设g(x)2(1x)ln(1x)x22x,则g(x)2ln(1x)2x.令h(x)2ln(1x)2x,则h(x)222x.1x1x当1x0时，h(x)0,h(x)在（－1，0）上为增函数，当＞0时，h(x)0,h(x)在(0,)上为减函数.x所以h(x)在x=0处获得极大值，而h(0)=0,所以g(x)0(x0)，函数g(x)在(1,)上为减函数.于是当1x0时，g(x)g(0)0,当x＞0时，g(x)g(0)0.所以，当1x0时，f(x)0,f(x)在（－1，0）上为增函数.当x＞0时，f(x)0,f(x)在(0,)上为减函数.故函数f(x)的单一递加区间为（－1，0），单一递减区间为(0,).⑵不等式(11)nae等价于不等式(na)ln(11)1.nn111a≤n.1知，ln(11由1)＞0，∴上式变形得ln(1)nnn1，则G(x)11设xln(1x),x0,1,则nxG(x)11(1x)ln2(1x)x2.(1x)ln2(1x)x2x2(1x)ln2(1x)由⑴结论知，ln2(1x)x20,（f(x)≤f(0)0）即(1x)ln2(1x)x20.1x所以G(x)0,x0,1,于是G(x)在0,1上为减函数.故函数G(x)在0,1上的最小值为G(1)11.1ln2所以a的最大值为1.ln2（变形，分别常数）已知函数f(x)x2alnx(a为实常数).(1)若a2，求证：函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值；12(3)若存在x[1,e]，使得f(x)(a2)x建立，务实数a的取值范围.解：⑴当a2时，f(x)x22lnx，当x(1,)，f(x)2(x21)0，故函数f(x)在(1,)上是增函数．x⑵f(x)2x2a(x0)，当x[1,e]，2x2a[a2,a2e2]．x若a2，f(x)在[1,e]上非负（仅当a2，x=1时，f(x)0），故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]minf(1)1．若2e2a2，当xa时,f(x)0；当1xa时，f(x)0，此时f(x)22是减函数；当axe时，f(x)0，此时f(x)是增函数．2故[f(x)]minf(a)aln(aa22)．22若a2e2，f(x)在[1,e]上非正（仅当a2e2，x=e时，f(x)0），故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f()]minf()ae2．xe⑶不等式f(x)(a2)x，可化为a(xlnx)x22x．∵x[1,e],∴lnx1x且等号不可以同时取，所以lnxx，即xlnx0，因此ax22x（x[1,e]）xlnx令g(x)x22x（x[1,e]），又g(x)(x1)(x22lnx)，xlnx(xlnx)2当x[1,e]时，x10,lnx1，x22lnx0，进而g(x)0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，故g(x)的最小值为g(1)1，所以a的取值范围是[1,)．（分别常数，变换变量，有技巧）设函数f(x)alnxbx2.⑴若函数f(x)在x1处与直线y1相切：2①务实数a,b的值；②求函数f(x)在[1,e]上的最大值；e⑵当b0时，若不等式f(x)≥mx对全部的a[0,3],x[1,e2]都建立，务实数m的取值范围.213解：（1）①f'(x)a2bx。x∵函数f(x)在x11f'(1)a2b0a1处与直线y相切1,解得1.2f(1)b2b2②f(x)12,f'(x)1x1x2lnxxxx2当1xe时，令f'(x)0得1x1；令f'(x)0，得1xe，f(x)在1,1上单一递加，在eee[1，e]上单一递减，f(x)maxf(1)1.2（2）当b=0时，f(x)alnx若不等式f(x)mx对全部的a0,3,x1,e2都建立，则2alnxmx对全部的a0,3,x1,e2都建立，2即malnxx,对全部的a[0,3],x1,e2都建立，2令h(a)alnxx,则h(a)为一次函数，mh(a)min.x1,e2,lnx0,h(a)在a[0,3]上单一递加，h(a)minh(0)x，2mx对全部的x1,e2都建立.1xe2,e2x1,m(x)mine2..（注：也可令h(x)alnxx,则mh(x)全部的x1,e2都建立，分类议论得mh(x)min2ae2对全部的a[0,3]都建立，m(2ae2)mine2，请依据过程酌情给分）2恒建立之议论字母范围（2007全国I，利用均值，不常有）设函数f(x)exex．⑴证明：f(x)的导数f(x)≥2；⑵若对全部x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．14解：⑴f(x)的导数xxx-xxx，故f(x)≥2．f()ee．因为ee≥2ee2x（当且仅当x0时，等号建立）．⑵令g(x)f(x)ax，则g(x)f(x)aexexa，①若a≤2，当x0时，g(x)exexa2a≥0，故g(x)在(0，∞)上为增函数，所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．②若a2，方程g(x)0的正根为x1lnaa24，2此时，若x(0，x1)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数．所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．综上，知足条件的a的取值范围是∞，2．设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；(Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,务实数a的取值范围．解：(Ⅰ)F(x)=ex+sinx－ax,Fxexcosxa.'()因为x=0是F(x)的极值点,所以F'(0)11a0,a2.又当a=2时,若x<0,F'(x)excosxa0;若x>0,F'(x)excosxa0.∴x=0是F(x)的极小值点,∴a=2切合题意.(Ⅱ)∵a=1,且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:x2ex1sinx,所以x2xex1sinxx.1111令()exsinx,'(x)xcosx10当x>0时恒建立.hxxhex∈[0,+∞)时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1.(Ⅲ)令x)Fx)Fxexex2sinxax((()2.则'()xx2cos2.xx.xeexaS(x)''(x)ee2sinx因为S'(x)exex2cosx0当x≥0时恒建立,所以函数S(x)在[0,)上单一递加,15S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞)时恒建立;所以函数'(x)在[0,)上单一递加,'(x)'(0)42a当x∈[0,+∞)时恒建立.当a≤2时,'(x)0,(x)在[0,+∞)单一递加,即(x)(0)0.故a≤2时F(x)≥F(－x)恒建立.当a2时，'(x)0,又'(x)在0,单一递加，总存在x(0,),0使得在区间0，x0上'(x)0.致使(x)在0,x0递减，而(0)0，当x(0,x0)时，(x)0，这与F(x)F(x)0对x0,恒建立不符，a2不合题意.综上a取值范围是-,2.14分（用到二阶导数，二次）设函数f(x)exkx2x.2⑴若k0，求f(x)的最小值；⑵若当x0时f(x)1，务实数k的取值范围.1()x，x.fxexf'(x)e1当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.所以f(x)在(,0)上单一减小，在(0,)上单一增添故f(x)的最小值为f(0)1（2）f'(x)exkx1，f(x)exk当k1时，f(x)0(x0)，所以f(x)在0,上递加，而f(0)0，所以f'(x)0(x0)，所以f(x)在0,上递加，而f(0)1，于是当x0时，f(x)1.当k1时，由f(x)0得xlnk当x(0,lnk)时，f(x)0，所以f(x)在(0,lnk)上递减，而f(0)0，于是当x(0,lnk)时，f'(x)0，所以f(x)在(0,lnk)上递减，而f(0)1，所以当x(0,lnk)时，f(x)1.16综上得k的取值范围为(,1].18.(第3问设计很好，2问是独自的，能够拿掉)已知函数f(x)b(x1)lnxx1，斜率为1的直线与f(x)相切于(1,0)点.（Ⅰ）求h(x)f(x)xlnx的单一区间；（Ⅱ）当实数（Ⅲ）证明：

0a1时，议论g(x)f(x)(ax)lnx1ax2的极值点。2(x1)f(x)0.解：（Ⅰ）由题意知：f(x)b(lnxx1)1xf(1)2b11,b12分h(x)f(x)xlnxlnxx1h(x)11xh(x)110解得：0x1；h(x)110解得：x1xx所以h(x)在(0,1)上单一递加，在(1,)上单一递减4分（Ⅱ）g(x)f(x)(ax)lnx1ax2=(1a)lnx1ax2x122ax2ax(1a)(x1)ax(11)(x1)/1a1x1aag(x)xaxxxx1g(x)0得：x11,x21.a10即110若011,aa1，0x1x2xa2(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f/(x)+0-0+f(x)极大值极小值此时g(x)的极小值点为x1，极大值点117分x11a20若11,a0即a，x1x21，则g(x)0，g(x)在(0,)上单一递加，无极值点.a230若111,a0即0a1，x1x21，xa2(0,x2)x2(x2,x1)x1(x1,)f/(x)+0-0+f(x)极大值极小值此时g(x)的极大值点为x1，极小值点11.xa综上述：17当1a1时，g(x)的极小值点为x1，极大值点x11；2a当a1时，g(x)无极值点；211当0ax1，极小值点x1.时，g(x)的极大值点为a2（2011全国I文21，恒建立，一次，提出一部分再办理的技巧）设函数f(x)xex1ax2.⑴若a=1，求f(x)的单一区间；2⑵若当x00a.≥时f(x)≥，求的取值范围解：⑴a1时，f(x)x(ex1)1x2，f'(x)ex1xexx(ex1)(x1).22当x,1时f'(x);当x1,0时，f'(x)0;当x0,时，f'(x)0.故f(x)在,1，0,单一增添，在(－，单一减少.10)⑵()(x1).令x，则x.xeaxg(x)e1axg(x)eafx①若a1，则当x0,时，g'(x)，g(x)为减函数，而g(0)0，进而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0，切合题意.②若a，则当x0,lna时，g'(x)，g(x)为减函数，而g(0)0，进而当x0,lna时g(x)＜，即f(x)＜0,不合题意.0综合得a的取值范围为,118（2011全国新理21，恒建立，反比率，提出公因式再办理的技巧，此题的创新之处是将一般的过定点（0,0）变成过定点（1,0），假如第2问范围变成x1则更间单）已知函数f(x)alnxb在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30.x1x⑴求a、b的值；⑵假如当x0，且x1时，f(x)lnxk，求k的取值范围。x1x解：⑴a(x1lnx)b，f'(x)x(x1)2x2依意意f(1)0,且f(1)11，ab1，解得a1，b1.，即b222⑵由⑴知f(x)lnx1，所以f(x)(lnxk)12(2lnx(k1)(x21)).x1xx1x1xx设h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，则h'(x)(k1)(x21)2x.xx2（注意h(x)恒过点(1,0)，由上边求导的表达式发现议论点0和1）①当k0，由h'(x)k(x21)(x1)2，（变形难想，法二）x2当x1时，h'(x)0.而h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，可得12h(x)0；1x当x(1,+)时，h(x)<0，可得1h(x)>0,1x2进而当x>0,且x1时，f(x)－(lnx+k)>0，即f(x)>lnx+k.x1xx1x法二：h(x)的分子(k1)(x21)2x≤k＜0，∴h'(x)0.11k②当0<k<1，因为当x(k－1)(x2故h(x)(1,)时，而1k+1)+2x>0,>0,11h(1)=0，故当x(1,)时，h(x)>0，可得h(x)<0,不合题意.kx2111③当k≥1，此时h(x)>0，则x(1，+)时，h(x)递加，h(x)h(1)0，∴f(x)h(x)<0,不合x2题意.1综上，k的取值范围为(－,0]21.(恒建立，议论,较简单，但说明原理)已知函数f(x)(x1)alnx.（1）求函数f(x)的单一区间和极值；（2）若f(x)0对x[1,)上恒建立，务实数a的取值范围.解：（1）f'(x)1axa(x0).xx19当a0时，f'(x)0，在(0,xa得xa，)上增,无极值；当a0时，由f'(x)0,xf(x)在(0,a)上减，在(a,)上增,∴f(x)有极小值f(a)(a1)alna，无极大值.（2）f'(x)axa1xx当a1时，f'(x)0在[1,)上恒建立，则f(x)是单一递加的，则只要f(x)f(1)0恒建立，所以a1.当a1时，f(x)在上(1,a)减，在(a,)上单一递加，所以当x(1,a)时，f(x)f(1)0这与f(x)0恒建立矛盾，故不建立.综上：a1.22.（2010新课程理21，恒建立，议论，二次，用到结论ex≥1x）设函数f(x)ex1xax2.⑴若a0，求f(x)的单一区间；⑵若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.解：命题企图：此题主要考察利用导数研究函数性质、不等式恒建立问题以及参数取值范围问题，考察分类议论、转变与划归解题思想及其相应的运算能力.⑴a0时，()x1，xfexf'(x)e.x1当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.故f(x)在(,0)单一减少，在(0,)单一增添.⑵①当a≤1时，f(x)ex12ax，2由⑴结论知f(x)ex1x≥f(0)0，则ex≥1x，故f'(x)x2ax(12a)x，进而当12a0，即a10(x0)，时，f'(x)2而f(0)0，于是当x0时，f(x)0，切合题意.②1xxa时，由e1x(x0)可得e1x(x0).2（太难想，法二）f'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0,ln(2a))时,f'(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln(2a))时,f(x)0.综合得a的取值范围为(,1].2法二：设()()x12,则x,fxeaxg(x)e2agx令g(x)0，得xln(2a)0.20当x[0,ln(2a)]，g(x)0，g(x)在此区间上是增函数，∴g(x)≤g(0)0，∴f(x)在此区间上递加，∴f(ln(2a))≤f(0)0，不合题意.（恒建立，2010全国卷2理数，利用⑴结论，较难的变形议论）设函数fx1ex．⑴证明：当x＞-1时，fxx；x1⑵设当x0时，fxx，求a的取值范围．ax1解：此题主要考察导数的应用和利用导数证明不等式，考察考生综合运用知识的能力及分类议论的思想，考察考生的计算能力及剖析问题、解决问题的能力.21【评论】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求特别高，它不单要求考生坚固掌握基础知识、基本技术，还要求考生拥有较强的剖析能力和计算能力.预计此后对导数的考察力度不会减弱。作为压轴题，主假如波及