新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率 知识点考点重点难点解题规律归纳总结

随机事件的条件概率条件概率的概念若事件A已发生，则为使事件随机事件的条件概率条件概率的概念若事件A已发生，则为使事件B也发生，试验结果必须是既在A中

1随机事件的条件概率................................................................................................-1-1.1条件概率的概念.............................................................................................-1-1.2乘法公式与事件的独立性.............................................................................-5-1.3全概率公式.....................................................................................................-5-2离散型随机变量及其分布列....................................................................................-9-2.1随机变量.........................................................................................................-9-2.2离散型随机变量的分布列...........................................................................-12-3离散型随机变量的均值与方差..............................................................................-16-3.1离散型随机变量的均值...............................................................................-16-3.2离散型随机变量的方差...............................................................................-21-4二项分布与超几何分布..........................................................................................-24-4.1二项分布.......................................................................................................-24-4.2超几何分布...................................................................................................-27-5正态分.................................................................................................................-30-

1

1.1

1．条件概率(1)条件概率的定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A)．(2)条件概率公式

当P(A)>0时，有P(B|A)＝PABPA．

1．如何从集合角度看条件概率公式？[提示]又在B中的样本点，即此点必属于AB．由于已知A已经发生，故A成为计算条件

概率P(B|A)新的样本空间，因此，有P(B|A)＝PABPA．

2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0，1]．

P(B|A)≥P(B)．利用定义求条件概率可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝PABPA求概率．由古典概型的概率公式可知82×1P(B|A)≥P(B)．利用定义求条件概率可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝PABPA求概率．由古典概型的概率公式可知82×1155×4205，P(AB)＝5×4＝10．利用基本事件个数求条件概率2．P(B|A)与P(B)有何大小关系？[提示]

疑难问题

类型1【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)．

[思路点拨]

[解]

(1)P(A)＝2，P(B)＝2×1＋3×2＝＝2

1(2)P(B|A)＝PABPA＝102＝14．5

用定义法求条件概率PB|A的步骤是：1分析题意，弄清概率模型；2计算PA，PAB；

3代入公式求PB|A＝PABPA.

类型2【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第AΩABΩ条件概率的性质及应用掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3＝1230＝25．

求解；第(3)问为条件概率，可以利用定义P(B|A)＝PABPA求解，也可以利用公式

P(B|A)＝nABnA求解．

[解]1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A62＝30，

根据分步计数原理n(A)＝A14A51＝20，于是P(A)＝nn＝2030＝23．

(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝nn

(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为2P(B|A)＝PABPA＝52＝35．3

法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nABnA＝1220＝35．

如果随机试验属于古典概型，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，PB|A

＝nABnA，其中nAB表示事件包含的基本事件个数，nA表示事件A包含的基本事

件个数.

类型3[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．

“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．设第一枚出“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中先设出基本事件，求出基本事件的概率，再求试验成功的概率．设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，7311410，P(B)＝10，P(C|A)＝2，P(D|A)＝2，P(C|B)＝5，P(D|B)74310＋5×10枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示]6点为事件C．则所求事件为B∪C|A．

∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13．

【例3】有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．[思路点拨][解]B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，C＝{第二次取出的球是红球}，D＝{第二次取出的球是白球}，

则容易求得P(A)＝

＝15．

事件“试验成功”表示为CA∪CB，又事件CA与事件CB互斥，故由概率的加

法公式，得P(CA∪CB)＝P(CA)＋P(CB)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝12×

＝0.59．

1．应用概率加法公式的前提是事件互斥．2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率．

乘法公式与事件的独立性全概率公式B∵A、B相互独立，

乘法公式与事件的独立性全概率公式B∵A、B相互独立，1．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(A)＞0．当P(A)＝0时，P(B|A)＝0．

3．P(B|A)＝PABPA可变形为P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就

可以求得第三值．

1.2

1.3

1．概率的乘法公式当P(A)>0时，P(AB)＝P(B|A)·P(A)．2．相互独立事件的概率(1)一般地，事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．相互独立事件的性质

若A与B是相互独立事件，则A与－B，B与－A，－A与也相互独立．

若A，B相互独立，则A与B也相互独立，为什么？

[提示]

∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)－P(A)P(B)，

∴P(A)P(B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B)，

∴A与B相互独立．

3．全概率公式(1)全概率公式设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，

PBiPA|Bii互斥事件与相互独立事件的判断判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．利用独立事件、互斥事件的意义判断．(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，∑nPBjPA|Bj

则对任意一个事PBiPA|Bii互斥事件与相互独立事件的判断判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．利用独立事件、互斥事件的意义判断．(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，∑nPBjPA|Bj

P(A)＝∑nP(Bi)P(A|Bi)．i＝1*(2)贝叶斯公式设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，

n)，则P(B|A)＝．

j＝1

疑难问题

类型1【例1】(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．[思路点拨][解]二者是互斥事件；(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件．

判断两事件相互独立的方法1若PAB＝PAPB，则事件A和B相互独立.2由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立.

相互独立事件同时发生的概率(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事4324相互独立事件同时发生的概率(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事43249642)P(A3)P(24625．9624101625－625＝125．【例2】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问

题的概率分别为45，35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．[思路点拨]件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解．[解](1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1，2，3，4)，

则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，P(A4)＝15．“该选手进入第四轮才被淘汰”记

为B，P(B)＝P(A1A2A3A)＝P(A1)P(AA4)＝5×5×5×5＝625．

(2)法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C，

P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)

＝15＋45×25＋45×35×35＝101125．

法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D，

则P(D)＝45×35×25×15＝

而C与B∪D为对立事件，B与D为互斥事件，

∴P(C)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－

1．求P(AB)时，要注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时，应注意事件A，B是否互斥．对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；

②转化为求对立事件的概率，利用P(A)＝1－P(A)来计算．

2．复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解．

全概率公式的应用设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为

类型3全概率公式的应用设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为【例3】0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的该概率．[解]设B＝{从仓库中随机提一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．

1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．2．从以上典型例题的分析可以看出，应用全概率公式解决问题时，准确、迅速寻找完备事件组是解决此类问题的关键，其应用的一般方法和步骤归纳如下：(1)认真分析题目中的条件，找出完备事件组A1，A2，…，An；(2)求出Ai发生的条件下B发生的条件概率P(B|Ai)，这样就可以直接利用全概率公式解决此类问题了．

归纳总结1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．2．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．

离散型随机变量及其分布列随机变量(1)可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对随机变量的概念判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随

离散型随机变量及其分布列随机变量(1)可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对随机变量的概念判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随

2.1

1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列举出来的随机变量，称为离散型随机变量．(1)任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？(2)离散型随机变量的取值一定是有限个吗？[提示]应关系，根据问题的需要选择相应数字．(2)不一定．可以是无限个，如1，2，3，…，n，…．疑难问题

类型1【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量；(2)2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2022年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球的半径长．[思路点拨]变量．[解]

分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，函数都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数

(1)袋中有大小相同的红球1分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，函数都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数，即函数的自变量是实数出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[思路点拨][解]X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11．(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11．X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．

1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．

归纳总结1．随机变量可将随机试验的结果数量化．2．随机变量与函数的异同点：随机变量

相同点

不同点

离散型随机变量的分布列xnpnx1p11p……x2p20q…xn…离散型随机变量的分布列xnpnx1p11p……x2p20q…xn……p…．

1．离散型随机变量取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量X的分布列(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作：P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)，①，把①式列成如下表格：X＝xix1x2…P(X＝xi)p1p2…上述表格或①式称为离散型随机变量X的分布列．如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分

布列，并记作X～

(2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．3．伯努利试验若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验．4．两点分布如果随机变量X的分布列如表XP

因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有离散型随机变量的分布列一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，1C11C32因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有离散型随机变量的分布列一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，1C11C3233C3＝20，P(X＝4)＝C3C3610C3631203320＋10643205310612称0－1分布或伯努利分布)．两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1?[提示]概率之和为1．

疑难问题

类型1【例1】从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解]

P(X＝3)＝C33＝20，P(X＝5)＝C11C24＝

＝12，

所以随机变量X的分布列为X

P

(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝

＋12＝1920．

求离散型随机变量分布列的一般步骤：1确定X的所有可能取值xii＝1，2，…以及每个取值所表示的意义；2利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率PX＝xi＝pii＝1，2，…；3写出分布列；

离散型随机变量分布列的性质设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)．1710<X<10(1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定离散型随机变量分布列的性质设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)．1710<X<10(1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a．(2)、(3)中依题意，随机变量X的分布列为15a2a3a4a5a115．15＋15＋15＝5．15＋11710<X<10，所以17123210<X<115＋15＋15＝5．离散型随机变量分布列的应用25345412354555

类型2

【例2】

(1)求常数a的值；

(2)求PX≥35；

(3)求P．

[思路点拨]的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．[解]

X＝i

P(X＝i)

(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝

(2)法一：PX≥3＝PX＝3＋PX＝45＋PX＝55＝

法二：PX≥35＝1－PX≤25＝1－＝45．

(3)因为X＝15，25，35．

故P＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝

1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．

类型3【例3】袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个

(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的关键在于确定X的所(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则282

2

310；815．2130231315＋10＝30．130；215；32(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的关键在于确定X的所(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则282

2

310；815．2130231315＋10＝30．130；215；321543105815表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．[思路点拨]有可能取值及取每个值的概率；(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．[解]

P(A)＝C53C21C12C1C＝23．103法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．

因为P(B)＝C51C22C1C＝13，103

所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23．

(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．

P(X＝2)＝C22C12＋C12C2C＝103

P(X＝3)＝C42C12＋C14C2C＝103

P(X＝4)＝C62C12＋C16C22C103＝

P(X＝5)＝C82C21＋C18C22C103＝

所以随机变量X的分布列为X

P

(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3

或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝

离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值x2…xi…xn

离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值x2…xi…xn事件的概率等知识，是较强的综合应用.

归纳总结1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．

3

3.1

离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

Xx1Pp1p2…pi…pn则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的平均水平．(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．

(1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均求离散型随机变量的均值袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2(1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均求离散型随机变量的均值袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，(1)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6；

42

2

136．01611436＝9113211363164136(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？[提示]值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．疑难问题

类型1【例1】一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．[思路点拨]4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．[解]

当ξ＝0时，即取到2个黑球，则P(ξ＝0)＝C2C42＝19

当ξ＝1时，即取到1个黑球和1个白球，则P(ξ＝1)＝C41·C31C92＝13；

当ξ＝2时，即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球，则P(ξ＝2)＝C32C2＋9

C21·C1C36；

当ξ＝3时，即取到1个红球和1个白球，则P(ξ＝3)＝C31·C1C＝16；92

当ξ＝4时，即取到2个红球，则P(ξ＝4)＝C22C2＝9所以ξ的分布列为ξ

P

(2)均值Eξ＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×．

离散型随机变量均值的性质已知随机变量X的分布列为：－214(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋m＝16，11720＝－30．－71416220＝－15．Eξ＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，所以离散型随机变量均值的性质已知随机变量X的分布列为：－214(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋m＝16，11720＝－30．－71416220＝－15．Eξ＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，所以a＝15．－113120＝1，解得－513015－3151m－11621201120(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．(2)求概率：求X取每个值的概率．(3)写分布列：写出X的分布列．(4)求均值：由均值的定义求出EX，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．

类型2【例2】

X

P

(1)求EX；(2)若Y＝2X－3，求EY．

[解]

所以EX＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×

(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得

EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－1730－3＝－6215．

法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：

Y

P

所以EY＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×

1．本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且Eξ＝－112，求a的值．

[解]

－112)B．2[由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以m＝16，－a＋312离散型随机变量均值的应用013C．33131mD．4a＋31－112)B．2[由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以m＝16，－a＋312离散型随机变量均值的应用013C．33131mD．4a＋316ξ

P

若η＝aξ＋3，Eη＝73，则a＝(

A．1

B

所以Eξ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，

法一：Eη＝E(aξ＋3)＝aEξ＋3＝－13a＋3＝73．

所以a＝2．法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：η

P

Eη＝(－a＋3)×12＋3×13＋(a＋3)×16＝73．

所以a＝2．]

求离散型随机变量均值的解题思路(1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY．(2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY．

类型3【例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：

中彩发放奖品1顶帽子(价值20元)1张贺卡(价值2元)纪念品(价值0.5元)同乐一次(无任何奖品)在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一(1)摸一次能获得2中彩发放奖品1顶帽子(价值20元)1张贺卡(价值2元)纪念品(价值0.5元)同乐一次(无任何奖品)在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一(1)摸一次能获得20元奖品的概率是P＝C65C125＝

1CC125132，P(X＝4)＝C51215C63C625066132，P(X＝3)＝C5132，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝132，－1911321155066132＋(－1)×132＋0.5×132＋1×132≈0.4318．1132．

64C61

12－1151320.550132166132有5个白球恰有4个白球恰有3个白球其他试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．(2)按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？[思路点拨]个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．

[解]

(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝C56＝

＝＝

所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：

Y

P

所以收入的随机变量Y的均值为

EY＝(－19)×

故这个人可以赚钱，且摸10000次净收入的均值为4318元．

1实际问题中的均值问题,均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.2概率模型的解答步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.

离散型随机变量的方差x1p1(1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差求离散型随机变量的方差x2p2……xipi……xnpn

归纳总结离散型随机变量的方差x1p1(1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差求离散型随机变量的方差x2p2……xipi……xnpn1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝EX1·EX2．

3.2

1．方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为

XP

(1)方差DX＝∑n(xi－EX)2pi．(2)标准差σX＝DX．i＝12．方差的性质D(aX＋b)＝a2DX．(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？(2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？[提示]是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．

疑难问题

类型1【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．

由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，120，21320＝10，P(ξ＝3)＝20，4120＝5．由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，120，21320＝10，P(ξ＝3)＝20，4120＝5．012113120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，11320＋(2－1.5)2×10＋(3－1.5)2×20＋(4－方差的性质已知随机变量X的分布列为10.2∵0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，∴a＝0.3．112023a0.2211040.13320415

P(ξ＝0)＝1020＝12，P(ξ＝1)＝

P(ξ＝2)＝

P(ξ＝4)＝

故ξ的分布列为ξ

P

所以Eξ＝0×12＋1×

Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×

1.5)2×15＝2.75．

求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果．(2)求出随机变量取各个值的概率．(3)列出分布列．

(4)利用公式EX＝∑nxipi求出随机变量的期望EX．i＝1

(5)代入公式DX＝∑n(xi－EX)2pi，求出方差DX．i＝1

类型2【例2】X0P0.2求EX，DX，D(－2X－3)．[解]∴EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．

方差的实际应用1a10.3(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．20.12方差的实际应用1a10.3(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．20.12b30.630.31.8)2×0.1＝1.56．D(－2X－3)＝4DX＝6.24．

方差的性质1DaX＋b＝a2DX.

2方差也可以用公式DX＝EX2－EX2计算可由DX＝∑nxi－EX2pi展开得i＝1到.

类型3【例3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：XP

YP(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．[解]同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4．(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．由于EX＞EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX＞DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．

利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤

二项分布与超几何分布二项分布－k，k＝0，1，2，…，n．此时称随机独立重复试验必须具备以下条件：

(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，二项分布与超几何分布二项分布－k，k＝0，1，2，…，n．此时称随机独立重复试验必须具备以下条件：因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的意义做出结论．

归纳总结1．解决离散型随机变量的均值与方差，关键在于找出随机变量的特点，求出其分布列后直接按定义求解．2．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出概率分布列、均值、方差，再对具体问题进行分析，做出决策．

4

4.1

1．n重伯努利试验一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验．2．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．3．二项分布的期望与方差若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．独立重复试验必须具备哪些条件？[提示]①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变．

求伯努利试验的概率若图书室中只存放技术书和数学书，每名读者借技术书的概率为读者借一本书只有两种结果，每名读者借一本书可以看做是五次记“读者借数学书”为事件A，“读者借技术书”为事件A，－k(k＝0，1，二项分布及其应用求伯努利试验的概率若图书室中只存放技术书和数学书，每名读者借技术书的概率为读者借一本书只有两种结果，每名读者借一本书可以看做是五次记“读者借数学书”为事件A，“读者借技术书”为事件A，－k(k＝0，1，二项分布及其应用某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的分布列服在重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布，X～B(n，p)．－k，k＝0，1，2，3，4．③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．

疑难问题

类型1【例1】0.2，借数学书的概率为0.8．有5名读者依次借书，设每人只借一本书，求至多有2人借数学书的概率．[思路点拨]相互独立的重复试验，因此可用相互独立的重复试验的概率公式求解．

[解]

因此，每名读者借一本书可看做是五次独立的重复试验，其中P(A)＝0.8，P(A)

＝0.2，故所求的概率为C05×0.80×0.25＋C51×0.81×0.24＋C52×0.82×0.23＝0.05792．即至多有2人借数学书的概率为0.05792．

1．伯努利试验有以下两个特点：①对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；②重复性，即试验是独立重复地进行了n次．2．在伯努利试验中，事件A发生k的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n2，…，n)．

类型2【例2】中目标的次数X的分布列．[思路点拨]从二项分布，可直接由二项分布得出．[解]由已知，n＝4，p＝0.8，P(X＝k)＝Ck4·0.8k·(0.2)4

00.0016二项分布的期望与方差因为ξ～B10，12，所以Eξ＝10×1100.0016二项分布的期望与方差因为ξ～B10，12，所以Eξ＝10×110.02562＝5．Dξ＝10×2×2＝2．20.153611530.409640.4096P(X＝1)＝C41·0.81·(0.2)3＝0.0256，P(X＝2)＝C42·0.82·(0.2)2＝0.1536，P(X＝3)＝C43·0.83·(0.2)1＝0.4096，P(X＝4)＝C44·0.84·(0.2)0＝0.4096．∴X的分布列为XP

1．利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．2．在解题时，要注意概率的加法公式、乘法公式、以及“正难则反”策略(利用对立事件求概率)的灵活运用．

类型3

【例3】某人每次投篮时投中的概率都是12．若投篮10次，求他投中的次数

ξ的均值和方差．

[解]

由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式，所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时，既可以利用定义进行计算，也可以代入它们的计算公式直接求解，很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高，但使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布.

归纳总结1．凡是所涉及的n次试验相互独立，每次试验只有两个相互对立的结果A和

A，且在每次试验中，A发生的概率相同，则n次试验中A发生的次数X就服从

二项分布．

超几何分布－kC(1)X～H(N，M，n)；(2)X～Bn，MN．求超几何分布的分布列某班从6名干部中(其中男超几何分布－kC(1)X～H(N，M，n)；(2)X～Bn，MN．求超几何分布的分布列某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义写出X的可能取值→求出每个X对应的概率→写出分布列．n－M从二项分布．3．凡服从二项分布的随机变量在表示n次试验中某事件发生的次数时，此事件在每次试验中发生的概率相等，否则随机变量不服从二项分布．

4.2

1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝k)＝CkMCNn，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中

n，M，N∈N．＋若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的期望(均值)若随机变量X服从参数N，M，n的超几何分布，即X～H(N，M，n)，则均值

EX＝nMN．

设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中逐个抽取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数．(1)如果每次抽取后不放回，那么随机变量X服从什么分布？(2)如果每次抽取后放回，那么随机变量X服从什么分布？

[提示]

疑难问题

类型1【例1】务劳动．设所选3人中女生人数为X，求X的分布列．[思路点拨]

X的所有可能取值为0，1，2，由题意得：CC5．015利用超几何分布模型求相应事件的概率在100件产品中，有95X的所有可能取值为0，1，2，由题意得：CC5．015利用超几何分布模型求相应事件的概率在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件．解答本题可根据超几何分布公式求解．从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取990．

C521C2495．

C119C198．2126363135100

510023215

P(X＝0)＝C43＝15，P(X＝1)＝C2C4＝35，P(X＝2)＝C41C2C

∴X的分布列为X＝k

P(X＝k)

1．解答本题易出现P(X＝k)算错或列表时X＝k与P(X＝k)的位置不对应的错误．2．求超几何分布的分布列，关键是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值．

类型2【例2】求：(1)2件都是合格品的概率；(2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品，1件是次品的概率．[思路点拨][解]2个元素的组合数C1002，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等，∴C2100＝4950为基本事件总数．(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数C295，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么事件A1的概

率为P(A1)＝C2C952＝893100

(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为C52，记“任取2

件都是次品”为事件A2，那么事件A2的概率为P(A2)＝＝

(3)记“任取2件，1件是合格品，1件是次品”为事件A3，而取到1件合格品，

1件次品的结果数为C195C15，那么事件A3的概率为P(A3)＝C951＝

19198．超几何分布的综合应用(1)利用古典概型公式求解；(2)A片区需等2小时，B片区、C19198．超几何分布的综合应用(1)利用古典概型公式求解；(2)A片区需等2小时，B片区、C片363120＝10．310．C6，

46

C24C13或C10，333

C14C2或C2，

63C31

103

10

P(A3)＝1－P(A2)－P(A1)＝

2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M、N、n、k，同时要避免不必要的重复计算．

类型3【例3】在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；(2)设小红排队时间总和为X(小时)，求随机变量X的分布列．[思路点拨]区均需等1小时，这样A片区参观场馆的个数可视为超几何分布，也可按三区计算，分类讨论．[解](1)从10个场馆中随机选定3个场馆，基本事件的总数为C310＝120，设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件D，其中所包含的基本事件的个数为

C41C31C13＝36．由于每个基本事件发生的可能性是相等的，所以P(D)＝

即小红每个片区都参观1个场馆的概率是

(2)随机变量X可能取得的值为3，4，5，6．

P(X＝3)＝2C33＋2C1C2或C63

P(X＝4)＝C41C31C13＋2C23C1C103

P(X＝5)＝2C42C31C310＝

130．316正态分布1

，σ412－x－μ2σ22πσe531026130．316正态分布1

，σ412－x－μ2σ22πσe531026130

∴随机变量X的分布列为X＝k