材材料力学Ⅱ电子教案二

第三章能量方法§3－1概述§3－2应变能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超静定系统§3－5虚位移原理及单位力法1第三章能量方法§3－1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)(a)

若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。2若利用外力功在数值上等于应变能，即利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。第三章能量方法就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。3(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能第三章能量方法（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3－2应变能·余能4(轻b旧)扭冻转第三将章袭能秋量方猴法5(指c填)弯曲第感三龟章呼能瓶量灯方旗法纯稻弯愚曲横竭力朽弯汗曲6可痒以超把嚷应坐变欲能份统赶一畏写猜成式崭中粱，F为广溜义力奇，可偿以代置表一烦个力,一个蒜力偶,一劫对闻力司或乳一对力夸偶等乖。D为认广挤义拐位捧移早，分可般以渣代以表衬一尊个肝线盒位象移,一个鼓角位移,一妥对猛线页位送移嗓或忆一桂对楚角慢位兼移抚等用。第筒三除章峰能合量森方仍法72.构件岂上有泽一组眯广义祝力共喉同作蒙用令F岗=产F1,wC=D1,Me=茶F2,qA=D2,则（）（）第秃三业章幅能钉量塌方剃法例CwCFEIABMel/2l/2qA,8Fi为广径义力挤，Di为Fi的作刷用点画沿Fi方向丸的广借义位晨移，鹅它是豪由端所妇有者广锄义炊力甩共伯同缩慧产教生洲的唱。3.组合然变形喊（用悟内力仍形式冶表示观的应生变能渐）M(x)

—只产生弯曲转角第厘三沉章舱能母量搂方赚法小变码形时遗不计FS产生诊的应粥变能搬，FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角有n个衫广瘦义窑力编同剧时遇作树用桥时9对于dx微俱段史，FN(x),澡T(x),榨M(x)均为爪外力包。略辅去高酷阶微直量后矛，dx段的眯应变沸能为杆植的虚应昨变行能安为第三票章签能沿量方革法10(盐a采)由谅于坛应御变偷能拍是平外摊力员（率内歌力彩）导或躺位惠移武的漠二史次磨齐秋次寺式监，赚所紧以弱产生同回一种松基本茎变形越形式舍的一霞组外峡力在彩杆内剑产生毒的应铁变能侨，不手等于睁各力污单独狗作用浙时产料生的绒应变用能之灰和。探小变故形时友，产捧生不月同变紧形形疼式的染一组丧外力息在杆败内产调生的扇应变乏能等络于各私力单东独作丛用时火产生软的应竟变能骂之和俩。第三武章掉能讯量方神法4.应变轧能的缩慧特点:EAF2F1ab例F1F2Me1士1(b钉)应容变芳能岩的酒大办小期与乌加性载来顺逼序铅无虽关现（换能灭量淹守那恒墓）F和Me同底时躁作渠用即在添梁专上翁，碗并闪按根同胳一谎比行例筹由呜零悠逐避渐蛛增提加羽到算最医终承值—碧—简单坊加载。在线总性弹句性范商围时雁，力环和位驼移成收正比角，位关移将纤按和锤力相决同的羡比例胞，由银零逐挡渐增回加到耀最终绿值。第饼三慕章裕能爬量叨方医法上智图霜中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a尼)1页2第三貌章腊能义量方宜法先加F,再加Me(图b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),1乓3还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。第三雹章歼能貌量方化法14因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。1.轴裳向忠拉交伸编与胞压倚缩第三责章则能疤量方风法(想2孝)非奏线及性潮弹投性殊体应变恨能为（3－1）（F－D曲线和D轴之间的面积）应变方能密悔度为（s－e曲线和e轴之间的面积）（3－2）15（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。（2）因为，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。应音变寒能态密蔽度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为

切应变。第三占章撒能盲量方想法注划意蛮：2萍.扭转应怎变倒能1皇6式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应好变阻能设密董度应变筒能和想应变职能密辅度之唐间的匀关系按为式中滚，V为体我积。第爪三挖章葛能华量咽方现法3.梁应变响能1皂7例3－3原为奸水平宗位置数的杆拔系如驰图a所示撕，试椒计算菌在荷果载作用值下的垦应变签能。暑两杆箩的弹丘性模样量均衫为,横截晕面面秋积均浓为渐。解：首离先辟分够析驰力F和泪位蚂移D之间也的关际系，冈求出F=f(D)的表毯达隆式错。华设再两堪杆侄的其轴勾力恐均鸽为FN，两疮杆步的京伸萝长湖量添和A点执的勺位局移萄分别为（1）第笨三甲章航能搞量扣方舞法(a)1肯8将（1）式涌代微入上式得由驳结跟点A的妇平助衡歼方碰程粘，拖得(2)为小角度，(4)第三缸章耕能盆量方座法(衫3偿)由轧于所警以19将出（5）课式蜘代防入贡（2）绣式珍，颤得或写锤成（7）F和D的关朴系如凯图b所示界。（5）第三趴章巡寿能摊量方谢法（6）将某（4）机式码代暂入家（3）挂式粘，么得20

（1）由于力F引起的变形，对产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。第三元章途能陕量方梁法杆的炒应变桥能为注意21Ⅱ讲.余扫能第崇三溪章眉能祖量载方涛法图a为非驳线性斤体弹注性体时的受忍拉杆妹，其F－D和s－e关荷系盟如猴图b形,箭c所示片。（1）余功粱的定鄙义为（3－6）

2脏2第三捎章饲能虹量方战法其大默小为姑曲面OF1a的面乔积如辉图d所示珍。Wc和外厕力功W具烧有啊相袋同奏的湾量吓纲惧，记且Wc为岂矩得形OF1aD1的酱面寄积扎与浓曲僚面OaD1的面圣积（W）之差窃（图d）,故大称Wc为床余葛功谢。Wc只有肃几何魂图形荷上的坑意义勾，无播物理苦概念跑，即指没有度什么硬力作疏的功食为Wc。FF1WcaWD1Do(d)2缺3余能密度为（3－8）(3－7)和（3－8）危式串，快分况别篮以F和s为而自辨变欢量偏，D=葱f(F),e=f(s)。所以Vc=典f(F)为受冷力状涂态的甩函数帐。第咱三帖章裹能隆量拘方识法VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）线神弹性页体（耽图e）Ve和Vc数绑值餐相甲等姜，音但苗概宫念洽和辅计容算搭方冬法托不恩同林，牵即Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照,余能为（3－7）（2）余除能（3－9）余能为2驳4例3－5图a中两妥杆的斤长度驴均为l,横截衬面面拴积均件为A。材料包在单近轴拉依伸时渡的s－e关系完如图b所示疮。求天结构航的余昂能。解：该题沾为物燃理非活线性隶问题委，需燃用与求Vc。第照三惨章倒能肤量牙方湾法由结省点C的她平具衡惑方基程秤，毯得懒二氧杆冲的杯轴仪力以为应订力案为25余佛能趣密计度静为结构记的余今能为得第考三蛋章恐能珠量郑方跳法（n>1）由2穷6图喝示维梁梦的丈材相料沟为冬非旋线嫩性贯弹症性壤体继，Fi为广炮义力敲，Di为广袋义位带移。戒各力卫同时右作用贵在梁拉上，削并按靠同一胶比例从由零候逐渐腰增加喜到最壮终值睁（简少单加庄载）越。Ⅰ姿.卡氏蒸第一宰定理（3－10）第昌三惑章额能乳量矛方知法设娱各拆力帖和舒相揪应饶位膜移愤的龙瞬宣时自值葵分包别洽为fi,di，各力拨在其偏相应血的位移械上做滴功,并顽注无意惯到鸭材腿料江为甩非苹线朱性们弹保性径体更，养梁蠢的含应溜变添能逢为§3－3卡急氏键定火理为酸位锡移盘状介态驾函季数德。27假求设特与千第i个荷周载Fi相输应穗的蚁位胶移Di有广一掏微造小增位权移万增掀量dDi，而欠与节其号余吊荷本载讲相热应发的摧位逮移,以及睬各荷倾载均花保持乎不变礼。外边力功散和甚应变努能的祖增量蜻分别扬为（dDi不是拥由Fi产生边的，FidDi为蒜常掘力吸做渴的订功）（a）第三烈章奶能厅量方翠法(b)式中，为应变能对位移的变化率。28（3－1愉1）式为卡氏熔第一栽定理。鬼它坑说坛明持，弹性有结构腐的应悔变能洪，对于拴结脊构观上罪与决某盒一良荷幕载亚相惠应割的疲位快移谁之植变绩化繁率型，龙等郑于场该南荷选载练的勉值。以赢上推吃导中揪并没版有涉熔及到僻梁的戒具体碧性质喘，故裙（3－11）价适婶用次于泥一切受肤力状遥态的课弹性壤体。厚对于据线弹扰性体屑也必锐须把Ve写服成疫给链定顷位吧移救的布函毅数商形跨式概。第三抄章董能钱量方浸法（3－11）得令2芒9第获三磨章熟能浑量横方穿法例3－8图a所示豆结构苍中，A妙B框,高B头C杆胁中德的着横暮截水面疏面峰积疲均捏为A，弹痰性惰模钥量挎均掠为E。两托杆捉处赵于发线惨弹渣性陡范英围驼内夕。均试膨用卡氏淋第一裤定理，求B点的诊水平支位移D1和颗铅水垂岛位壶移D2。30解星：卡氏育第一霜定理荣要求惧把应失变能受写成拌位移D1和D2的总函遮数岗，D1和D2是由A位B较,桨B菌C杆外的驳变坛形滑量dA妻B,dBC所引赴起的俭。首碍先分晶析dAB,dBC和D1和D2的几顶何关钟系。dAB=D1，dBC=A1co石s4功5˚=设B点只主发生劣铅垂狂位移D2（图c），由尺图锹可埋见第三扰章岭能蠢量方拥法设B点只那发生妖水平垦位移D1（图b），由图呀可见3霜1D1和D2同时宜发生遭时，扁则有,（1）,由于货是线乐弹性喂问题液，结白构的恶应变鲜能为（2）第屯三塌章钢能芹量监方率法32（3）（4）联立达求解护（3）,（4），捎得可阻以坑验眼证（3）,（4）式相产当于垃平衡驰方程屑。（→）,（↓）第膨三谅章政能池量套方舱法由卡拐氏第迷一定姜理，稠得3索3Ⅱ.卡氏厕第二悦定理图浮示稀为耐非各线师性别弹傅性加杆电，Fi为肠广止义旗力店，Di为广迁义位培移。焦各力咳按简蜘单加详载方跟式作芹用在溪梁上扫。设棵加载骑过程租中各疲位移损和相威应力唇的瞬溜时值灿分别胶为di，fi。梁的余能为（3－12）第三错章晨能速量方毙法表明(1谨)余兆能踏定浮理34令上式认称为余能误定理。可责用于脚求解赠非线矿性弹恐性结效构与Fi相袍应冈的蛙位芬移俭。(3－13)得第三株章换能窗量方远法设第i个凭力Fi有滥一哭个漠增胆量dFi，其余钢各力煌均保萝持不前变，嚷各位渔移均祝不变。案余功惑和余组能的木改变吓量分昨别是3胞5例3－9图a中两煮杆的肚长度能均为l，横娃截瘦面勇面劣积发均箭为A，材瓦料课在滨单务轴患拉促伸障时坑的s－e的关振系如档图b所示忧。试边用余能衰定理求病结篇点C的铅串垂位例移D1。第希三开章往能北量爆方杰法3你6解：在例3－5中，胸已求娘出结商构的踢余能植为由鼻余距能管定赴理桥得第三张章尽能次量方输法设B嘱C伍,盘C愿D杆的鞭伸长递量为d，容屿易洲验狐上过式伴的票，问即哗为变砌形笑的泡几精何绿关纪系爹。37由念平咽衡跑方兄程搁得第三北章繁能迎量方发法两灰杆股的资伸育长辜量窑为则B匀C佣,晃C小D杆横驶截面蛙上的鞠的应椅力为故3真8(宣2标)卡景氏婆第贱一废定渡理洪和荣余爆能肃定抓理忽的钉比盘较

卡氏第一定理

余能定理第三渣章过能啦量方凝法Di→Di+dDi，其粱它斤位蹦移叫均慨不体变亩，谋所产有盐的段力河均傍不常变局。Fi→Fi+dFi，其它遣力均德不变枯，所钉有的涝位移觉均不狂变。39

卡氏第一定理

余能定理

续表(平衡方程)第膨三宫章盖能廊量叹方狗法（鸣变嗽形债的棒几阻何批关控系址）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体4微0(3场)卡亮氏蹲第晓二蓬定围理当遥结糖构辞为层线瓣弹霜性防体眠时酬，素由亲于俘力F和位君移D成盛正匹比忠，Vc在滑数叛值旅上拐等疲于蹄应乒变洋能Ve（如图梨）。宇若把纽奉用勾力表克示，邻即（3－1都3）式生可扶改乞写悉成（3－14）上肤式堪称团为卡扫氏访第涂二芒定美理滤，它抬是趋余起能辱定池理喷在猫线竞弹在性滩情裁况效下胀的现特燥殊鞭情植况两。打仅躲适饱用塞于忆线籍弹病性文体躺，瓣它停将剧是班研立究恼的碍重兄点却。第尿三虑章谁能糕量摇方槽法VcF1FD

D1

a(e)O4贯1它表智明，线停弹堂性也结盐构估的足应盈变段能讨，葛对斩于耻作闸用美其淘上非的赖某膝一撑荷戴载挣的是变报化匀率悼，摄等挠于抬与该克荷股载卡相脱应气的圾位却移谢。注上意:组冷合及变布形袍（框不焰计聪剪狭力休的酒影木响炊）锐时也可乱以写萌成用吵该福式栗计傅算手时文，撑可楚减肌少嫁计距算箱工切作倾量狡。第休三称章壮能叫量棋方穗法4誉2例3－10图紧示童梁猜的献材盛料惊为愿线俯弹油性辛体南，叠弯艇曲宫刚化度枯为E躲I，不计剪跟力对炎位移芳的影响烤。试耐用卡叹氏态第霸二驻定尤理求梁A端的变挠度wA。解冶：因为A截面氧处无仁与wA相应旦的集顷中力许，不程能直且接利企用卡酱氏第粒二定感理，珍可在A截面皇上虚服加一牌个与wA相应洗的集乡丰中力F，利用敲卡氏枣第二茫定理蒜后，亚令F=0,即第汉三追章勒能蝴量垒方垄法4溪3梁的违弯矩煮方程苍以及帝对F的洞偏纽奉导宴数市分歼别观为利辆用斯卡痒氏贯第筑二叔定抗理萝，畜得（和立假设铸的F的指录向一顽致）这膜种欠虚寺加F力博的墓方富法四，冈也婆称促为伯附撤加晓力亏法容。(↓)第三隶章模能房诚量方抓法这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。4相4例3－1炮1图a所示梁准的后材惩料音为浅线追弹导性懂体没，惠弯饺曲束刚贷度肃为EI。用卡氏绝第二蝴定理求中苏间铰B两悼侧左截像面述的内相餐对涝转辈角标。纵不转计旁剪们力饿对杨位雕移淡的粒影武响应。第街三杯章吃能胖量坟方誓法45在正中膏间继铰B两侧迁截面厘处各您加一口个外家力偶衡矩MB，并价求切出笛在丘一灭对达外赢力衣偶MB及q共贸同得作屑用滨下保梁幕的及支愚反仆力钓（凡图b）粪。第三选章完能完量方择法解：B截面恢两侧唤的相陆对转益角，法就是短与一掘对外膛力偶MB相搂应赢的熄相都对蹲角赏位位顷移止，叠即4脖6（0<x≤l）梁箩的狱弯岂矩怜方搅程却及戴其亏对MB的偏翼导数摇分别厚为第三愤章徒能火量方狸法AB段47中间铰B两侧截面的相对转角为结蓄果倦为筋正英，待表杆示博广禽义责位启移衣的熟转塌向爬和MB的慰转堡向佳一味致须。(钓)第三超章围能必量方科法（0≤x≤

l），B泄C段4袋8第退三朱章设能饭量巩方改法例3－1贷2图a所示既为一依等截赢面开壳口圆垫环，王弯曲闸刚度目为E竭I，材绿料撑为踪蝶线载弹页性域。摇用卡氏红第二询定理求译圆仇环艰开绩口休处催的富张帮开设量D。不杯计剪傲力和件轴力幻玉的影类响。49圆环该开口脑处的牛张量瓜就是籍和两物个F力相企对应岁的相穴对线狭位移扯，即（←六→）用

角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为第呆三嫩章食能活量抢方敢法解：，50结果识为正膜，表蹲示广标义位啄移方接向和残广义灭力的珍指向参一致脑。第三夜章弓能触量方章法（）←→利猪用巡寿对从称封性寸，胆由幼卡坟氏听第爸二诞定滚理团，顶得5淡1例3－13图a所拜示Z字崖型唤平绿面歼刚患架乌中缘瑞，售各循杆橡的爽弯搏曲评刚像度帆均袋为EI，材料粉为线先弹性珠，不环计剪砖力和件轴力嗽对位请移的叫影响科。用卡氏酬第二定烛理求A截面旋的水窜平位门移DA山x及功铅标垂滔位篮移DAy和A截面蹈的转角qA。第桌三坊章爱能递量螺方投法52解：在A截未面赴处绪虚杆加Fx，MA（图b）柄，奥则第三俘章厘能狮量方庆法各讯段寸的胶弯匙矩蔬方摧程者及栽其鼓对挂各纠力救的沟偏碧导熔数誓分浓别挨为M(x)=傲-Fx-MA(0≤x≤3a)，，AB段5急3第三颈章昏能苦量方们法B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面穿简化待，得板到作威用于B的拣竖航直灰力F和肯力旋偶们矩3F堆a，Fx和F在织垂穿直城于B绵C杆植方唱向监上辅的衣力们分效别该为Fxsi律nq，Fco绸sq，指向疲如图c中举虚隔线降所蚕示闯。5胀4第三冒章腹能律量方食法B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，55M(x)=Fx4a－F故x－MA(0≤x≤3a)第构三紧章屡能宏量扁方想法C扯D段，，由铁卡周氏币第按二仅定区理挡可财得（←）5间6（↓）第三己章监能帮量方池法（）5容7

例

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和w2。试证明：第三焰章恨能凝量方帅法w11FF2w2证明棒：设作倘用在1,紫2两牧截跑面园的阿外垃力怪分贺别狠为F1和F2，且F1=F,F2＝F，则忘梁棍的铁应烈变积能伶为Ve=Ve(F1,劳F2)。根据祥复合肥函数慈求导除法则护，有58第钱三槐章悦能淡量仍方私法因此淋，若鞠结构衬上有贫几个设外力蝇的字攀符相嫌同时您，在泛利用顺卡氏背第二嚼定理毯求其荐中某木一力坝的作凭用点杨沿该壁力方锡向的钉位移雀时，冬应将辞该力奥与其挪它力避区分痛开。w11FF2w25幻玉9例图蜡示槐刚蚂架塌各粗杆奶的逃弯旁曲归刚伸度版均霜为E工I，不计程剪力课和轴冤力对子位移炼的影洁响。本试用卡氏仪第二白定理求A截面珍的铅久垂位橡移DA循y。解轨：由于绪刚架般上A表,稠C截打面忍的区外盛力册均果为F，求A截糟面纯的络铅效垂祖位劣移载时磁，骂应控将A处法的阀力F和C处的峡力F区宴别神开枪（先图b）桑，材在辟应距用敲卡氏致第灶二摄定削理撞后歪，霞令FA=极F。第兽三编章枝能呀量瓜方粥法

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y260即AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各肢段返的续弯太矩计方时程围及冲其践对FA的饶偏处导称数孝分超别宰为第三梳章东能宰量方坚法BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y261CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以倡上各满弯矩孟方程泉中的FA=挣F，由渗卡年氏腾第桌二嘱定庄理议得（↓）第三交章窗能皮量方危法62例图窑示强各小杆土的已直节径围均胖为d，材料瞧的弹彻性常无数G崭=0垫.打4E。试篇用卡氏下第二净定理求A端的绩铅垂丹位移港（不浇计剪帆力对畜位移钻的影莫响）虎。解璃：A丢B段的喜弯矩渔方程遗及其朽对F的偏案导数厌分别梳为lCBAFlxxzyO第三抖章界能筋量方扮法（0≤x≤l），63（0≤y念≤傲l）A端极的哀铅免垂行位犬移逆为第三贞章臣能摘量方誓法，，（↓）B捧C段芳的该弯趟矩爸和让扭王矩瓜方肥程易及财其甲对F的偏名导数紧分别勉为6危4Ⅰ.卡氏御第一梅定理字（哈）例各杆谦的弹椒性模倦量均块为E，横革截宅面炊面经积桨均馆为A。试跪用卡氏各第一内定理求各道杆的雁轴力泽。第后三享章廉能翅量杀方拼法§3－4用鱼能嚷量因法每解斤超绘静卫定州系统65(魂2稼)解发：设1,孔2示,探3杆探的股轴槽力匠分谁别获为,和（图b），相应红的位仓移为D1,D2和D3（图c）。由逃对蜜称换性命可历知具，输，D1＝D2。由壳图c可知刻：第三言章艰能冻量方掏法结绑构展的梦应伏变冲能愉为(1)若名求棕出D3，可马由帽（1）染求赴出D1（D2）。再由柏胡克音定律侧求出声轴力颂。以D3为基煤本未嫌知量继，该歉题为珠一次俯超静飞定。66解得由需胡阀克悬定漠律砍得将（4）锣式粉代眨入渗（1）兽得(4)第三扮章荷能轧量方新法(3捧)得由，6系7以典位君移伞作党为是基赔本央未逐知否量握求购解将超赔静势定丽问再题茄的抚方形法舰，冷称放为哗位梨移组法。（1）式尝为岗变址形轨的逮几粥何刚方危程此，（3）式为性平衡垦方程必。求气轴力呀时又烟应用镇了物苏理方脏程。故位馆移法信仍然给是综而合考劲虑了衔平衡获方程,几像何唯关趴系激和尊物截理违方预程职来珍求货解恒超掀静度定涂问盆题匀的垫。第泥三贷章忧能红量绩方旺法68解吵：若丧以秧各潜杆岁的卫轴纺力草为抓未着知筹量扛，完该愧题嫌为催（k-播2）次液超角静接定迅问辽题世。耽若闲以A点的栽水平剥位移Dx和搭铅滔垂恩位戒移Dy为白未和知叫量挑，倘各货杆哗的他位库移末均品可予用Dx,Dy表考示蚊，舟再这由娘胡井克语定栗律最求溜出罢轴求力袜，脆该荣题航为禾二松次炸超结静纤定灿问称题同。第三井章鸽能攻量方多法例3－18图a中k≥3。各陪杆绸的欲弹踪蝶性谢模禁量恐均辫为E，横截抓面面太积分晨别为A1,A2…，Ak。试甘用卡氏第第一志定理求各灾杆的北轴力振。69第i根杆逃的长掀度为（1）由及图b可知揭，第i根崖杆茂的通伸酸长姥量继为（2）结构赞的应亩变能记为（3）第三固章张能揉量方雅法70由，得（5）联解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根杆得轴力第桨三祸章榜能艇量趣方扶法（4）7窝1Ⅱ.余能定理（）例3－15三杆患的材丑料相加同，s=Ke1/户n(n>1)，横印截辞面图面兽积甘均会为A，1贡,拦2两杆播长柄度跳为l。用余顶能绢定邪理求各亡杆的唤轴力渠。第崖三倍章梁能鉴量赢方或法72第孤三念章梯能局量重方邪法解：以晶铰筝链D的支扎反力X为多雨余未杨知力目，基互本静序定系想如图b所剪示笔，F鸦,念X看作摄基本茧静定仔系上蒙独立肥的外销力，所僵以Vc=Vc(F晌,奸X)（不室能扇含晕有佩其连它纳未说知缠力结）因旺为霸铰陪链D处检沿各铅织垂毙方阶向店的厕位抢移统为茫零仅，汇应鼓有由充该栽式叶求层出X后课，屿再敌利呜用代平惧衡蝴方返程择求察各符杆理的己轴厕力链。7扮3(1够)（裕轴碌力旨均株用F和X表辰示抱）第三习章携能味量方厦法由婶平采衡屈方拍程肢得佳各轨杆预的震轴范力舰分蜜别拘为各棉杆阵的惊应留力骨分抢别奴为(2搭)(暴3他)由得7冒4第旋三梨章酒能蜓量归方洒法结构猴的余刚能为(4睬)三思杆柄的阵余驾能迎密奔度签分熄别适为7搅5（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值邪代宴入塘（1），饲得第三叛章恨能眨量方牲法以忍力坚为让基藏本环未纤知纠量链解拳超酬静青定矿问苗题赵的折方弓法乱，露称惯为脏力胃法紫。76Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。第灰三公章埋能担量障方走法77例刚架与各杆存的弯本曲刚嚷度均怜为EI，不计匆剪力佳和轴渡力对恶位移鞋的影益响，妄用卡斑氏晃第封二肿定纲理求坦支隔反吐力胡。第三佛章爹能温量方浸法CABqll(a)78解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示。由于,但是在中，出现(Ve

也将出现)，必须把第奔三亩章矮能盆量摇方堵法CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得7航9CB社,夜AB段浆的定弯境矩引方欢程仓及课其桃对X的余偏志导败数融分蛮别透为，第吧三道章想能泽量辜方按法由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）第三围章席能鞠量方帅法由平视衡条庆件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81例3－1赌7半圆椒环的演弯曲攻刚度输为E枪I，不计书剪力课和轴席力对秃位移耍的影抬响，竖用卡慕氏顺第盾二肤定昂理求捎对微称荐截输面害上炕的详内奔力杂。第三从章顽能逝量方号法8放2解脸：沿镜半忠圆姨环暮的雾对暴称扮截遗面峡处圣截芬开旬，罩取搭两悔个1/聚4圆塌环悉为棕基帮本忧静曲定术系脱（保图b)，多调余懂未袜知盾力徐为惠轴歪力X1,弯矩X2,剪刑力X3。该浆题卡为羽三那次责超滋静掘定剖。第知三鸽章辩能初量烧方职法(艰a树)但由鸟于结扫构与即荷载纱均是田对称次的，阴内力杰也应分该是祖对称今的，阻但X3是冶反遥对赞称全的报，摔故X3＝0，问题鸣简化刷为二东次超雷静定咱。半卡圆环的朵应雅变烦能党只埋能缺为F，X1，X2的蓬函闭数渔，紧即83与X1，X2相衔应源的失位辟移割条详件钱分邪别床为酿两迫截娇面籍的俱相狼对文线黎位舅移苦和暗相罚对罪角详位隐移料为罢零滔，跟即(局b竖)弯矩乳方程广及其酱对X1，X2的偏码导数浸分别泳为第三烈章碍能挤量方热法(c)84注意冻到基刚本静列定系协为两妇个1饭/圾4圆粥环扩，(b)式成熊为(d)第三旧章洲能蹄量方棋法(e)将(c宾)式代脊入(d恳)和(烘e联)式，禾可解秩得85Ⅰ.虚位来移原直理第阿三孩章闸能庙量餐方砌法（1）刚格体虚位较移——满则足押约坏束邻条凤件尘的堵假超想线的贺任柱意膀微群小领位疏移湿。虚检位饱移伯原申理—玩—作用码于刚葛体上辨的力没对于幕任何屈虚位肃移所解作的总功危等于热零（争平衡训的必印要和肚充分凉条件们）。§3－5虚昼位废移增原恨理抹及库单驻位经力篮法8贪6第贞三仅章体能怜量肠方质法（2）可上变形服固体满顺足络约创束学条若件贺和湾变您形团连责续呢条影件鲜的运假垫想究的仅任右意微蓬小继位正移央。—落—外门力烦作扁用元下拴，畏物鞠体调产退生隔变需形稻的咏同田时疼产必生歉内凯力虚珠位裁移—舅—虚蚁位承移历原天理—限—外侄力灭和越内挤力亮对乓于触虚群位闪移恰所继作头的秃总兵虚昨功劣等渔于讨零变（扔平依衡誓的骂充才要晒条览件跳）粒，榨即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0

（3－15）871.梁况的雄虚宏位撇移柿原隶理第三裁章罩能当量方作法图a所缠示卸的帖位词移洋为耍由恋荷律载缠产帆生浩的促实通际坟位敢移琴，软简毛称际实孔位纺移凉。惨荷毛载喜对生于诊其奇相暮应躬位诱移普上傅所伶作柳的躲功谢为企实押功懂。替图b所剖示碌的蜓位畏移嘉为舟梁撤的虚派位牲移抽，磨它忍是蒙满绵足哲约积束刑条撞件范和捐变梨形郑连恰续缓条洒件牌的漠假五想乱的胡任拦意免微农小乳位涝移激，与面梁远上个的特荷砍载句及侍其攻内稻力见完纪全惕无贯关榜。(a)x实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy8伶8第三隔章圆能纯量方云法梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力本对于梨虚位春移所今作的匠总虚砍功为(a)(a晚)外力劳虚功(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(当b舟)内铺力醒虚葛功取英梁胡的dx微汁段秃进晨行裂分貌析厕。况图c为微帽段的获原始防位置逃，其免上面楚各力牙均由帅荷载灿产生诱，它百们为餐梁的拿内力宰，也暂是微室段的捞外力舌。8钓9由给于录梁为的耐虚扛位他移熟，芦使零微忧段垫位仍移预至挡图d所示位牛置。肾微段膏的虚考位移泰可分欠为两财部分腾：第过三昼章别能镰量勤方鸦法一为丛刚性她体位阴移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy90第俘三录章兔能招量守方午法二为清变形洽虚位妨移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy9撑1(b售)第冲三炎章梯能尾量神方躁法

M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对格于敞变俘形府虚汤位电移碧（耗图e,刚f），所做炭的虚孔功为9迟2(b)式闯为民微辉段革的仆外欺力雕虚落功dWe，设微团段的绣内力均虚功红为dWi。由夫变助形忍固挥体洋的评虚民位沟移匠原稳理(3史-弱1油5)，即

(c)梁左的厘内幼力贿虚谢功北为

(d)将(a)魂,(前d)式代惨入（3－15）式，碑得梁糖的虚渴位优移侧原脉理袜表怀达盒式为第三缴章海能霉量方猫法得即(3-16)9捏3组合垂变形虽时，货杆横级截面涂上的键内力煤一般挎有弯秋矩M，宿剪抄力FS，佣轴岩力FN及秒扭吗矩T。与轴驾力相从应的写虚变筛形位蚀移为望沿轴至力方伴向的手线位跳移dd，与启扭气矩捉相毙应断的红虚筝变悼形血位俭移哈为欠扭姜转掉角dj。仿区照梁双的虚辉位移袭原理避，可陪得组房诚合变渗形时级的虚监位移详原理护表达谋式为(3-17)第三许章挑能他量方吃法2.组现合超变菌形随的枪虚线位正移梳原猛理由哄于惕以草上志分骡析委中箩没再有势涉枯及偏材界料里的养物游理售性完质日，串所赔以(3替-壤1召7)式适依用于视弹性膀体和腥非弹挠性体蝇问题梁。式纯中Fi为崭广价义撒力储，M渠,抢FS,震FN,胜T是肃由郑荷售载搬产趣生登的草内循力洲，勾为中广缠义台虚扬位蹈移档，dq,dl,dd,为微秘段的茶变形迅虚位周移。9溉4Ⅱ.单牧位犁力尿法(1)因为盼由荷驼载引尾起的喊位移壁，满笋足约湾束条司件和恩变形倘连续森条件果，且美为微躺小位张移，愿满足执可变贺形固躬体的揪虚位百移条名件。控因此隐，可松以把礼由荷讨载引膜起的令实际郊位移D，作磨为虚菊位移浇。由统荷载匹引起促的微桂段的疗变形寸位移dq,dl,dd,dj作为崭变形询虚位并移。筛即以实辽际位鄙移作驱为虚市位移首。(2)

若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为。第三蒸章书能动量方州法9表5（3）单居位奥力俯所撞做哄的横外该力疮虚匹功赚为We=1·D单奴位险力旦法匹的匆虚疼位奶移卡原嗓理默表莲达额式绍为(3-18)该式朽同样邻适用星于弹写性体蒸和非柿弹性狱体问昆题。第错三钻章箱能俘量盾方寄法杆件由的内蜂力虚慢功为96(3-19)于煌是(3-天18)成狐为(3-20)式中为由单位力引起的内力，为荷载引起的内力。为大于1的系数，见例3－20。第豆三兵章彼能蓬量伐方露法(4别)线弹馅性体由绵荷妥载