平稳时间序列模型及其特征

平稳时间序列模型及其特征第1页，课件共45页，创作于2023年2月2第一节模型类型及其表示

一、预备知识第2页，课件共45页，创作于2023年2月3一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)

阶差p分

步差k分对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分▽2xt=▽xt-▽xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分第3页，课件共45页，创作于2023年2月42.滞后算子滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻

记B为滞后算子，有

第4页，课件共45页，创作于2023年2月5

，其中

第5页，课件共45页，创作于2023年2月6线性差分方程齐次线性差分方程第6页，课件共45页，创作于2023年2月7

特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合第7页，课件共45页，创作于2023年2月8第8页，课件共45页，创作于2023年2月9AR（p）模型：MA（q）模型：ARMA（p，q）模型：第9页，课件共45页，创作于2023年2月10二、自回归模型一阶自回归模型AR（1）

第10页，课件共45页，创作于2023年2月11第11页，课件共45页，创作于2023年2月12

AR（1）模型的特例——随机游动

第12页，课件共45页，创作于2023年2月13随机游动模型有以下特征：1）模型有非常强的一期记忆性。2）系统的一步超前预测。3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成，可以看出噪声对yt的影响并不随着时间的推移而减弱。第13页，课件共45页，创作于2023年2月14

一般自回归模型模型的特点有：第14页，课件共45页，创作于2023年2月15三、移动平均模型一阶滑动平均模型MA（1）用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅取决于上期系统的随机扰动项。

第15页，课件共45页，创作于2023年2月16q阶滑动平均模型MA（q）

有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q）模型是平稳的。如果对该模型作向前一步预测，则有第16页，课件共45页，创作于2023年2月17四、自回归移动平均模型第17页，课件共45页，创作于2023年2月18第18页，课件共45页，创作于2023年2月19当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。第19页，课件共45页，创作于2023年2月20第二节格林函数和平稳性一、ARMA（p，q）的格林函数（一）ARMA（p，0）系统的格林函数

若一个系统被表示为yt=，则系数函数称为格林函数或记忆函数。

第20页，课件共45页，创作于2023年2月21

MA（q）过程格林函数为

AR(P)AR（P）过程格林函数为第21页，课件共45页，创作于2023年2月22ARMA（p，q）的格林函数第22页，课件共45页，创作于2023年2月23例2求模型的格林函数对比等式左右两边有因此模型的格林函数

第23页，课件共45页，创作于2023年2月24第24页，课件共45页，创作于2023年2月25二、系统的平稳性（一）AR(p)系统的平稳性条件平稳域：第25页，课件共45页，创作于2023年2月26例3求一阶自回归模型的平稳域解：即平稳域为：

第26页，课件共45页，创作于2023年2月27例4求二阶自回归模型的平稳域解：特征方程需满足：即：第27页，课件共45页，创作于2023年2月28

(二)ARMA(p,q)系统的平稳性条件ARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平稳的，则ARMA模型是平稳的。第28页，课件共45页，创作于2023年2月29第三节逆函数和可逆性一、MA（q）模型的可逆域逆函数形式:I（B）称为逆函数第29页，课件共45页，创作于2023年2月30第30页，课件共45页，创作于2023年2月31例5判断MA（2）模型是否可逆解：特征方程，可逆域为：满足可逆条件，因此可逆。第31页，课件共45页，创作于2023年2月32二、MA（q）模型的逆函数第32页，课件共45页，创作于2023年2月33例6求模型的逆函数解：第33页，课件共45页，创作于2023年2月34三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数第34页，课件共45页，创作于2023年2月35第四节平稳时间序列的统计特征一、自相关函数第35页，课件共45页，创作于2023年2月36第36页，课件共45页，创作于2023年2月37第37页，课件共45页，创作于2023年2月38第38页，课件共45页，创作于2023年2月39（二）MA（q）的自相关函数第39页，课件共45页，创作于2023年2月40第40页，课件共45页，创作于2023年2月41二、偏相关函数

第41页，课件共45页，创作于2023年2月42第42页，课件共45页，创作于2023年2月43Yule-Wolker方程：第43页，课件共45页，创作于2023年2月44偏相关函数：第44页，课件共45页，创作于2023年2月45本章小结1．AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参数刻画系统的动态性。这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型的统计特性具有重要意义。2．AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来表示有限阶的AR模型，格林函数就是无限阶MA模型的系数。AR模型平稳性条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域。3．将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式。MA模型具有可逆性的条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内。MA模型的格林函数与AR模型的格林函数在形式上是一致的。