线性代数主要内容与方法

工程数学主要内容与方法问答题集锦

辽宁工学院应用数学教研室编

二〇〇五年四月

—I—

（包括线性代数、概率论与数理统计）总结编写了这本，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。（第四概率论与数理统计部分是按照浙江大学盛骤等编写的（第三版）的章节顺序编写。加之编写时间仓促，书中不妥和疏漏之处在所难免，敬请读年4月于辽宁工学院《工程数学主要《概

前（包括线性代数、概率论与数理统计）总结编写了这本，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。（第四概率论与数理统计部分是按照浙江大学盛骤等编写的（第三版）的章节顺序编写。加之编写时间仓促，书中不妥和疏漏之处在所难免，敬请读年4月于辽宁工学院《工程数学主要《概

为帮助学生更好地掌握《工程数学》

的主要内容与方法，根据我们多年的教学经验，

内容与方法问答题集锦》

本书线性代数部分是按照同济大学应用数学系编写的《线性代数》

版）的章节顺序编写；

率论与数理统计》

编者按篇章次序分别为：

线性代数部分，第一、二章由阚永志编写，第三、四章由王贺元编写，第

五章由石月岩编写；

概率论与数理统计部分，第一章由朱振广编写，第二、三章由徐洪香编写，

第四、五章由刘秀娟编写，第六、七、八章由徐美进编写；全书由石月岩统稿，

佟绍成教授主审。

在本书的编写中得到辽宁工学院数理科学系的领导和老师的大力支持与帮

助，在此表示衷心的感谢。

限于编者水平，

者批评指正。

编者

2005

—II—

A的高次幂有哪些常用的方法？（4）A是可逆矩阵的特征刻画有哪些？（7）

目录A的高次幂有哪些常用的方法？（4）A是可逆矩阵的特征刻画有哪些？（7）

线性代数部分

Ⅰ．线性代数的研究对象是什么？（1）Ⅱ．线性代数的主要内容有哪些？（1）第一行列式（1）1．余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？（1）2．行列式有哪些性质？（1）3．对角线法则对四阶以上的行列式是否成立？（1）4．计算行列式通常采用的方法是什么？（2）5．克莱姆法则的适用条件是什么？（2）第二章矩阵及其运算（2）1．为什么要学习矩阵？（2）2．什么是矩阵的代数运算？什么是矩阵的运算系统？（2）3．为什么矩阵乘法不满足交换律？（3）4．矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？（3）5．矩阵与行列式有什么区别与联系？（3）6．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？（4）7．什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？（4）8．求方阵9．怎样解矩阵方程？（5）10．什么是分块矩阵，为什么要对矩阵进行分块？（5）第三章矩阵的初等变换与线性方程组（5）1．一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？（5）2．在求解有关矩阵的问题时，何时只须化为阶梯形，何时宜化为行最简形？或者，它们在功能上有什么不同？（6）3．矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？（6）4．初等变换有哪些应用？（7）5．求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？（7）6．n阶矩阵7．用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？（8）

—III—

0的通解结构是什么？（13）b的通解结构是什么？（14）A的特征值与特征向量？A可相似对角化的充分必要条件是什么？A是否可对角化的基本方法有哪些？A可对角化,0的通解结构是什么？（13）b的通解结构是什么？（14）A的特征值与特征向量？A可相似对角化的充分必要条件是什么？A是否可对角化的基本方法有哪些？A可对角化,P,

（17）什么？（8）9．在求解线性方程组的通解时，常与教材中给出的答案不一致，这是否可以？（8）第四向量组的线性相关性（9）1．线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？（9）2．对于向量组的线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？（9）3．两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？（10）4．矩阵的初等行（列）变换有哪些？它有什么重要应用？（10）5．向量组的最大无关组有什么重要意义？（10）6．求向量组的最大无关组有哪些方法？（11）7．证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？（11）8．求矩阵的秩有几种方法？（11）9．矩阵的秩有哪些重要性质？（12）10．矩阵的秩有哪些主要应用？（12）11．如何求齐次线性方程组的基础解系？（12）12．齐次线性方程组Ax13．非齐次线性方程组Ax第五章相似矩阵及二次型（15）1．向量正交变换的几何意义是什么？（15）2．矩阵的特征值有哪些主要性质？（15）3．如何求方阵（15）4．相似矩阵有哪些主要性质？（15）5．n阶矩阵（16）6．判断矩阵（16）7．方阵可相似对角化有什么意义？（16）8．实对称矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？（16）9．已知n阶方阵如何求可逆矩阵P1APdiag(,?10．实对称矩阵正交相似对角化的步骤是什么？（17）11．化实二次型fxTAx为标准形的常用方法有哪些？（17）12．用正交变换化二次型fxTAx为标准形的主要步骤是什么？（17）13．如何判别二次型fxTAx的正定性？（18）

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概率论与数理统计部分

Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？（19）Ⅱ．概率论与数理统计研究的主要内容是什么？（19）Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？（19）第一概率论的基本概念（19）1．随机事件的本质是什么？（19）2．为什么把随机事件定义成样本空间的子集？（19）3．事件之间有几种关系？（19）4．事件间有几种运算？（19）5．概率是什么？（20）6．概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？（20）7．随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？（20）8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？（21）9．计算概率的常用公式有哪些？（21）10．什么是n重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？（22）11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？（22）12．对立事件与互斥事件有何联系与区别？（23）13．在实际应用中，如何判断两事件的独立性？（23）14．两事件AB相互独立与AB互不相容（互斥）这两个概念有何关系？（23）15．概率为0的事件与“不可能事件”有何区别？有何关系？（24）16．什么是“1概事件”？“1概事件”与“必然事件”的关系如何？（24）17．什么是“实际推断原理”？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？（24）第二章随机变量及其分布（24）1．为什么要引入随机变量？（24）2．引入随机变量的分布函数有哪些作用？（25）3．概率密度函数有哪些性质？（25）4．对于概率密度f(x)的不连续点，如何从分布函数F(x)求得f(x)？（25）5．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？（26）6．常见随机变量的概率分布有哪些？（26）第三章多维随机变量及其分布（28）1．如何判定一个二元函数是某个随机变量(XY)的概率密度？（28）

2．边缘分布与联合分布的关系如何？（28）

—V—

X

3．由相互独立的随机变量构成的多维随机变量，它们的联合分布与边缘分布有何X关系？（28）4．如何由联合分布确定两个边缘分布？（29）5．怎样判别随机变量与Y相互独立？（29）6．相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？（29）第四随机变量的数字特征（30）1．随机变量的数字特征有哪些？（30）2．随机变量的分布与数字特征有何关系？（30）3．随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？（30）4．数学期望有哪些性质？（30）5．方差有哪些性质？（31）6．常用分布的期望、方差是什么？（31）7．相关系数反映随机变量和Y的什么特性？（31）8．独立性与不相关有何关系？（32）第五章大数定律及中心极限定理（32）1．大数定律说明什么问题？（32）2．中心极限定理的意义是什么？（32）第六章样本及抽样分布（33）1．什么是统计量？为什么要引进统计量？（33）2．常用的统计量有哪些？（33）3．正态总体的某些常用抽样分布有哪些？（33）4．2分布、t分布、F分布及正态分布之间有哪些常见的关系？（34）第七章参数估计（34）1．常用的点估计方法有哪几种？（34）2．矩估计法的步骤是什么？（35）3．极大似然估计法的步骤是什么？（35）4．未知参数的点估计和区间估计有何异同？（35）5．用矩估计法和极大似然估计法所得的估计是否是一样的？（35）6．评价估计量好坏的常用标准是什么？（36）第八章假设检验（36）1．假设检验的依据是什么？（36）2．假设检验可能产生的两类错误是什么？（36）3．假设检验的一般步骤是什么？（36）

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行列式Ddet(a)中，元素ajij行列式Ddet(a)中，元素ajijij1ij仅与位置(i,有关，而与元素a.因此，当i为偶数时，A；当i为奇数时，A①行列式与它的转置行列式相等。②互换行列式的两行（列），行列式变号。如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。③行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者，④行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于零。⑤若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可拆成两个行列式的和，⑥把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上⑦行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。ij问答题集锦（部分内容）

Ⅰ．线性代数研究的对象是什么？答：线性代数是数学的一门重要课程，它主要讨论矩阵理论，并以矩阵理论为工具研究有限维向量空间和线性变换理论。Ⅱ．线性代数的主要内容有哪些？答：主要内容包括：行列式，矩阵及其运算，矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性，相似矩阵及二次型，*线性空间与线性变换。

第一章

1．余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？答：在n阶行列式的余子式是把D中第i行和第列划去后留下来的n阶行列式，实质上它还是表示一个数，并且元素a的余子式MAj)A(1)ijMjMjMijij2．行列式有哪些性质？答：行列式的性质有：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式记号的外面。这两个行列式分别以这两组数作为行（列），其余各行（列）与原行列式相同。去，行列式不变。4．计算行列式通常采用的方法是什么？

—VII—

①对于二阶与三阶行列式可以用对角线法则；②对于特殊的行列式可采用行列式的定义去求；③利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式去计算；④利用行列式按行（列）展开法则计算行列式；①对于二阶与三阶行列式可以用对角线法则；②对于特殊的行列式可采用行列式的定义去求；③利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式去计算；④利用行列式按行（列）展开法则计算行列式；⑤利用数学归纳法计算n阶行列式；⑥利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；⑦利用升阶法（或加边法）计算行列式。矩阵及其运算A（左矩阵）的列数与第二个矩阵BABBABA.但是对于同阶方阵，是一定成立的，这是因为又对于数的运算，交换律成立，即AB||BA|.BABEBAEAA1BA）的行列式是否不为零，若|A|0，则A为可逆矩阵。A的伴随矩阵AAA|A|E0，则A可逆。**

第二章

1．为什么要学习矩阵？答：矩阵是线性代数最重要的概念之一，由于对矩阵可以进行运算和变换，所以它成为线性代数的有力工具，是线性代数全部内容的纽带和桥梁。它在数学与其他自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。例如，一般线性方程组有解的充要条件和作为解线性方程组基础的克莱姆定理都可以用矩阵运算导出；二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究；由于线性变换与矩阵存在一一对应关系，从而可以利用矩阵来研究线性变换；向量组的线性相关性讨论也可以利用矩阵来研究。3．为什么矩阵乘法不满足交换律？答：因为按照矩阵乘法的规定，只有当第一个矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵相乘才有意义。否则无意义。另一方面，即使与都有意义，AB与仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律。即在一般情况下，ABBAA,B|AB||BA||AB||A||B|,|BA||B||A|.|A||B||B||A|，

故|

6．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？答：判断矩阵可逆的常用方法有（1）若有方阵，使或，则可逆，且.（2）计算方阵（如（3）若可逆，或

（4）以后还会学到如下判别方法：

—VIII—

A的秩R()n，则A可逆。同理，若A~EA可逆。②若方程组

③A的秩R()n，则A可逆。同理，若A~EA可逆。②若方程组

③若n阶矩阵④若n阶矩阵⑤若方阵，则A的行列式|A|AAA(a)nnA11AAn

的主要性质有：AA*A*A|A|E

A|0，则AA*A|A|A1.

A|0，|B|0，则(A*)1(A1)*A，(A)*BA*.

(AT)*(A*)T.(A*)|A|A.(k)*kA*A的高次幂有哪些常用的方法？A的高次幂的常用方法有ABCBCCB

kAT1Ak(T)k1T(T)A.PAnxb有唯一解或Anx0只有零解，则A可逆。A的行（列）向量组线性无关，或为Ax0的基础解系，则A可逆。A的行向量组或列向量组两两正交，则A可逆。A的特征值全不为0A可逆。*

AAn2A1AAnnn2n

1*

1|A|

*n2

n1.

k121

1|A|

*1222.

7．什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？答：方阵的各列（行）的各个元素的代数余子式写在同序数的行（列）上所构成的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵。记为.即若

A

A*①；

②若|，

③若|

④⑤⑥.

8．求方阵答：求方阵①利用数学归纳法（找“规律”法）；②“二项展开式”法：分解，且，利用二项展开公式Ak(BC)BkC1Bk1CCkk③当时，其中,均为n矩阵，利用矩阵乘法的结合律

④“方阵的对角化”法：利用相似对角化，即求可逆矩阵，使得

—IX—

1ABA1③利用分块对角矩阵求逆矩阵。即A1s④利用初等行变换求逆矩阵，即AE)初等行变换(AxBR(AR(BR()A化成行最简形。EBA11AEA1).b，将增广矩阵B)R(B)BAxn（或A*As11(A,b)用初等行变换化为行阶)，则进一步把化成行最简形。而对于齐次线性方程组2EA11|A|A121ABA1③利用分块对角矩阵求逆矩阵。即A1s④利用初等行变换求逆矩阵，即AE)初等行变换(AxBR(AR(BR()A化成行最简形。EBA11AEA1).b，将增广矩阵B)R(B)BAxn（或A*As11(A,b)用初等行变换化为行阶)，则进一步把化成行最简形。而对于齐次线性方程组2EA11|A|A12)0，k1），则.1

A1s2R(B)，则方程组无解。，则BAk.PkA1

A2221A1P1.；.其中A(ii1,2,,s)均可逆。

PAPn②可将大矩阵的运算化为小矩阵的运算，从而使运算条理化；③可为某些命题的证明提供方法。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

4．初等变换有哪些应用？答：①求矩阵的秩；②求逆矩阵；③解线性方程组。5．求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？答：求一个可逆矩阵的逆矩阵的常用方法有①利用定义求逆矩阵，即若

②利用伴随矩阵求逆矩阵，即

As

A

(

这是求逆矩阵最常用的方法。7．用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？答：①对于非齐次线性方程组梯形；从的行阶梯形可同时看出和.若R(A②若

则把系数矩阵

—X—

R()R(B)rrr只能用初等行变换对增广矩阵（或系数矩阵）进行化简，如果用初等列变换化简，向量组的线性相关性①求逆矩阵；R()R(B)rrr只能用初等行变换对增广矩阵（或系数矩阵）进行化简，如果用初等列变换化简，向量组的线性相关性①求逆矩阵；②化矩阵为行阶梯形、行最简形；③求矩阵的秩；④解线性方程组。AA的一个最大无关组，那么A①②组与③在所有与组所含向量个数最少。AA组是最佳不过了。特别，当A组为无限向量组时，就能用有0②初等行变换法，即以所给向量组为列向量构成矩阵B（或A）A0A，且所含向量个数rRn；AARrAAA组等价的向量组中，A0A，对矩阵A进行初等行变换，00

0

0

自由未知数，其余n个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于，由的行最简形，即可写出含n个参数的通解。注则不能保证变换前后的两个方程组同解。

第四章

4．矩阵的初等行（列）变换有哪些，它有什么重要应用？答：矩阵的初等行（列）变换有①对调两行（列）；②用非零数乘矩阵的某一行（列）的所有元素；③把某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上去。矩阵的初等行（列）变换可用于：5．向量组的最大无关组有什么重要意义？答：设是n维向量组与生俱来的良好性质是：；这样用组来“代表”

限向量组来“代表”；凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去。6．求向量组的最大无关组有哪些方法？答：通常有如下方法①根据定义求；直到能看看出变换矩阵中列向量组的一个最大无关组为止。此最大无关组所对应的原向量组

—XI—

③最高阶非零子式法以所给向量组为列向量构成矩阵A，若，则D③最高阶非零子式法以所给向量组为列向量构成矩阵A，若，则D所在的r列（行）即为①定义线性相关可以找到不全为0的数k

s

,...,2

x

m③矩阵秩法向量组线性无（相）关,,...,,,...,1212m,,...,(m2)线性相关,,...,12m121向量线性表示。线性无关⑥反证法不线性无关0R(A)min{mn}；mnR(AT)R(A)A~BR()R(B)

④A的最高阶非零子式为

r,,...,k,...,k1212k0.,...,

1

,...,R(,...,)m()212m

,,...,,,...,1212mPQR(PA)R(A)否则,

x2

D

7．证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？答：以下均是判别线性相关的充要条件ii2i1②齐次线性方程组法向量组线性相（无）关x

,,...0有非零解（只有零解）.12.④最大无关组法的最大无关组为其自身.⑤表出法

其余m,,...,,...,1212

8．求矩阵的秩有几种方法？答：求矩阵的秩有以下几种方法①定义法：求矩阵非零子式的最高阶数就得到矩阵的秩。②初等行变换法：利用初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数即为该矩阵的秩。③利用矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩。9．矩阵的秩有哪些重要性质？答：矩阵秩的重要性质有①②；③若，则；若可逆，则；

—XII—

⑤；特别地，当为列向量b时，有

⑥⑦Amn⑤；特别地，当为列向量b时，有

⑥⑦AmnBO，则R()R(B)n.nl

A)R(A)n1R(A)n1Ax0的通解结构是什么？Ax0解的性质、通解如下,0的解，则2Ax0的解，kRAxAx0一定有零解。因此，在任何情况下Ax0一定有解。R()n（未知量的个数）时，方程组只有零解（或有唯一解）。R()rn时，方程组有无穷解（或有非零解）。此时，方程组有nrr

kk2nr12nrA为方阵时，方程组有非零解的充要条件是|A|0Axb的通解结构是什么？Axb解的性质、通解如下max{R(A)R(B)}R(AB)R(A)R(B)B

R(AB)R(A)R(B)；R(AB)min{R(A)R(B)}；

*0的解。0的解。1122nrnr。nR(A)nR()R(b)R(A)1；⑧若

⑨设是n阶矩阵A的伴随矩阵，则R(A*1,.0,

10．矩阵的秩有哪些主要应用？答：矩阵的秩有以下几个方面的应用①判断方阵是否可逆；②判断向量组的线性相关性；③讨论线性方程组解的情况及解的结构。12．齐次线性方程组答：齐次线性方程组（1）解的性质①如果是也是②如果是，则k也是

根据上述性质及向量空间定义可知，齐次线性方程组的全部解向量集合构成一个向量空间，称之为解空间，基础解系即为解空间的基。（2）解的存在性及通解易知①当②当个自由

未知量，基础解系包含n个解向量，其通解为：xkkk其中k为任意实数，为基础解系。

③特别地，当.

13．非齐次线性方程组答：非齐次线性方程组（1）解的性质

—XIII—

Axb的解，则0的解；11Axb的解，Axb的解，则0的解；11Axb的解，Ax0的解，则是AxAxb不是在任何情况下都有解，方程组有解的充要条件是系数矩R(A)R(B)B(A,b).R(A)R(B)nR()R(B)rn

*12nrkk2nrAA|0.相似矩阵及二次型A的迹tr(

n阶矩阵A的行列式

A的特征值，则k,a

A1AbAxbAxi

m1,aA0的1|A|aAm）.m②如果是是对应的齐次线性方程组

的解。根据以上两个性质可知，非齐次线性方程组全部解的集合不构成一个向量空间，因此，非齐次线性方程组不存在基础解系。（2）解的存在性及通解非齐次线性方程组阵的秩等于增广矩阵的秩，即，

在方程组有解时，称方程组是相容的，否则称为不相容。①当（n为未知量的个数）时，方程组有唯一解，其解可由克莱姆

法则求出。②当时，方程组有无穷多组解。其通解形式为xkkk*.1122nrnr其中是方程组的一个特解，是对应的齐次线性方程组基础解系，k为任意实数。

③当为方阵时，方程组有唯一解的充要条件是|

第五章

2．矩阵的特征值有哪些主要性质？答：矩阵的特征值有以下性质

①矩阵A)nan；

i1i1②|A|ni；

i1③设为方阵b,,,分别为kA,aAbE,Am,AA*的

特征值（其中k,a,b均为常数，mZ）.一般地，若是的特征值，则()是(A)的特征值.（其中()aaamm，(A)a

3．如何求方阵的特征值与特征向量？

—XIV—

A是“数值型”矩阵，即矩阵A(E|0的全部根，即②对于，求齐次线性方程组(AA是“抽象型”矩阵，即矩阵的元素没有具体给出的矩阵。求此类型矩阵①利用定义式②利用特征方程|A可相似对角化的充分必要条件是什么？

答：n阶矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？①判断②③④方阵可对角化的充分必要条件是注一般来说，方法②、④常用，且②中的条件仅仅是充分的。A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得PA是“数值型”矩阵，即矩阵A(E|0的全部根，即②对于，求齐次线性方程组(AA是“抽象型”矩阵，即矩阵的元素没有具体给出的矩阵。求此类型矩阵①利用定义式②利用特征方程|A可相似对角化的充分必要条件是什么？

答：n阶矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？①判断②③④方阵可对角化的充分必要条件是注一般来说，方法②、④常用，且②中的条件仅仅是充分的。A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得PA可对角化时，求可逆矩阵P的具体步骤是①求出②对每个

12③

nA为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵P，使P①求出方阵a中元素aij全为常量的矩阵，A的全部特征值。A的每一个特征值i0)，满足关系式的为的一个E|0求，进而求对应的特征向量。A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。A是否为实对称矩阵，若是则A一定可对角化。A的特征值，若n个特征值互异，则A一定可对角化。A的特征向量,若有n个线性无关的特征向量,则A可对角化,否则不可对角化.AA的每个重特征值对应的线性无关的特征向量1A的全部特征值12

i

112对应的特征值。AP为对角矩阵。并可按A的全部特征值12nnA的特征值，为对应于AP12s)，求齐次方程组(Adiags，其中重数分别为kE)x的一个基础解系，那diag(,,其中n为12E)x的基础解系，得n个线性无12k,？ks；

则求此类型矩阵的特征值、特征向量的基本方法是：①求特征方程|A么该基础解系的所有非零线性组合就是对应于i的全部特征向量。

2）如果方阵的特征值、特征向量的基本方法是：(

特征向量。A

5．n阶矩阵6．判断矩阵答：常有如下四种方法求求的个数等于该特征值的重数。9．已知n阶方阵

答：当n阶方阵s；(i关的特征向量pppn；令P(ppp,则PAPp

10．实对称矩阵正交相似对角化的步骤是什么？答：若P1以下步骤求出正交矩阵

—XV—

②对每一个i，求出齐次方程组(A

③

12令

fxTAxfxTAxfxTAxA.注意对非平方项xA的全部特征值12③②对每一个i，求出齐次方程组(A

③

12令

fxTAxfxTAxfxTAxA.注意对非平方项xA的全部特征值12③，求出n个线性无关的特征向量④

n⑤Py可化为标准形fy2y2y2.fxTAx的正定性？fxTAx正定性的方法通常有A的特征值全大于零；④对称矩阵pnUTU，其中U是可逆矩阵。答：概率论与数理统计研究的对象是随机问题。ikiki

ikikiki

112iij

12

12；

12

1122nnA的各阶顺序主子式全大于零；概率论与数理统计12

12i

i12s)；将ppp(i12s)正交单位化（若k1，则只须单位化）得正

交单位特征向量组pppn；令P(ppp,则PAPdiag,,其中是特征向量p所

对应的特征值。11．化实二次型为标准形的常用方法有哪些？

答：①配方法；②正交变换法。12．用正交变换化二次型为标准形的主要步骤是什么？答：用正交变换化二次型为标准形的主要步骤是①写出二次型f的矩阵的系数应取其一半作为aij；

②求出n；E)x，求出n个线性无关的特征向量n；将n先正交化再单位化，便得到n个两两正交的单位向量p以pppn为列向量构成正交矩阵P(p1p2pn),则二次型fxTAx通过正交变换x13．如何判别二次型答：判别二次型

①用定义；②f的标准形中的n个系数全为正；

③对称矩阵⑤正惯性指标；

⑥A

主要内容与方法问答题集锦

Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？Ⅱ．概率与数理统计研究的主要内容是什么？

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答：概率论与数理统计研究的主要内容是随机变量理论。答：概率论与数理统计的主要任务是从数量侧面研究和揭示随机现象的统计规律性。答：事件之间有四种关系—包含，相等，互斥（或互不相容）和对立（或互为逆事件）.答：事件间有三种运算—和（或并），积（或交），差。12nP({e12nA的发生的概率，须先确定试验的样本空间SA包含的基本事件个数），从而在古典A发生的概率为P(P()

P()AA,,A2PA)1P(A)1B推广①P(A答：概率论与数理统计研究的主要内容是随机变量理论。答：概率论与数理统计的主要任务是从数量侧面研究和揭示随机现象的统计规律性。答：事件之间有四种关系—包含，相等，互斥（或互不相容）和对立（或互为逆事件）.答：事件间有三种运算—和（或并），积（或交），差。12nP({e12nA的发生的概率，须先确定试验的样本空间SA包含的基本事件个数），从而在古典A发生的概率为P(P()

P()AA,,A2PA)1P(A)1B推广①P(AAA).②1ijn1ijkne,e,,e}；})AkA包nS中L()L(S)n(2P(A)B)P(A)P(B)P(AB)P(AAA)P(A)1231

P(AAA)12niP({e})P({e}).)含的基本事件数基本事件的总.数图形A的度量样本空间S的度量是两两互斥的事件，则P(A)n..PA)231223ijijkkn.P(A).(P(A)P(AA)P(AA)1n.3P(A)P(AA)1AAA)23P(Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？

第一章概率论的基本概念

3．事件之间有几种关系？4．事件间有几种运算？8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？答：具有以下两个特点的试验，称为古典概型（或等可能概型）①试验的样本空间S只包含有限个元素，即S②每个基本事件发生的可能性相同，即

若要计算古典概型中事件中基本事件总数n，再计算导致事件A发生的基本事件个数k（即

概型中事件

9．计算概率的常用公式有哪些？答：计算概率的常用公式有

（1）古典概型中事件概率的计算公式

（2）几何概型中事件概率的计算公式

（3）若P(AAA)12n（4）逆事件的概率计算公式（5）加法公式对于任意事件A和，有P(AP(AA)

i1

—XVII—

n1P(B|A))①设②设个事件，nAPA|P(A)P(B)i

P(B|A)iAB)AA,,A2PAPA)1P(k)Cpknn1P(B|A))①设②设个事件，nAPA|P(A)P(B)i

P(B|A)iAB)AA,,A2PAPA)1P(k)Cpknn答:关于全概率公式应注意以下几点

①全概率公式②全概率公式中体现的思想是分解，即把复杂事件nABkA是结果事件。全概率公式处理的问k|A)，当P(A)|1随机变量及其分布P(A

0A,B,C为事件，且P(A)AA,,A2AA)P(A|AAA).P(A)P(B).n(2nkP(A))(|kA分解成简单事件之和的形式：ABA是复杂事件，主要指求A的概率比较困难；而称AB)k（常用全概率公式计算），B)较易求得时，就要用贝叶斯公式，处理的问题恰好是“由结果追原因的”。AA).PAB)P(A)，则P(AB02，且P(AA3nP(B)P(A|B)ii至少发生一个的概率计算公式)((1p)nk(kk.上面所述是简单事件，P(BPABk()，则P(ABCA0，则2

12n12n1P(A|B)P(A)P(A).0,1,2,,n)nk)(|k1，(PP(A)P(B|A).)P()P(B|)P(C|AB).，(i.P(BPAB)2n()0)1,2,)常常是容易求得的。.,n).形式上是概率加法公式和乘法公式的综合;

（6）条件概率计算公式

（7）乘法公式设P(AP(AAA)P(A)P(A|)(12n121（8）全概率公式

i1（9）贝叶斯（Bayes）公式

（10）若独立，则P(AB（11）相互独立事件P(AAA)112n（12）二项概率公式

11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式?

k1kk1是指的概率容易求，即P(AB

③使用全概率公式的问题，一般都有二个层次：第一个层次是原因事件，第二个层次是结果事件，在全概率公式中，诸B便是原因事件，

题一般都是“由原因索结果”的问题。贝叶斯公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的情况下，求导致结果的某种原因的可能性大小。比如求P(B1P(B)，P(A1明白了这一点使用全概率公式和贝叶斯公式就容易多了。

第二章

—XVIII—

①

②

③对于任意实数

x1④⑤连续型随机变量①

②

③对于任意实数

x1④⑤连续型随机变量取某一数值a的概率为0，即其中性质①与②是概率密度函数的特征性质。若某函数满足这两条特征性质，则答：主要表现在三个方面①正态分布有极其广泛的实际背景。在客观实际中有许多随机变量，它是由大量的相②有些分布（如二项分布）的极限分布是正态分布。③有些分布（如分布、t分布）又可以通过正态分布导出。答：常见的离散型随机变量的概率分布主要有01)分布X

，(k.XA发生的次数，P()p的分布律为

kX~b(n,p).

③泊松分设随机变量的所有可能取值为0,kf(x)0；

xx(xx)，有212

f(x)在点x处连续，则有F(x)f(x)；XP{Xa}0.f(x)2,(k

X

k

12，它的分布律是

，(k.f(x)dx1；

x2答：概率密度函数有以下性质

xXx}F(x)F(x)f(x)dx；1221若f(x)一定是某个连续型随机变量的概率密度。

5．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，如:在任一指定时刻，一个城市的耗油量是大量用户耗油量的总和；一个实验的测量误差是许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们都服从或近似服从正态分布。

所以，无论在实际中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布。6．常见随机变量的概率分布有哪些？①设随机变量只可能取0与1两个值，它的分布律是P{Xk}pk(1p)1k01)(0p1)

②二项分布设表示n重伯努利试验中事件.随机变量XP{Xk}Cpk(1p)nk012n).n记作

P{Xk}012)

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0是常数，记为X~()X~P()）.1时，二项分布以泊松分布为极限分布。常见的连续型随机变量的概率分布主要有①均匀分布随机变0是常数，记为X~()X~P()）.1时，二项分布以泊松分布为极限分布。常见的连续型随机变量的概率分布主要有①均匀分布随机变量概率密度函数为：

b

~U(a,b).其分布函数为

②指数分布随机变量概率密度函数为：

ex0.

x0

F(x)③正态分随机变量具有概率密度：1X~N2).其分布函数为

01时，称XX~N(01).多维随机变量及其分布Y)f(xy)具有以下两条特征性质f(xy)0；1)Xaxb，

x

X1

1exX

(x)222

x2分布；0

ab

x0，(

122其他

x(t)21,xba其中，二项分布是非常重要的一种分布，特别当n时二项分布化成(0

当n1f(x)a

记为X,xaF(x),axb

f(x)0,其分布函数为.0x0

f(x)ex).

记为

F(x)edt，(x).特别，当服从标准正态分布，即

第三章

1．如何判定一个二元函数是某个随机变量(X的概率密度？答：若二元函数①

—XX—

f(x答：二维随机变量(XFX(x)，FYFx)，FY对于离散型随机变量(X，设(X，(i,Y)关于X

对于连续型随机变量(XX答：设x,yP{Xx,Yy}xF(y)，则随机变量X

当(X,是离散型随机变量时，和Y是相互独立的条件可化为：对于(Xy

f(x答：二维随机变量(XFX(x)，FYFx)，FY对于离散型随机变量(X，设(X，(i,Y)关于X

对于连续型随机变量(XX答：设x,yP{Xx,Yy}xF(y)，则随机变量X

当(X,是离散型随机变量时，和Y是相互独立的条件可化为：对于(Xy)，有P{Xx,Yji当(X,，Xx,(x)随机变量的数字特征y)一定是某个二维随机变量(XY)作为一个整体，具有分布函数F(y)，则有(y)F(Y)和关于Y的边缘分布律分别为

i1Y)f(xF(xy)及FX(x)，FYP{X和Y是相互独立的。YXy}jY(x,yfXyf(y).f(xy)dxdy1.Y)的概率密度函数。(xy)，而Xy).Y)12)，pp，设它的概率密度为y)dy，fY(y)分别是二维随机变量(Xx})P{Xx}P{Yy}；ij)和Y都是随机的分布律为，(i，(y)，则(X(y)f(xY)P{YY))12).jY)X的分布函数及边缘分布y}，即F(xy)的所

(x)，fY(y)分别(XY)12).关于，关于Y的概率密度y)dx.则二元函数

3．如何由联合分布确定两个边缘分布？变量，设它们的分布函数分别为F(x)(,XP{XxYy}pij则(XP{Xx}piij

Yy}pjijj1

的边缘概率密度分别为f(x)f(xX5．怎样判别随机变量与Y相互独立？函数，若对于所有的有F()XY有可能取的值(xi

，和边缘概率密度，则和Y是相互独立的条件可化为：对一切的，总有f(xy)fXY第四章

1．随机变量的数字特征有哪些？答：随机变量数字特征有：数学期望、方差、矩、协方差、相关系数。2．随机变量的分布与数字特征有何关系？

—XXI—

①设C是常数，则有XEX,X2④设①设C是常数，则有XDXD(Y)X,XX,,X2④(0~b(np)：E(X~()：E(X~),~E((CX)YEX,iiii1i1X,X2D(Y2E{[XE(X)][YYD是个相互独立的随机变量，iiii1i①设C是常数，则有XEX,X2④设①设C是常数，则有XDXD(Y)X,XX,,X2④(0~b(np)：E(X~()：E