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文档简介
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.设直线l与平面平行,直线m在平面上,那么()A.直线l不平行于直线m B.直线l与直线m异面C.直线l与直线m没有公共点 D.直线l与直线m不垂直2.集合,则()A. B. C. D.3.已知函数,在中,内角的对边分别是,内角满足,若,则的周长的取值范围为()A. B. C. D.4.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则该人第五天走的路程为()A.48里 B.24里 C.12里 D.6里5.已知是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为()A. B.3 C.6 D.6.已知是平面内两个互相垂直的向量,且,若向量满足,则的最大值是()A.1 B. C.3 D.7.设和分别表示函数的最大值和最小值,则等于()A. B. C. D.8.若直线与直线互相平行,则的值等于()A.0或或3 B.0或3 C.0或 D.或39.读下面的程序框图,若输入的值为-5,则输出的结果是()A.-1 B.0 C.1 D.210.函数的图像大致为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.在中,内角的对边分别为,若的周长为,面积为,,则__________.12.设是等差数列的前项和,若,,则公差(___).13.若直线y=x+m与曲线x=恰有一个公共点,则实数m的取值范围是______.14.已知数列{}满足,若数列{}单调递增,数列{}单调递减,数列{}的通项公式为____.15.若过点作圆的切线,则直线的方程为_______________.16.函数的最小正周期是__________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数的最小正周期为,且直线是其图象的一条对称轴.(1)求函数的解析式;(2)在中,角、、所对的边分别为、、,且,,若角满足,求的取值范围;(3)将函数的图象向右平移个单位,再将所得的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作,已知常数,,且函数在内恰有个零点,求常数与的值.18.已知数列{bn}的前n项和,n∈N*.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)记,求数列{cn}的前n项和Sn;(3)在(2)的条件下,记,若对任意正整数n,不等式恒成立,求整数m的最大值.19.已知函数.(1)若函数的周期,且满足,求及的递增区间;(2)若,在上的最小值为,求的最小值.20.已知的三个内角,,的对边分别为,,,且满足.(1)求角的大小;(2)若,,,求的长21.已知关于直线对称,且圆心在轴上.(1)求的标准方程;(2)已知动点在直线上,过点引的两条切线、,切点分别为.①记四边形的面积为,求的最小值;②证明直线恒过定点.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】
由题设条件,得到直线与直线异面或平行,进而得到答案.【详解】由题意,因为直线与平面平行,直线在平面上,所以直线与直线异面或平行,即直线与直线没有公共点,故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线只见那的位置关系的判定及应用,以及直线与平面平行的应用,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2、C【解析】
先求解不等式化简集合A和B,再根据集合的交集运算求得结果即可.【详解】因为集合,集合或,所以.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查一元二次不等式,分式不等式的解法和集合的交集运算,注意认真计算,仔细检查,属基础题.3、B【解析】
首先根据降幂公式以及辅助角公式化简,把带入利用余弦定理以及基本不等式即可.【详解】由题意得,为三角形内角所以,所以,因为,所以,,当且仅当时取等号,因为,所以,所以选择B【点睛】本题主要考查了三角函数的化简,以及余弦定理和基本不等式.在化简的过程中常用到的公式有辅助角、二倍角、两角和与差的正弦、余弦等.属于中等题.4、C【解析】
根据等比数列前项和公式列方程,求得首项的值,进而求得的值.【详解】设第一天走,公比,所以,解得,所以.故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算,考查等比数列的通项公式,考查中国古典数学文化,属于基础题.5、C【解析】
利用椭圆和双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示,再利用均值不等式得到答案.【详解】设椭圆长轴,双曲线实轴,由题意可知:,又,,两式相减,可得:,,.,,当且仅当时等立,的最小值为6,故选:C.【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键,意在考查学生的计算能力.6、D【解析】
设出平面向量的夹角,求出的夹角,最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式,最后利用辅助角公式求出的最大值.【详解】设平面向量的夹角为,因为是平面内两个互相垂直的向量,所以平面向量的夹角为,因为是平面内两个互相垂直的向量,所以.,,,其中,显然当时,有最大值,即.故选:D【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算,属于中档题.7、C【解析】
根据余弦函数的值域,确定出的最大值和最小值,即可计算出的值.【详解】因为的值域为,所以的最大值,所以的最小值,所以.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数的最值问题,难度较易.求解形如的函数的值域,注意借助余弦函数的有界性进行分析.8、D【解析】
根据直线的平行关系,列方程解参数即可.【详解】由题:直线与直线互相平行,所以,,解得:或.经检验,当或时,两条直线均平行.故选:D【点睛】此题考查根据直线平行关系求解参数的取值,需要熟记公式,注意考虑直线重合的情况.9、A【解析】
直接模拟程序框图运行,即可得出结论.【详解】模拟程序框图的运行过程如下:输入,进入判断结构,则,,输出,故选:A.【点睛】本题主要考查程序框图,一般求输出结果时,常模拟程序运行,列表求解.10、A【解析】
先判断函数为偶函数排除;再根据当时,,排除得到答案.【详解】,偶函数,排除;当时,,排除故选:【点睛】本题考查了函数图像的识别,通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、3【解析】
分析:由题可知,中已知,面积公式选用,得,又利用余弦定理,即可求出的值.详解:,,由余弦定理,得又,,解得.故答案为3.点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:求结果.12、【解析】
根据两个和的关系得到公差条件,解得结果.【详解】由题意可知,,即,又,两式相减得,.【点睛】本题考查等差数列和项的性质,考查基本分析求解能力,属基础题.13、{m|-1<m≤1或m=-}【解析】
由x=,化简得x2+y2=1,注意到x≥0,所以这个曲线应该是半径为1,圆心是(0,0)的半圆,且其图象只在一、四象限.画出图象,这样因为直线与其只有一个交点,由此能求出实数m的取值范围.【详解】由x=,化简得x2+y2=1,注意到x≥0,所以这个曲线应该是半径为1,圆心是(0,0)的半圆,且其图象只在一、四象限.画出图象,这样因为直线与其只有一个交点,从图上看出其三个极端情况分别是:①直线在第四象限与曲线相切,②交曲线于(0,﹣1)和另一个点,③与曲线交于点(0,1).直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣,当直线y=x+m经过点(0,1)时,m=1.当直线y=x+m经过点(0,﹣1)时,m=﹣1,所以此时﹣1<m≤1.综上满足只有一个公共点的实数m的取值范围是:﹣1<m≤1或m=﹣.故答案为:{m|-1<m≤1或m=-}.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.14、【解析】
分别求出{}、{}的通项公式,再统一形式即可得解。【详解】解:根据题意,又单调递减,{}单调递减增…①…②①+②,得,故代入,有成立,又…③…④③+④,得,故代入,成立。,综上,【点睛】本题考查了等比数列性质的灵活运用,考查了分类思想和运算能力,属于难题。15、或【解析】
讨论斜率不存在时是否有切线,当斜率存在时,运用点到直线距离等于半径求出斜率【详解】圆即①当斜率不存在时,为圆的切线②当斜率存在时,设切线方程为即,解得此时切线方程为,即综上所述,则直线的方程为或【点睛】本题主要考查了过圆外一点求切线方程,在求解过程中先讨论斜率不存在的情况,然后讨论斜率存在的情况,利用点到直线距离公式求出结果,较为基础。16、;【解析】
利用余弦函数的最小正周期公式即可求解.【详解】因为函数,所以,故答案为:【点睛】本题考查了含余弦函数的最小正周期,需熟记求最小正周期的公式,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2);(3),.【解析】
(1)由函数的周期公式可求出的值,求出函数的对称轴方程,结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值,于此得出函数的解析式;(2)由得出,再由结合锐角三角函数得出,利用正弦定理以及内角和定理得出,由条件得出,于此可计算出的取值范围;(3)令,得,换元得出,得出方程,设该方程的两根为、,由韦达定理得出,分(ii)、;(ii),;(iii),三种情况讨论,计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数,结合已知条件得出与的值.【详解】(1)由三角函数的周期公式可得,,令,得,由于直线为函数的一条对称轴,所以,,得,由于,,则,因此,;(2),由三角形的内角和定理得,.,且,,.,由,得,由锐角三角函数的定义得,,由正弦定理得,,,,且,,,.,因此,的取值范围是;(3)将函数的图象向右平移个单位,得到函数,再将所得的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为,,令,可得,令,得,,则关于的二次方程必有两不等实根、,则,则、异号,(i)当且时,则方程和在区间均有偶数个根,从而方程在也有偶数个根,不合乎题意;(ii)当,则,当时,只有一根,有两根,所以,关于的方程在上有三个根,由于,则方程在上有个根,由于方程在区间上只有一个根,在区间上无实解,方程在区间上无实数解,在区间上有两个根,因此,关于的方程在区间上有个根,在区间上有个根,不合乎题意;(iii)当时,则,当时,只有一根,有两根,所以,关于的方程在上有三个根,由于,则方程在上有个根,由于方程在区间上无实数根,在区间上只有一个实数根,方程在区间上有两个实数解,在区间上无实数解,因此,关于的方程在区间上有个根,在区间上有个根,此时,,得.综上所述:,.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式,以及三角形中的取值范围问题,以及三角函数零点个数问题,同时也涉及了复合函数方程解的个数问题,考查分类讨论思想的应用,综合性较强,属于难题.18、(1)bn=3n﹣2,n∈N*.(2);(3)最大值为1.【解析】
(1)利用,求得数列的通项公式.(2)利用裂项求和法求得数列的前项和.(3)由(2)求得的表达式,记不等式左边为,利用差比较法判断出的单调性,进而求得的最小值,由此列不等式求得的取值范围,进而求得整数的最大值.【详解】(1)∵数列{bn}的前n项和,n∈N*.∴①当n=1时,b1=T1=1;②当n≥2时,bn=Tn﹣Tn﹣1=3n﹣2;∴bn=3n﹣2,n∈N*.(2)由(1)可得:;∴Sn=c1+c2+…+cn,,,;(3)由(2)可知:n;∴;设f(n);则f(n+1)﹣f(n)=()﹣()0;所以f(n+1)>f(n),故f(n)的最小值为f(1);∵对任意正整数n,不等式恒成立,∴恒成立,即m<12;故整数m的最大值为1.【点睛】本小题主要考查已知求,考查裂项求和法,考查数列单调性的判断方法,考查不等式恒成立问题的求解,属于中档题.19、(1),;(2)2.【解析】
(1)由函数的性质知,关于直线对称,又函数的周期,两个条件两个未知数,列两个方程,所以可以求出,进而得到的解析式,求出的递增区间;(2)求出的所有解,再解不等式,即可求出的最小值.【详解】(1),由知,∴对称轴∴,又,,由,得,函数递增区间为;(2)由于,在上的最小值为,所以,即,所以,所以.【点睛】本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法,特别注意用代入法求单调区间时,要考虑复合函数的单调性,以免求错.20、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理化简已知可得:
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