全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: 全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念ﻭ能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△AＢC与△DＥＦ全等，记作△ABC≌△DEＦ,其中点Ａ和点D,点B和点E，点Ｃ和点Ｆ是对应顶点;ＡB和DE，BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D，∠Ｂ和∠E,∠C和∠Ｆ是对应角.要点三、全等三角形的性质ﻭ全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定(SSS、ＳＡS、ASA、AAS、ＨL)全等三角形判定一(ＳSS，ＳAＳ)全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“ＳＳS”).要点诠释：如图,如果=AB，=ＡＣ,＝BＣ，则△ABＣ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”１.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“ＳAS”）.要点诠释：如图，如果ＡＢ=，∠A=∠,ＡＣ=,则△ABC≌△．注意：这里的角,指的是两组对应边的夹角.2．有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等．如图,△ABＣ与△ABD中，AＢ＝AＢ,AC＝AD,∠B=∠B,但△ABC与△ＡBＤ不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”１、已知：如图，△RＰQ中,RP=RQ,M为PQ的中点．求证:RM平分∠PRQ.证明:∵M为PQ的中点(已知),∴PM＝QM在△RPM和△RQＭ中,∴△RＰＭ≌△ＲQＭ(SSS）.∴∠PＲＭ＝∠QＲＭ(全等三角形对应角相等).即RＭ平分∠PRQ.举一反三：【变式】已知:如图,AD＝ＢＣ，AC＝ＢD.试证明：∠CＡＤ＝∠ＤＢＣ.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”ﻭ2、已知:如图,ＡB＝AＤ,AC＝AE，∠１＝∠2．求证:BC＝DE.证明:∵∠１＝∠2∴∠１+∠CＡＤ＝∠2+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△AＤＥ（ＳAＳ)∴ＢＣ=DE(全等三角形对应边相等）3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、Ｄ三点共线,AB=ＣB,EB=DＢ，∠ＡＢＣ＝∠ＥBD＝90°）,连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论.证明:延长AE交ＣD于F,∵△ABＣ和△DBE是等腰直角三角形∴AＢ=BC,BD=ＢＥ在△ABE和△CBＤ中∴△ABE≌△CＢD(SＡS）∴AE=CD，∠1=∠2又∵∠1+∠３＝90°,∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2+∠4=９0°,即∠AFC=90°∴AＥ⊥CD举一反三：【变式】已知:如图,ＰCAC，PBＡB,ＡＰ平分∠BAC,且AB=AC,点Q在PＡ上,求证:QC=ＱB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”.下图是小明制作的风筝,他根据DE=DF，EH＝ＦH，不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH.请你用所学的知识证明.【答案与解析】证明：在△ＤＥH和△ＤFH中,∴△ＤEＨ≌△DFH(ＳSＳ)∴∠ＤEH=∠DFH．一、选择题１.△ＡBC和△中,若AＢ＝,BC＝，ＡC=.则(）A.△ABC≌△B.△ＡＢC≌△Ｃ.△ＡBＣ≌△D.△ＡＢC≌△２．如图,已知AB=CＤ,ＡD＝BC，则下列结论中错误的是（）Ａ.AB∥DＣB．∠B=∠DC．∠A＝∠CＤ.AB=BＣ3.下列判断正确的是（)Ａ.两个等边三角形全等B．三个对应角相等的两个三角形全等Ｃ.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等６．如图，已知AＢ⊥BD于B,EＤ⊥BD于D,AB＝CD，ＢC＝ＥD,以下结论不正确的是()A.EC⊥ACB.ＥC=ＡCC.ED+AB＝DBD．DＣ=CB二、填空题９．如图,在△ＡBC和△ＥFD中，AD＝FC,ＡB=FＥ，当添加条件___＿＿__时，就可得△ABC≌△EFD(SSS）1０．如图，AＣ=AD,ＣB＝DB,∠2=3０°，∠3＝26°,则∠CBE=____＿__.１２.已知,如图,ＡＢ=ＣD,AC=BD，则△ABＣ≌,△AＤC≌．三、解答题1３.已知：如图,四边形ＡＢCD中,对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD,AD=BC,求证：CO＝DO.14．已知：如图,ＡB∥ＣD,AＢ＝CＤ．求证：AＤ∥BC.分析:要证AD∥BC，只要证∠_＿____=∠_＿＿＿__，又需证___＿＿_≌___＿_＿.证明：∵ＡB∥CD(），∴∠___＿__=∠＿_____（),在△_____＿和△___＿_＿中,∴Δ__＿_＿＿≌Δ＿____＿(）．∴∠＿_____＝∠＿__＿＿_（).∴＿_____∥____＿_().如图，已知AB＝DC,ＡC＝ＤB，ＢＥ＝ＣE求证：AE＝DE.

全等三角形判定３——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）．要点诠释:如图,如果∠A＝∠,AＢ＝，∠Ｂ＝∠,则△ABC≌△.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1．全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AＡS”)2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC和△ADＥ中,如果DE∥BC，那么∠AＤE＝∠Ｂ，∠AED=∠Ｃ,又∠Ａ＝∠A,但△ABＣ和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等．要点三、判定方法的选择１.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定，见下表:已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASＡSA两角对应相等AＳAAＡS两边对应相等SASSＳS类型一、全等三角形的判定3——“角边角”ﻩ1、已知：如图，E,Ｆ在AC上，ＡD∥CB且AD＝CＢ,∠Ｄ=∠B．求证：AE＝CF．证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△ＣBＥ（ASA）∴AF=ＣＥ,AＦ＋EF=CE+ＥF故得：AE=CF举一反三：【变式】如图,AＢ∥ＣD，ＡF∥DE，ＢE=CF．求证：ＡＢ=CＤ.类型二、全等三角形的判定4——“角角边” 2、已知：如图,AB⊥AE,AD⊥AＣ,∠E=∠B，ＤE＝CB．求证:AD＝ＡC.证明:∵AB⊥AE，AD⊥ＡＣ，∴∠CAＤ=∠BＡE=9０°∴∠ＣＡD+∠ＤAB=∠ＢAE＋∠DＡB，即∠BAC=∠EAD在△BＡC和△EAD中∴△BAC≌△EＡD（AAS）∴ＡC＝AD举一反三:【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作ＡＤ及ＡＤ的延长线的垂线ＣF、ＢE.求证：ＢE＝CF.【答案】证明：∵AＤ为△AＢC的中线∴BD＝ＣDﻭ∵BE⊥AＤ，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD=90°,在△ＢED和△CＦD中∴△BED≌△ＣFＤ（AAＳ）∴BE＝ＣF3、已知：如图，ＡC与BD交于O点,ＡB∥ＤC，AB＝DC．（1）求证:AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DＣ于E、F两点,求证：OE＝OＦ.证明：∵AB∥ＤC∴∠A=∠C在△ＡBO与△CＤO中∴△ＡＢO≌△CＤO(AAS）∴AＯ=ＣＯ,BO＝DO在△AEO和△ＣFＯ中∴△AＥO≌△CFＯ（ＡSA)∴OE＝OF．一、选择题1.能确定△ABＣ≌△DEＦ的条件是(）A．AＢ=DＥ，BC=EF，∠A=∠EB．AＢ=DＥ,BC＝EＦ,∠Ｃ=∠EC．∠A＝∠E,AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠Ｄ，AＢ＝DE,∠B=∠E2.如图,已知△AＢC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是（)图4-3A．甲和乙ﻩB.乙和丙ﻩC.只有乙 D．只有丙3.AD是△ABC的角平分线，作ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ,DＦ⊥ＡC于F，下列结论错误的是（）A.DE=DFﻩB.AE＝AFﻩC.BD=CDﻩD.∠ＡDE＝∠ＡＤＦ4．如图,已知ＭB＝ＮD，∠MＢA=∠ＮDC,下列条件不能判定△ABＭ≌△CDN的是（）A．∠M=∠NﻩＢ.AB=CDﻩC．ＡM＝CN D．AM∥CN6．如图，∠1=∠2,∠３=∠４,下面结论中错误的是(）A．△AＤC≌△ＢCDﻩﻩﻩ B．△ABD≌△BACC．△AＢO≌△CＤＯ ﻩ D．△ＡOD≌△BOC二、填空题7．如图,∠１=∠2，要使△ABE≌△ＡＣＥ，还需添加一个条件是.（填上你认为适当的一个条件即可).８.在△ABＣ和△中,∠Ａ＝44°，∠B=67°，∠＝６９°,∠=４4°,且ＡＣ＝,则这两个三角形＿_＿____＿_全等．（填“一定”或“不一定”)9.已知,如图，AB∥CD，AF∥DE,AF=DE，且BE＝2，BC=10,则EＦ=__＿＿_＿__.11．如图,已知:∠1=∠2,∠3=∠4,要证ＢＤ=CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是,再证△BＤE≌△,根据是．12.已知:如图,∠Ｂ＝∠DEF,AB＝DＥ,要说明△ABC≌△ＤEF,（1）若以“ASＡ”为依据，还缺条件（２)若以“AＡＳ”为依据，还缺条件(3）若以“SAS”为依据，还缺条件三、解答题１3．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O,且OA=OB,∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等,试写出证明过程;若不全等，请说明理由．答：△AOＤ≌△COB．证明:在△ＡOＤ和△CＯB中，∴△AOＤ≌△COB(ASＡ)．问：这位同学的回答及证明过程正确吗?为什么？1４．已知如图,E、F在ＢD上，且AB=CD，BF=ＤＥ,AＥ＝CＦ，求证:AC与BD互相平分．

１5.已知：如图,AB∥CD,ＯＡ＝OD,BC过O点，点E、F在直线AOD上,且AE＝DF．求证：EＢ∥ＣＦ．要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASＡ”或“ＳAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备．【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“ＨＬ”ﻩ1、已知：如图，AＢ⊥ＢD，CＤ⊥BD，AD=ＢC.求证：(１）AB＝ＣD:(2)AＤ∥ＢC.证明：(1)∵AB⊥ＢD,CＤ⊥BD，∴∠AＢD=∠CDＢ＝9０°在Rt△ABD和Rt△CＤB中,∴Rt△ABD≌Rt△ＣDB(ＨL）∴ＡＢ=CＤ（全等三角形对应边相等）（２）由∠AＤB＝∠ＣBD∴ＡD∥BC．.举一反三：【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥ＡB，ＡＥ=ＡB,ＥD＝AC．求证：ED⊥ＡC.2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”，全等的注明理由:（1)一个锐角和这个角的对边对应相等；(）(２）一个锐角和斜边对应相等;(）(３）两直角边对应相等;()（4）一条直角边和斜边对应相等．(）举一反三：【变式】下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画出图形.（1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（)（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()（３）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（)３、已知:如图，AC=ＢD,AD⊥ＡC,BC⊥BD.求证：AD=BC;证明：连接DＣ∵AD⊥AC,BC⊥BD∴∠DAＣ=∠CBD＝90°在Rｔ△ADＣ与Rt△BCＤ中,∴Rt△ADC≌Ｒt△BＣD（ＨL）∴AD＝BＣ.(全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AＣ、BD相交于Ｏ,ＡＣ＝ＢD，∠Ｃ=∠D＝90°.求证：OＣ＝ＯＤ．4、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过Ａ,Ｂ两点分别作直线的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题１.下列说法正确的是（）A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角