江苏省南通市海门市高二数学下学期期中试卷文(含解析)

2015-2016学年江苏省南通市海门市包场高中高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．函数f（x）=的定义域是．2．已知幂函数f（x）=（n+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是增函数，则n的2值．3．若点（a，9）在函数y=3的图象上，则=x．4．若函数y=x﹣2x+mx，当x=时，函数取得极大值，则m的值为32．5．已知x＞0，观察下列不等式：①x，②x③x≥4，…，则第n个不等式为．6．给出下列命题：（1）命题“在△ABC中，若A=30°，则sinA=”的逆否命题为“在△ABC中，若sinA≠则A≠30°”（2）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题（3）∀x∈R，sinx+cosx=1的否定为真命题22（4）已知命题p：函数y=a+2（a＞0且a≠1）的图象恒过一定点A，则点A的坐标为x﹣1（1，2），其中正确命题的7．已知方程8x+6kx+2k+1=0有两个实根sinθ和cosθ，则k=序号为．．28．设函数f（x）=9．若函数，则满足f（x）=2的x的值为．是奇函数，则满足f（x）＞a的x的取值范围是．10．已知角α、角β的终边与单位圆交点的，则cosα=β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、∈β（0，π），横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是．1/14

11．设x∈R，f（x）=（），若不等式f（x）﹣k≤﹣f（2x）对于任意的x∈R都恒成|x|立，则实数k的取值范围是12．已知函数．的零点分别为x，x，x，123则x，x，x的大小关系是1．2313．若关于x的不等式（ax﹣20）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值范围是．14．曲边梯形由曲线y=e，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=e，x∈[1，5]上一点P作切xx线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．16．已知命题p：实数x满足，已知命题q：实数x满足（）x（x﹣2）（＞1．﹣3a﹣1）（1）当q为真命题时，不等式的解集记为A，求A；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=lnx+，a∈R．（1）若函数f（x）在[2，+∞）上是（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．18．甲、乙两水池某时段的蓄水量时随间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t增函数，求实数a的取值范围；（小时）的关系是：f（t）=2+sint，t∈[0，12]，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：g（t）=5﹣|t﹣6|，t∈[0，12]．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin6≈﹣0.279）．19．已知函数f（x）=log（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）．a（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若a=3，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域；（Ⅲ）若函数y=a的图象恒在直线y=﹣3x+1的上方，求实数a的取值范围．f（x）20．已知函f（x）=x﹣8lnx，g（x）=﹣x+14x22（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．2/14

2015-2016学年江苏省南通市海门市包场高中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2且x≠0}．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由分式中的对数式的真数大于0且不等于1，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．2．已知幂函数f（x）=（n+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是增函数，则n的2值﹣3．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义与性质，得出，由此求出n的值．【解答】解：幂函数f（x）=（n+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是增函数，2∴，，解得即n的值为﹣3．故答案为：﹣3．3．若点（a，9）在函数y=3的图象上，则x=．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，然后根据特殊三角函数值进行解答即可．【解答】解：将（a，9）代入到y=3中，得3=9，xa解得a=2．3/14

∴=tan=故答案为：4．若函数y=x﹣2x+mx，当x=时，函数取得极大值，则m的值为1．32【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求导，再利用导数与极值的关系求出m．【解答】解：y′=3x﹣4x+m，2∵当x=时，函数取得极大值，∴3×﹣4×+m=0，即﹣+m=0，即m﹣1=0．∴m=1．故答案为：1．5．已知x＞0，观察下列不等式：①x，②x③x≥4，…，则第n个不等式为x．【考点】归纳推理．【分析】根据不等式：①x，②x③x≥4，…，结合左右两边式子的特点，可以猜测第n个不等式x．【解答】解：观察下列不等式：①x，②x③x≥4，…，可知，各个不等式左边共有两项，第一项都为x，第二项依次为，，，…，右边依次为2，3，4，…，n+1从而得满足的不等式为x．故答案为：x．4/14

6．给出下列命题：（1）命题“在△ABC中，若A=30°，则sinA=”的逆否命题为“在△ABC中，若sinA≠则A≠30°”（2）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题（3）∀x∈R，sinx+cosx=1的否定为真命题22（4）已知命题p：函数y=a+2（a＞0且a≠1）的图象恒过一定点A，则点A的坐标为x﹣1（1，2），其中正确命题的序号为（1）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据逆否命题（2）根据复合命题（3）根据全称命题（4）根据指数函数过定点的性质进行判断．的定义进行判断，真假之间的关系进行判断，的定义和性质进行判断．【解答】解：（1）命题“在△ABC中，若A=30°，则sinA=”的逆否命题为“在△ABC中，若sinA≠，则A≠30°”正确，故（1）正确，（2）若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故（2）错误，（3）∀x∈R，sinx+cosx=1，则命题的否定为假命题，故（3）错误，的图象恒过一定点A，由x﹣1=0得x=1，22（4）已知命题p：函数y=a+2（a＞0且a≠1）x﹣1则y=1+2=3，则点A的坐标为（1，3），故（4）错误，故正确的是（1），故答案为：（1）7．已知方程8x+6kx+2k+1=0有两个实根sinθ和cosθ，则k=﹣．2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意，利用韦达定理得到sinθ+cosθ=﹣，sinθcosθ=，根据sinθ+cosθ=1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．22【解答】解：∵方程8x+6kx+2k+1=0有两个实根sinθ和cosθ，2∴sinθ+cosθ=﹣，sinθ和cosθ=．∵sinθ+cosθ=1，∴（sinθ+cosθ）﹣2sinθcosθ=1，即﹣=1，222整理得：（k﹣2）（9k+10）=0，解得：k=2或k=﹣，由于k=2时△＜0，故舍去，故k=﹣．5/14

8．设函数f（x）=，则满足f（x）=2的x的值为0．【考点】函数的值．【分析】当x≤1时，f（x）=2=2；当x＞1时，f（x）=1﹣logx=2．由此能求出结果．1﹣x2【解答】解：∵f（x）=，且满足f（x）=2，∴当x≤1时，f（x）=2=2，∴1﹣x=1，解得x=0；1﹣x当x＞1时，f（x）=1﹣logx=2，解得x=，不成立．2∴x=0．故答案为：0．9．若函数是奇函数，则满足f（x）＞a的x的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数定义求出a的值，得原不等式即f（x）＞﹣2，再分类讨论，分别解一元二次不等式，可得原不等式的解集．【解答】解：当x＜0时，f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=x+2x22∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣2x，对照已知条件，得a=﹣22①当x≥0时，原不等式可化为x﹣2x＞﹣2，即x﹣2x+2＞022解之得x≥0；②当x＜0时，原不等式可化为﹣x﹣2x＞﹣2，即x+2x﹣2＜022解之得﹣1﹣＜x＜0综上所述，得原不等式的解集为故答案为：10．已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的，则cosα=α、β∈（0，π），纵坐标是．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出sinβ，根据α+β的范围及cos（α+β）的值求出sin（α+β）的值，利用两角差的余弦式公计算cosα=cos[（α+β）﹣β]的值．【解答】解：由题意得α、β∈（0，π），cosβ=﹣，∴sinβ=，故＜β＜π．6/14

∵sin（α+β）=，∴＜α+β＜π，α+β）=﹣，∴cosα=cos[（∴cos（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=，故答案为．11．设x∈R，f（x）=（），若不等式f（x）﹣k≤﹣f（2x）对于任意的x∈R都恒成|x|立，则实数k的取值范围是[2，+∞）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））≤k对于任意的x∈R恒成立即可，将f（x）的解析式代入，利用换元法转化为二次函数min求最值即可【解答】解：∵f（x）=（），|x|∴f（2x）=（），|2x|∵不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立令t=（）=t∈（0，1]，则y=t+t（0＜t≤1）|x|2∵对称轴t=﹣，则当t=1时，y=2，max∴k≥2，故答案为：[2，+∞）12．已知函数的零点分别为x，x，x，123则x，x，x的大小关系是x＜x＜x．123123【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由于函数的零点分别为x，x，12x，即函数令y=2，y=lnx，x与函数y=﹣x的交点的横坐标分别为x，x，12312x，作出函数的图象，结合函数的图象可判断3【解答】解：令y=2，y=lnx，x，y=﹣x12∵函数函数令y=2，y=lnx，的零点分别为x，x，x123与函数y=﹣x的交点的横坐标分别作出函数的图象x12，结合图象可得x＜x＜x3127/14

故答案为：x＜x＜x12313．若关于x的不等式（ax﹣20）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值范围是{}．【考点】函数恒成立问题．【分析】不等式等价于或，解不等式，可得，a=．【解答】解：不等式等价于或，∴或，∴∴，，∴a=．∴实数a的取值范围是{}．故答案为：{}．8/14

14．曲边梯形由曲线y=e，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=e，x∈[1，5]上一点P作切xx线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是（2，e2）．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标，求出切线的斜率，写出切线的方程，表示出切出的梯形的面积，把面积的表示式去掉绝对值，得到两种不同的情况，针对于两种不同的情况进行讨论，利用导数求出最值．【解答】解：设p点坐标为（m，e），则切线的斜率为k=emm设切线方程：y=kx+b把p点坐标代入直线方程可求的截距b=e﹣me＜0mm切线方程为：y=ex+（1﹣m）e那么切出来的梯形的面积为mmS=（|k+b|+|5k+b|）（5﹣1）=2（|2﹣m|+|6﹣m|）e1≤m≤5m①当1≤m≤2时，S=4（4﹣m）e②当2＜m≤5时，S=8e当1≤m≤2时，S=4（4﹣m）e求mmm导得S'=4[（4﹣m）e﹣e]=4（3﹣m）e＞0（1≤m≤2）mmm∴S=4（4﹣m）e在[1，2]上单调增，且当m=2时有最大值Smax=8e当m＞2时，切线方程m2中令y=0，解得x=m﹣1＞1，无法构成梯形，四条直线（y=0，x=1，x=5，过点P的切线）构成的两个三角形综上所述，当m=2时，梯形面积有最大值8e，此时p点坐标为（2，e）22故答案为（2，e）2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2β，将cosβ的值代入计算即可求出值；（2）由cosβ的值，以及β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，再由α与β的范围求出α+β的范围，根据sin（α+β）的值求出cos（α+β）的值，sinα=[（α+β）﹣β]，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵cosβ=﹣，∴cos2β=2cosβ﹣1=﹣；2（2）∵cosβ=﹣，β∈（，π），∴sinβ==，∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），又sin（α+β）=，∴cos（α+β）=﹣=﹣，9/14

则sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）+×=．16．已知命题p：实数x满足，已知命题q：实数x满足（）x（x﹣2）（＞1．﹣3a﹣1）（1）当q为真命题时，不等式的解集记为A，求A；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据指数函数以及二次函数的性质解不等式组，求出集合A即可；（2）通过讨论a的范围，求出关于命题q的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可．【解答】解：（1））∵（）＞1．（x﹣2）（x﹣3a﹣1）∴（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0，①3a+1＞2即a＞时，不等式的解集是：A=（2，3a+1），②3a+1＜2即a＜时，不等式的解集是：A=（3a+1，2），（2）由得：，，解得：﹣2＜x≤5，由（1）得：①3a+1＞2即a＞时，不等式的解集是（2，3a+1），若p是q的必要不充分条件，则（2，3a+1）⊊（﹣2，5]，∴3a+1≤5，解得：a≤，∴＜a≤；②3a+1＜2即a＜时，不等式的解集是（3a+1，2），若p是q的必要不充分条件，则（3a+1，2）⊊（﹣2，5]，∴3a+1≥﹣2，解得：a≥﹣1，10/14

∴﹣1≤a＜；综上，a∈[﹣1，）∪（，]．17．已知函数f（x）=lnx+，a∈R．（1）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导数：．根据f（x）在[2，+∞）上是增函数，得出a≤在[2，+∞）上恒成立．令，则a≤[g（x）]，从而求得实数a的取值范min围；（2）由（1）得，x∈[1，e]．下面对2a进行分类讨论：①若2a＜1，②分别讨论函数f（x）在[1，e]上的最小值为3列出等式求出a若1≤2a≤e，③若2a＞e，值即可．【解答】解：（1）∵，∴．∵f（x）在[2，+∞）上是增函数，∴≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤在[2，+∞）上恒成立．令∵，则a≤[g（x）]，x∈[2，+∞）．min在[2，+∞）上是增函数，∴[g（x）]=g（2）=1．min∴a≤1．所以实数a的取值范围为（﹣∞，1]．（2）由（1）得，x∈[1，e]．①若2a＜1，则x﹣2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是增函数．所以[f（x）]=f（1）=2a=3，解得（舍去）．min②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是减函数，当2a＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函数．所以[f（x）]=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得（舍去）．min11/14

③若2a＞e，则x﹣2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是减函数．所以，所以a=e．综上所述，a=e．18．甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：f（t）=2+sint，t∈[0，12]，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：g（t）=5﹣|t﹣6|，t∈[0，12]．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin6≈﹣0.279）．【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【分析】要求甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值，设甲、乙两水池蓄水量之和为H（t）=f（t）+g（t）．因为g（t）中含有绝对值，分[0，6]和（6，12]两个区间讨论t的取值范围化简绝对值，分别求出H′（t）=0时t的值得到函数的比较最大即可．解：设甲、乙两水池蓄水量之和为H（t）=f（t）+g（t）①当t∈[0，6]时，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5﹣（6﹣t）=sint+t+1H′（t）=cost+1≥0，所以H（t）在t∈[0，6]上单调所以[H（t）]=H（6）=7+sin6；增减性以及正弦、余弦函数的增减性得到两个最大值，【解答】递增，max当②t∈（6，12]时，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5﹣（t﹣6）=sint﹣t+13H′（t）=cost﹣1≤0，所以H（t）在t∈（6，12]上单调递减，所以H（t）＜7+sin6=6.721；故当t=6h时，甲、乙两水池蓄水量之和H（t）达到最大值，最大值为6.721百吨．19．已知函数f（x）=log（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）．a（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若a=3，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域；（Ⅲ）若函数y=a的图象恒在直线y=﹣3x+1的上方，求实数a的取值范围．图象与性质．【分析】（Ⅰ）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）把a=2代入函数解析式，由x的范围求得对数函数真数的范围，则函数值域可求；（Ⅲ）由对数的运算性质化简y=a，把函数y=a的图象恒在直线y=﹣3x+1的上化为成立，分离参数a后求出二次函数的最值，则答案可求．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，则ax﹣＞0，且x≥0，f（x）【考点】对数函数的方转f（x）f（x）即x＞，即函数f（x）的定义域{x|x＞}；（Ⅱ）若a=3，则f（x）=log（3x﹣），3∵x∈[1，9]，∴∈[1，3]，则3x﹣∈[2，24]，∴函数f（x）的值域为[log2，log24]；3（Ⅲ）y=a=ax﹣，f（x）312/14

函数y=a的图象恒在直线y=﹣3x+1的上方，f（x）即ax﹣﹣（﹣也就是a＞+﹣3在（，令=t，则t∈