新北师大版7.3平行关系学案

第三节平行关系【考试要求】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一直线平行，那么该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a⊂α,l⊄α))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b[常用结论]1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．[思考辨析]判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[对点查验]1．下列命题是真命题的是()A．如果直线a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．如果直线a，b和平面α满足α∥b，a∥α，bα，那么b∥α答案D2．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得AE∥C1F，AF∥C1E.故四边形AEC1F为平行四边形．4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH，则GH与EF的位置关系为()A．相交 B．平行C．垂直 D．异面B因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEHF＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.故选B.5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO(图略).在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.考点一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定(2022·河南开封模拟)如图，O1，O分别是圆台上、下底面圆的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，AA1，BB1，CC1为圆台的母线，AB＝2A1B1＝8.证明：C1D∥平面OBB1O1.证明连接DE，O1E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，所以△BOC为等腰直角三角形，即∠OBD＝45°，又D在圆E上，故△BED为等腰直角三角形，所以DE∥OC且DE＝eq\f(1,2)OC，又CC1是母线且O1C1＝eq\f(1,2)OC，则O1C1∥OC，故DE∥O1C1且DE＝O1C1，则四边形DEO1C1为平行四边形，所以EO1∥DC1，而EO1⊂面OBB1O1，DC1面OBB1O1，故C1D∥平面OBB1O1.命题点2直线与平面平行的性质(2022·全国模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△SAB为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD∥平面GAC.求证：G为SB的中点．证明如图，连接BD交AC于点E，则E为BD的中点，连接GE，∵SD∥平面GAC，平面SDB∩平面GAC＝GE，SD⊂平面SBD，∴SD∥GE，而E为BD的中点，∴G为SB的中点．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．对点强化1(1)(2022·四川成都期末)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且CE＝EB，AF＝FP.求证：EF∥平面PCD.证明如图，取PD的中点G，连接GF，GC.在△PAD中，点G，F分别为PD，AP的中点，∴GF∥AD且GF＝eq\f(1,2)AD.在矩形ABCD中，点E为BC的中点，∴CE∥AD且CE＝eq\f(1,2)AD，∴GF∥EC且GF＝EC.∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC∥EF.又∵GC⊂平面PCD，EF平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)(2022·全国模拟)如图，已知三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，经过DE的平面α与PB，PC分别交于点G，F，且PA∥α.求证：四边形DEFG是平行四边形．证明∵PA∥α，PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，α∩平面PAB＝DG，α∩平面PAC＝EF，∴PA∥DG，PA∥EF，∴EF∥DG，∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC，∵DE⊂α，α∩平面PBC＝GF，∴DE∥GF，∴四边形DEFG是平行四边形．考点二平面与平面平行的判定与性质(1)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．对点强化2(2022·全国模拟)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别为A1B1，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面AC1E∥平面B1CG，并给予证明．证明如图所示，取AB的中点D，连接CD交AF于点G，则G为△ABC的重心．连接DE.因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，A1B1的中点，所以DE∥CC1，且DE＝CC1，则四边形DEC1C是平行四边形，故EC1∥DC.又DC⊂平面B1CD，EC1平面B1CD，所以EC1∥平面B1CD.因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，A1B1的中点，则B1E∥AD且B1E＝AD，四边形B1EAD是平行四边形，所以EA∥DB1.又DB1⊂平面B1CD，EA平面B1CD，所以EA∥平面B1CD.又EA⊂平面AC1E，EC1⊂平面AC1E，EA∩EC1＝E，所以平面AC1E∥平面B1CG，所以当点G为△ABC的重心时，平面AC1E∥平面B1CG.考点三平行关系的综合应用(2022·云南昆明一中模拟)在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝eq\f(2π,3)，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点．(1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG∥平面BDF，请说明理由；(2)请在下列两个条件中任选一个，求该五面体ABCDEF的体积．①cos∠BDF＝eq\f(1,4)；②EM＝2.解(1)连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE，因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB，因为OM∥AB∥EF，OM＝eq\f(1,2)AB＝EF，所以四边形OMEF是平行四边形，所以OF∥EM，因为EM平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EM∥平面BDF，因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以GM∥BD，因为GM平面BDF，BD⊂平面BDF，所以GM∥平面BDF，而GM∩EM＝M，平面EMG∥平面BDF.(2)选择①：在△BDF中，BD＝DF＝2，cos∠BDF＝eq\f(1,4)，所以BF＝eq\r(6)，取AD中点N，连接FN，BN，在△BNF中，BN＝FN＝eq\r(3)，BF＝eq\r(6)，所以BN⊥FN，因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，因为AD∩FN＝N，所以BN⊥平面ADF，因为BN⊂平面ABCD，所以平面ADF⊥平面ABCD，如图，五面体ABCDEF可由三棱柱ADF－BCP截去三棱锥E－BCP得到，所以VABCDEF＝VADF－BCP－VE－BCP＝eq\f(5,6)VADF－BCP＝eq\f(5,6)·S△ADF·BN＝eq\f(5,6)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(5,2).选择②：由(1)有OF＝EM＝2，取AD中点N，连接FN，ON，BN，在△ONF中，FN＝eq\r(3)，ON＝1，OF＝2，所以ON⊥FN，因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN，因为AD∩ON＝N，所以FN⊥平面ABCD，所以平面ADF⊥平面ABCD，因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，因为平面ADF∩平面ABCD＝AD，BN⊂平面ADF，所以BN⊥平面ADF，(选择②求体积时，需多证一组线面垂直，即证明dB－ADF＝BN)下同①，略．思维升华解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．对点强化3(2022·江苏扬中市第二高级中学期末)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为()A．1 B．eq\f(\r(6),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)B在正方体中E，F，G，H，I，N分别是CD，DD1，A1D1，A1B1，BB1，BC的中点，由正方体性质易知：BD∥EN，而A1B∥D1C，EF∥D1