RS码的基础知识

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213代数引论RS码的译码近期的工作安排RS码的基础知识1代数引论群一个定义了二院运算*的集合G如果满足一下的条件，则称其为群：i.二元运算*满足结合律；ii.G中包含一个元素e，使得对G中任意元素a，有iii.对G中任意元素a，在G中存在另一个元素,满足

交换群

如果群G二元运算同时满足下面的条件，则称群G是交换群：对G中任意的a和b，有a*b=b*a

RS码的基础知识域设F为一组元素的集合，在其上定义了加法“+”和乘法“.”两种运算。如果满足下列条件，则集合F与这两种运算一起成为域：i.在加法下F是一个交换群。ii.F中的非零元素在乘法下构成一个交换群。iii.乘法对加法满足分配率，即对F中任意的三个元素a，b和c，有伽罗华域（GF（q））有限域也称为伽罗华域RS码的基础知识域元素的阶必然存在一个使得的最小正整数n，这个n就称为域元素a的阶。本原元在有限域GF（q）中，如果a的阶为q-1，则非零元素a被称为本原元。性质：本原元的幂生成了GF(q)中的所有的非零元素。本原多项式GF(2)上的m次多项式p(x)若不能被GF(2)上任意次数小于m且大于0的多项式整除，则称p(x)在GF(2)上是不可约的。M次不可约多项式p(x)若满足能被p(x)整除的的最小正整数n为，则称p(x)为本原多项式。RS码的基础知识定理：设f(x)是一个以GF(2)中元素为系数的多项式，是GF(2)扩域中的一个元素。如果是f(X)的一个根，则对任意,也是f(X)的根。元素称为的一个共轭。最小多项式

为GF()中的任意元素，令为GF(2)上满足的最低次数多项式，则多项式称为的最小多项式RS码的基础知识

共轭根

最小多项式

由生成的GF()中元素的最小多项式RS码的基础知识生成多项式在（n，k）的RS中，存在唯一的n-k次多项式g(x)，使得每一个码多项式c(x)都是g(x)的倍式.g(x)称为RS码的生成多项式。其中：n为码长，k为信息位一般情况下：是本原多项式p(x)的根RS码的基础知识2RS码的译码BCH码BCH码是一种获得广泛应用的能够纠正多个错码的循环码。RS码RS码是一类具有很强纠错能力的多进制BCH码。符号取自GF(q)，纠t个错误的RS码具有以下参数：

分组长度：n=q-1奇偶校验符号数：n-k=2t最小距离：RS码的基础知识RS译码RS码的译码分成以下5步：

由接收的r(x)求得伴随多项式由求得错误位置多项式用钱搜索解出的根，得到错误位置数，确定错误位置。

由错误位置数求得错误值，从而得到错误图样完成纠错RS码的基础知识校验矩阵接收值1）求伴随多项式RS码的基础知识所以：或表示为2）BM迭代算法求错误位置多项式

BM迭代算法利用S伴随矩阵得到错误多项式迭代步骤如下：a

由初始值

开始迭代其中:

是错误位置多项式的次数，为第j步和第j+1步的差值RS码的基础知识b

若

则有

并计算，再进行下一次迭代

若，则找出之前的某一行

，它在所有行之前各行中的最大，且，于是按计算这就是第

步的解

c

计算，重复

步进行下一步迭代，这样迭代

次后得到的

即为所求的。

RS码的基础知识3）用钱搜索解出的根，得到错误位置数。（上一步已经求得）。下面介绍钱搜索错误位置数的步骤：对接收向量进行逐比特译码。最高位比特被首先译码。为了译，译码器检验是否是错误位置数；也就等价于检验于检验它的倒数是否是的根。如果是，则：RS码的基础知识因此，为了译，译码器需要构造，,…,。如果，则是错误位置数，并且是错误位，否则，是正确位。

为了译，译码器需要构造，，…，并校验和式：如果和式为0，则是的根，且是错误位；否则，是正确位。RS码的基础知识4）由错误位置数求得错误值，从而得到错误图样。

RS码错误值（）

计算公式：求出为的导数形式被称为错误估