基于风险基金的CAPM模型说明

基于风险基金的CAPM模型本文是中国人民大学本文是中国人民大学“十五”“211工程”《中国经济学的建设和进展》子项目“行为和实验经济学学科规划”子报告研究成果，同时是国家教育部博士点基金资助项目（01JB630009）研究成果。陈彦斌中国人民大学经济学院100872徐绪松武汉大学商学院430072内容提要：本文提出并证明了基于风险基金的CAPM模型。基于风险基金的CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，其中资产的风险定义为资产收益率与风险基金收益率的协方差除以风险基金收益率的方差。作为应用例子，本文使用基于风险基金的CAPM模型证明了闻名的CCAPM模型。关键词：两基金分离风险基金资本资产定价模型基于消费的资产定价模型一、引言上个世纪60年代，Sharpe，Linter和Mossin建立了资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel，简称CAPM模型)，将每一种风险资产的期望超额收益率表示为，该风险资产的Beta系数与市场组合的期望超额收益率的乘积。CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，是测量风险和估价资产的基准和衡量投资绩效的标准。然而，Roll(1977)指出，因为不存在真实的市场组合，因此资本资产定价模型永久不能被证实或证伪。因此资本资产定价模型不应被视为用于资产定价的完美模型。由于能够公开得到总消费数据，因此Breeden(1979)提出了基于消费的资产定价模型(Consumption-basedCapitalAssetPricingModel，简称CCAPM模型)。CCAPM模型的提出是金融学的一次重大飞跃，将金融学和经济学有机地结合起来，具有巨大的理论价值。然而，CCAPM模型不能解释闻名的股票溢价之谜，无风险利率之谜和消费平滑之谜等实证难题。为了解释这些实证难题，最近十几年来资产定价理论获得了巨大的新进展，在CCAPM模型的基础之上提出了许多新的模型，比如引入了财宝偏好、适应形成、递归效用等更加接近现实的效用函数，和引入了生产、投资和通货膨胀等更为一般的经济模型等，其中行为金融尤为突出。然而，CCAPM模型等现代资产定价理论与CAPM模型有一定的脱节，缺乏理论上的平稳过渡。现代资产定价理论不是在CAPM模型基础之上进展起来的，与CAPM模型是两套不同的研究体系。CAPM模型和CCAPM模型以及在此基础之上进展起来的现代资产定价理论的研究对象不同。CAPM模型的研究对象是狭义的资产市场；而CCAPM模型等现代资产定价理论，引入了消费等宏观经济变量，将宏观经济和资产市场联系起来，研究对象是广义的资产市场。同时，尽管现代资产定价理论是建立在CCAPM模型基础之上的，然而一般都偏离了CCAPM模型的原始假定。因此，所得到的结论值得商榷。比如讲，Bakshi和Chen(1996)将财宝偏好引入了CCAPM模型，Constantinides(1990)将适应形成引入了CCAPM模型，但他们所使用的经济差不多上代表性投资者经济，即假定经济中只有一个投资者，或者经济中有许多偏好相同的投资者。而Breeden(1979)的CCAPM模型以及CAPM模型所使用的经济中的投资者的偏好是各不相同的。本文的目标是建立一个与传统的CAPM模型类似的资产定价模型，具有CAPM模型的特征，但克服CAPM模型的缺陷，同时能够将之推导出CCAPM模型以及新型资产定价模型。众所周知，CAPM模型成立的充分条件是两基金分离定理有两种典型的方法使用两基金分离定理求取CAPM模型，一种方法是在Markowitz均值有两种典型的方法使用两基金分离定理求取CAPM模型，一种方法是在Markowitz均值—方差投资组合模型中，假定风险资产的收益率服从正态分布，从而得到两基金分离，进而使用两基金分离定理得到CAPM模型，具体过程能够参考Huang和Litzenberger(1988)的“FoundationsforFinancialEconomics”第4章。另一种方法是，在连续时刻动态模型中，Merton(1973)证明了假如风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立，从而使用两基金分离定理得到CAPM模型。本文的结构如下。第2节给出了全文的假定。第3节证明了两基金分离定理。第4节给出了风险基金的价格所服从的随机微分方程。第5节证明了本文的要紧定理:基于风险基金的CAPM模型。第6节使用基于风险基金的CAPM模型证明CCAPM模型。第7节比较了CAPM模型，基于风险基金的CAPM模型，以及CCAPM模型之间的异同之处。第8节是结论和展望。二、假定本文考虑一个连续时刻的资产市场经济，经济中只有一种商品，它要么用来消费，要么用来投资于风险资产，投资的回报也是该商品。该经济类似于Merton(1969，1971)所研究的经济，进一步定义如下。1偏好经济中存在个偏好不同的无限存活的投资者。投资者在时有财宝，希望使用该财宝最大化期望终身总效用，,(1)此处记号表示条件期望算子，表示投资者的时消费率，表示投资者的时即时效用函数。假定效用函数是二次连续可微的。并假定效用函数满足如下约束:(效用函数关于消费是严格增加函数);(效用函数关于消费是严格凹函数)。2投资机会假定存在一个连续交易的资产市场，有种风险资产和一种无风险资产。无风险资产的利率记为。假定每份风险资产的时价格为，服从几何布朗运动，即，其中常数和分不是风险资产的收益率的均值和波动率;是标准布朗运动。将所有风险资产的价格所服从的几何布朗运动用矩阵表示为，其中表示n种风险资产的价格向量，记号表示矩阵的转置，表示n种风险资产的期望收益率向量，表示风险资产的布朗运动微分向量，矩阵是对角矩阵，对角线上的元对应为每种风险资产的价格，矩阵是对角矩阵，对角线上的元对应为每种风险资产的波动率。定义矩阵为种风险资产的收益率的协方差矩阵，此处记号表示风险资产的收益率和风险资产的收益率的协方差，。假定协方差阵是非奇异的，并使用记号表示协方差阵的逆矩阵。将风险资产的价格所服从的几何布朗运动代入协方差，得到协方差与波动率之间的关系为。那么写成矩阵形式，有如下关系.3预算方程下面给出投资者所面临的预算动态方程，即财宝所服从的随机过程。假定投资者没有禀赋和劳动收入，所有收入都来源于所持有的风险资产的资本增值。因为瞬间内财宝的增加部分等于该段时刻内所持有资产的增值，再减去瞬间消费，因此投资者的财宝动态方程为如下随机微分方程,(2)此处表示投资者投资在风险资产之上的投资组合权重，同时投资组合是无约束的，这是因为是投资在无风险资产上的投资组合权重。其中是维全1列向量。三、两基金分离本节证明，假如风险资产的价格服从几何布朗运动，那么资产市场就会有两基金分离现象。从而，复杂的资产市场能够简化为两种资产:一种无风险资产和一种风险资产。投资者的操纵变量是其消费和投资组合，而投资者在时的状态变量在投资者的消费—投资组合规划问题中，投资者的效用函数不含有风险资产的价格。当风险资产的价格服从几何布朗运动时，投资者的预算约束动态方程也不包含有风险资产的价格变量。由于规划问题中的目标函数和约束条件都不包含风险资产的价格，因此投资者的消费—投资组合规划问题就与风险资产的价格无关。因此，投资者的状态变量是其财宝和时刻。，为其财宝和时刻。定义记号为投资者的值函数(valuefunction)，表示该投资者在时，给定财宝，通过最优分配消费和投资组合，所能达到的终生最大期望效用，即在投资者的消费—投资组合规划问题中，投资者的效用函数不含有风险资产的价格。当风险资产的价格服从几何布朗运动时，投资者的预算约束动态方程也不包含有风险资产的价格变量。由于规划问题中的目标函数和约束条件都不包含风险资产的价格，因此投资者的消费—投资组合规划问题就与风险资产的价格无关。因此，投资者的状态变量是其财宝和时刻。.下面采纳随机动态规划方法求解投资者的消费—投资组合问题。由Taylor展开公式和积分中值定理，将投资者的消费—投资组合问题表达为:,(3)此处记号表示值函数对财宝的偏微分，即，表示值函数对时刻的偏微分，即。上述推导中，第一个等号使用了定积分的定义，第二个等号使用了积分中值定理和值函数的定义，第三个等号使用了Taylor展开公式。在方程(3)左右两边消去值函数，并利用，，和的时可测性，得到.(4)将投资者的财宝动态方程(2)代入(4)，利用布朗运动的定义，并消去时刻微分符号，得到如下Hamiltion-Jacobi-Bellman方程(简称HJB方程)，HJB方程关于投资组合的一阶条件为0,此处0是维全0列向量。在上面方程的左右两边，左乘以，得到投资者投资于风险资产的投资组合向量为。从而投资者投资于风险资产的投资组合权重等于.由于方程右边含有投资者的值函数和财宝，因此投资者投资于风险资产的投资组合权重与其偏好和财宝有关。然而，投资者投资在任意两个风险资产和之上的投资组合权重之比为.方程右边不含有投资者的偏好和财宝，是一个与偏好和财宝无关的常数，该常数只与各个风险资产的期望收益率，无风险利率，和各个风险资产收益率之间的协方差有关。因此，尽管不同的投资者具有不同的偏好结构和财宝水平，从而投资于风险资产的(绝对)投资组合不同，然而投资者投资在不同风险资产之间的(相对)投资组合却是相同的。这确实是两基金分离研究两基金分离定理成立的角度有两个。第一个角度是从风险资产的价格或收益率所服从的分布函数动身。如Ross(1978)，在静态投资模型中，证明存在两基金分离的充分条件是风险资产的收益率服从联合正态分布。另一个角度是从投资者的效用函数动身。Cass和Stiglitz(1970)证明，假如投资者的效用函数是HARA型的，那么不管风险资产收益率的分布函数是否服从正态分布，都有两基金货币分离。而在连续时刻动态模型中，Merton(1971)证明了假如风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立。。研究两基金分离定理成立的角度有两个。第一个角度是从风险资产的价格或收益率所服从的分布函数动身。如Ross(1978)，在静态投资模型中，证明存在两基金分离的充分条件是风险资产的收益率服从联合正态分布。另一个角度是从投资者的效用函数动身。Cass和Stiglitz(1970)证明，假如投资者的效用函数是HARA型的，那么不管风险资产收益率的分布函数是否服从正态分布，都有两基金货币分离。而在连续时刻动态模型中，Merton(1971)证明了假如风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立。假如存在两基金分离现象，尽管资产市场有多种风险资产，然而对每一个投资者而言，就看起来只存在两个基金，其中一个是风险基金，另一个是无风险基金。无风险基金投资于无风险资产;风险基金则投资于全部风险资产，而决不投资于无风险资产。从而，复杂的资产市场能够简化为:存在一种无风险资产和一种风险资产。且该风险资产由所有风险资产复合而成，相互权重与投资者的财宝，偏好无关，而只与风险资产的分布性质有关。因此，使用两基金分离定理能够极大地简化消费—投资组合模型，从而使得模型求解变得更加容易。风险基金能够理解为，所有投资者均只投资于某个复合风险资产，该复合风险资产投资于各风险资产的投资组合为列向量，其中.使用矩阵记号，风险基金投资于各个风险资产之上的投资组合等于。四、风险基金的动态本节证明风险基金的价格服从几何布朗运动，并给出风险基金的期望收益率和波动率之间的关系。记风险基金的价格为，依据风险基金的定义，风险基金的价格服从如下随机过程.下面讲明风险基金的价格服从几何布朗运动。由于服从均值为0，方差为的正态分布，因此线性组合也服从正态分布，且其均值为,方差为,其中第三个等号使用了协方差矩阵的定义，第四个等号使用了的定义，并利用了协方差矩阵的对称性。因此，风险基金的价格服从几何布朗运动，记为，其中和差不多上常数。下面进一步给出和的具体表达式。由风险基金的定义可知风险基金的期望收益率等于,(5)风险基金的收益率的方差等于.(6)由(5)和(6)得到.(7)至此，差不多得到了风险基金的动态，即风险基金的价格所服从的几何布朗运动，并给出了期望收益率与波动率之间的关系式。这关于证明基于风险基金的CAPM和CCAPM模型是十分方便的。五、基于风险基金的CAPM模型本节证明全文的核心结果:基于风险基金的CAPM模型，要紧结果反映在下面的定理1和定理2中。在基于风险基金的CAPM模型中，资产定价的基准不是市场组合，而是两基金分离之中的风险基金。定理1假定经济中所有风险资产的价格都服从几何布朗运动，同时存在无风险资产。令是任意一个可行投资组合的收益率，那么该投资组合的期望收益率满足如下关系,此处度量该投资组合的风险。证明令是任意的可行投资组合的收益率。假如为该投资组合投资于各个风险资产的投资组合向量，为该投资组合投资于无风险资产的投资组合权重。因为所有风险资产的价格都服从几何布朗运动，因此投资组合的价格服从几何布朗运动，同时有.因为风险基金的价格服从几何布朗运动，，因此，由的定义得到.(8)由于风险基金的价格服从几何布朗运动，那么布朗运动项等于。因此，,将之代入(8)，得到,(9)其中最后一个等号利用了式(7)。由于投资组合的期望收益率，因此得到。再由(9)，那么投资组合的期望收益率满足如下关系，此处度量该投资组合的风险。证毕.由于定理1中所研究的是任意的投资组合，而CAPM模型所处理的是实际的单个风险资产，因此为了便于和CAPM模型进行比较，将定理1推广到处理单个风险资产的情形，即如下定理2.定理2:(基于风险基金的CAPM模型)假定同定理1。任意风险资产的期望收益率满足如下关系,(10)此处度量风险资产的风险。证明:定理2事实上是定理1的一个简单的推论。由于任意风险资产也是可行的投资组合，因此直接使用定理1就能够得到定理2。证毕。定理2给出了基于风险基金的CAPM模型，模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系。资产的风险定义为，资产收益率与风险基金收益率之间的协方差除以风险基金收益率的方差。定理2对风险的这种定义十分类似于传统的CAPM模型中的Beta系数，即资产收益率与市场组合收益率的协方差除以市场组合收益率的方差。显然，定理2中的风险与传统的CAPM模型中的Beta系数是截然不同的。下面分析讲明基于风险基金的CAPM模型的经济含义。不妨假设投资者现在持有风险基金，同时风险基金的期望收益率高于无风险利率。假如风险资产的大于0，那么风险资产的收益率与风险基金的收益率正相关系数与相关系数是两个不同的概念。定义为，度量的是该资产的风险;相关系数定义为，度量的是该资产收益率与风险基金收益率之间的相关性。。从而，投资者做多风险资产将会增加所持有资产的风险，因此，该风险资产的收益率一定大于无风险利率，否则投资者不情愿持有该风险资产。那个均衡分析过程与定理2的预测是一致的。同理也能够分析其它各种情形。系数与相关系数是两个不同的概念。定义为，度量的是该资产的风险;相关系数定义为，度量的是该资产收益率与风险基金收益率之间的相关性。六、模型的应用—CCAPM基于风险基金的CAPM模型具有重要的理论意义。作为应用例子，本节使用基于风险基金的CAPM模型证明，Breeden(1979)提出的CCAPM模型。结果反映在定理3中。1简化的消费—投资组合模型使用无风险基金和风险基金，投资者的财宝动态方程(2)能够重新描述为,此处实数是投资者将财宝投资在风险基金之上的比例。投资者的状态变量为财宝和时刻，而操纵变量是消费和投资组合。由Taylor展开公式和积分中值定理，得到投资者的HJB方程为.HJB方程关于消费的一阶条件为,关于投资组合的一阶条件为.(11)定义记号。在上使用Ito引理，得到的增长率为.注意到中只有项含有布朗运动，那么，对价格为的任意风险资产，风险资产的收益率与的增长率之间的协方差为,(12)其中第三个等号利用了一阶条件(11)，第四个等号利用了风险基金的期望收益率与方差之间的关系式(7).由定理2可知，风险资产的期望超额收益率等于，,(13)其中第二个等号利用了风险基金收益率的方差等于的结论。从而，风险资产的收益率和风险基金的收益率的协方差等于,其中第二个等号使用了式(7).那么，由上式，风险资产的期望超额收益率等于,再利用(12)，得到.(14)在上使用Ito引理，得到。由于只有含有随机项，因此，结合(14)，得到,(15)此处是投资者的相对风险规避系数。2CCAPM模型定理3(CCAPM模型)假设经济中存在多个投资者，关于经济的其它假定与定理1一致。令为总消费，那么任意风险资产的期望收益率满足,此处是所有投资者的相对风险规避系数的加权调和平均，其中是投资者在总消费中的份额，度量资产的风险。证明总消费等于经济中所有投资者的消费之和，即。那么总消费的增加等于经济中所有投资者的消费增加之和，即。从而，总消费的增长率为,即总消费的增长率等于经济中每个投资者的消费增长率的加权平均和，权重是每个投资者的消费占总消费的比例。因此，能够得到风险资产与总消费的协方差为.从(15)可知，方程两边乘以并对求和，得到，此处是所有投资者的关于消费的相对风险规避系数的加权调和平均。将方程变形就得到。证毕。七、三个模型的相互关系及比较本文总共涉及三个资产定价模型:传统的CAPM模型，基于风险基金的CAPM模型，以及CCAPM模型。为了方便比较，将它们一起列在下面，，CAPM模型，基于风险基金的CAPM模型，CCAPM模型其中记号表示市场组合的期望收益率，定义为风险资产收益率与市场组合收益率的协方差除以市场组合收益率的方差。三个模型的相同之处在于，这三个模型差不多上线性的资产定价模型，都给出了资产的收益与风险之间的线性关系。三个模型有如下几个不同之处。第一，三个模型对风险的定义不同。在基于风险基金的CAPM模型中,资产的风险定义为，资产收益率与风险基金收益率的协方差除以风险基金收益率的方差。在传统的CAPM模型中，资产的风险定义为，资产收益率与市场组合收益率的协方差除以市场组合收益率的方差。在CCAPM中，资产的风险则定义为，资产收益率与总消费增长率的协方差。第二，在三个模型中，资产的期望收益—风险比不同，在基于风险基金的CAPM模型中，资产的期望收益—风险比等于，风险基金的期望超额收益率。在传统的CAPM模型中，资产的期望收益—风险比等于，市场组合的期望超额收益率。在CCAPM中，资产的期望收益—风险比等于，经济中所有投资者的相对风险规避系数的加权调和平均。三个模型的相互关系能够用如下框图来描述。框图指出，假如经济中存在无风险资产，同时风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立。由两基金分离能够得到传统的CAPM模型由两基金分离得到传统的CAPM模型的详细过程，参见Merton(1973)或者陈彦斌(2003，博士论文).，也能够得到本文所提出的基于风险基金的CAPM模型。然后利用基于风险基金的CAPM模型，得到了CCAPM模型。由两基金分离得到传统的CAPM模型的详细过程，参见Merton(1973)或者陈彦斌(2003，博士论文).CAPMCAPM存在无风险资产,风险资产的价格服从几何布朗运动两基金分离存在无风险资产,风险资产的价格服从几何布朗运动两基金分离CCAPM基于风险基金的CAPM模型CCAPM基于风险基金的CAPM模型八、结论和展望在两基金分离定理基础之上，本文提出了基于风险基金的CAPM模型，该模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，其中资产的风险定义为资产收益率与风险基金收益率的协方差除以风险基金收益率的方差。基于风险基金的CAPM模型具有重要的理论意义。本文使用基于风险基金的CAPM模型，证明了CCAPM模型，从而在CAPM模型和CCAPM模型等现代资产定价理论之间建立了有机的联系。由于现代资产定价理论是建立在CCAPM模型基础之上的，然而一般都简化了Breeden(1979)的CCAPM模型，是因为引入了财宝、适应形成、通货膨胀和行为金融等新的因素之后，在数学上专门难处理。然而，使用基于风险基金的CAPM模型，却专门容易处理这些新的模型。因此，作为一个研究方法和分析框架，基于风险基金的CAPM模型能够用来研究广泛的现代资产定价理论。参考文献徐绪松，2003：《复杂科学·资本市场·项目评价》，科学出版社。陈彦斌，2003：《基于财宝偏好和适应形成的资本资产定价模型》，武汉大学商学院博士学位论文。陈彦斌，肖争艳，邹恒甫，2003：《财宝偏好、适应形成和消费与财宝的波动率》，《经济学（季刊）》第3卷第1期。Bakshi,G.,andChenZ.,1996,“TheSpiritofCapitalismandStockMarketPrices”,AmericalEconomicReview,vol.86,133-157.Breeden,D.T.,1979,“AnIntertemporalAssetPricingModelwithStochasticConsumptionandInvestmentOpportunities”,JournalofFinancialEconomics,7,p265–296.Cass,D.,andStiglitz,J.E.,1970,“TheStructureofInvestorPreferencesandAssetReturns,andSeparabilityinPortfolioAllocation:AContributiontothePureTheoryofMutualFunds”,JournalofEconomicTheory,2,p122-160.Constantinides,G.M.,1990,“HabitFormation:AResolutionoftheEquityPremiumPuzzle”,JournalofPoliticalEconomy,vol.98,519-543.Huang,C,andLitzenbergerRH.,1988,“Foundationsforfinancialeconomics”,NewYork:North-Ljungqvist,L.,andSargent,T.,2000,RecursiveMacroeconomicTheory,MITPress.Merton,R.C.,1969,“LifetimePortfolioSelectionunderUncertainty:TheContinuous-TimeCase”,Revie