第一章 三角形的证明（回顾与思考）【备课精讲精研】 八年级数学下册 教学课件(北师大版)

第一章

三角形的证明回顾与思考

北师大版·八年级上册性质内容数学语言图示等边对等角

三线合一等腰三角形的两个底角相等等腰三角形顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合∵在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C①∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴BD＝DC，AD⊥BC②∵AB＝AC，BD＝DC

∴∠1＝∠2，AD⊥BC

③∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠1＝∠2，BD＝DCACBD12ACB一、知识梳理(一)等腰三角形的性质及判定判定方法内容数学语言图示

定义法

判定定理有两条边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形∵在△ABC中，AB＝AC

∴△ABC是等腰三角形ACB一、知识梳理(一)等腰三角形的性质及判定∵在△ABC中，∠B=∠C,∴AB＝AC性质内容数学语言图示

内角性质

三线合一等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°三条顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合∵在△ABC中，AB＝AC=BC∴∠A=∠B＝∠C=60°

ACBD12ACB(二)等边三角形的性质及判定∴∠1=∠2=30°

判定方法内容符号语言图示定义法判定定理1判定定理2三边相等的三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形∵在△ABC中，

∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC是等边三角形．∵在△ABC中，BC=AC，∠A=60°（或∠B=60°），∴△ABC是等边三角形．ABC∵在△ABC中，

AB=AC=BC

，∴△ABC是等边三角形．(二)等边三角形的性质及判定性质内容数学语言图示角

边边角关系直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(三)直角三角形的性质及判定直角三角形的两个锐角互余.∵在△ABC中，∠C=90°

∴∠A+∠B=90°．∵在△ABC中，∠C=90°

∴a2＋b2＝c2

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°．∴BC=AB．ABC30°acbABC判定内容数学语言图示定义定理

定理(三)直角三角形的性质及判定有一个角是直角的三角形是直角三角形∵在△ABC中，∠C=90°

∴△ABC是直角三角形．∵在△ABC中，∠A+∠B=90°∴△ABC是直角三角形．

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.∵在△ABC中,a2＋b2＝c2∴△ABC是直角三角形acbABC有两个角互余的三角形是直角三角形.(四)逆命题和逆定题性质定义注意互逆命题互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.

其中一个叫做另一个的逆命理．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．每个命题都有逆命题一个定理不一定有逆定理定理内容数学语言图示

性质

定理

判定

定理三角形线段垂直平分线性质

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上(五)线段的垂直平分线性质与判定

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等∵OP

是∠AOB的平分线，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE∵PA=PB，∴点P

在AB

的垂直平分线上

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等ACBPMNABCPabc∵在△ABC，点P为△ABC三边垂直平分线的交点∴PA=PB=PC定理内容数学语言图示

性质

定理

判定

定理三角形三个内角平分线性质

在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线(六)角平分线性质与判定

角平分线上的点到角两边的距离相等.∵OP

是∠AOB的平分线，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE∵PD⊥OA,PE⊥OB，

PD=PE.

∴点P在∠AOB的平分线上

三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.PAOBCDEA

B

C

P

E

DF∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的平分线相交于点P，

∴PD=PE=PF二、考点精讲考点一：逆命题例1：判断下列命题的逆命题，并判断每队命题的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．解：(1)原命题是真命题．

逆命题：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．(2)原命题是真命题．

逆命题：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．二、考点精讲考点二：等腰（等边）三角形的性质与判定例2：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，

∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B=70°，求∠C的度数；（2）若AE=AC=4，AB=3，求△ADF的周长解：（1）∵∠B=70°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∴∠BAD=180-∠B-∠ADB=40°，∵∠CAE=∠BAD，∴∠CAE=40°，∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=40°；二、考点精讲例2：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，

∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B=70°，求∠C的度数；（2）若AE=AC=4，AB=3，求△ADF的周长（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠C=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠FDC，∴∠C=∠FDC，∴FD=FC，∵AD=AB=3，AC=4，∴△ADF的周长=AD+DF+AF=AD+FC+AF=AD+AC=3+4=7．二、考点精讲考点三：直角三角形的性质及判定例3：已知，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE.（1）求证：AB=AE；（2）求CD．证明：（1）∵DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠ACB=∠DCA，又∵AE⊥CD，∴∠A=∠AEC=90°，在△ABC和△AEC中，∠B＝∠AEC ,∠ACB＝∠DCA,AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（AAS）∴AB=AE；二、考点精讲考点三：直角三角形的性质及判定例3：已知，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE.（1）求证：AB=AE；（2）求CD．解：(2)由(1)得：AE=AB=6，CE=CB=4，设DC=x，则DA=x，DE=x-4，由勾股定理得：DE2+AE2=DA2，即(x-4)2+62=x2，解得：x=6.5，即CD=6.5二、考点精讲考点四：线段的垂直平分线性质例4：如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACE=12°，求∠EBF的度数．解：∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB，

∵EB=CA，∴EC=CA，

∵∠ACE=12°，

∴∠A=∠AEC=（180°-∠ACE）÷2=84°，

∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=84°，

∴∠EBC=∠ECB=42°，

∵BF平分∠ABC，∴∠EBF=∠ABC=21°，

∴∠EBF的度数为21°．二、考点精讲考点五：角平分线性质例5：如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．求线段CP的长．解：过P作PE⊥OB于E，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴PC=PE，∠AOP=∠BOP，∵OD=DP，∴∠BOP=∠DPO，∴∠AOP=∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE=∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠PDE=30°，∵∠PEO=90°，DP=2，∴PE

=

DP=1，∴PC=1．1.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90° B．∠B＞90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°三、课堂练习A2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离是（）A．3.6B．3 C．2.4D．2三、课堂练习C3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵D为AB的中点，∴AD＝BD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°．在Rt△ADE和Rt△BDF中，AC=BD，DE=DF∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC∴△ABC是等边三角形．三、课堂练习4．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD＝2，求DF的长．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°；（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC