等腰三角形（第4课时）【备课精讲精研】 八年级数学下册 教学课件(北师大版)

第一章

三角形的证明1.1等腰三角形

北师大版·八年级上册第4课时

等边三角形的判定

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.1.等腰三角形的判定方法：ACB定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）ACB一、复习导入2.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形；性质：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.ABC一、复习导入一般三角形等边三角形等腰三角形一个三角形满足什么条件时是等边三角形？思考：(1)一个三角形满足什么条件时是等边三角形？

(2)一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？二、探索新知（1）以“边”判定:

三边都相等的三角形叫等边三角形；(定义法)（2）以“角”判定:

猜想：

三个角都相等的三角形是等边三角形.（一）一般三角形CAB一般三角形等边三角形

已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，∴

BC=AC，

∵∠B=∠C，∴

AC=AB．

∴

AB=BC=AC．

∴△ABC是等边三角形．CAB

证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.（1）当顶角为60°时（2）当底角为60°时（二）等腰三角形CAB等边三角形等腰三角形证明：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.ABC已知：如图，在△ABC中

，若AB=AC,∠A=60°.求证：AB=AC=BC.证明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.情况一：顶角为60°的等腰三角形60°证明：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC中

，AB=AC,∠B=60°.求证：AB=AC=BC.情况二：底角为60°的等腰三角形证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).ACB60°判定方法内容符号语言图示定义法判定定理1判定定理2三边相等的三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形∵在△ABC中，

∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC是等边三角形．∵在△ABC中，BC=AC，∠A=60°（或∠B=60°），∴△ABC是等边三角形．ABC∵在△ABC中，

AB=AC=BC

，∴△ABC是等边三角形．

等边三角形的判定方法操作：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?思考：拼出的等边三角形中，

找找Rt△ABD的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗？三、合作探索300300等腰三角形D300300ABC等边三角形BC=

AB证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．300ABC已知:

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°求证:

BC=

AB.分析：突破证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题30°ABCD300ABC证明

BD=AB30°ABCD300ABC证明

BC=AD=BD

∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°，在△ABC与△ADC中，

BC=DC，（作图）∠ACB=∠ACD，（已证）

AC=AC，（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AD=AB；∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BC=BD=AB．30°ABCD证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD，已知:

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°求证:

BC=

AB.DBCA证明：在△ACB内部∠ACD=∠A=30°，交AB于D∴AD=CD，

∵∠ACB=90°，∠DCB=∠B=60°∴△ADC是等腰三角形

又∵∠B=60°∴△BCD是等边三角形

(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)∴CD=BD=BC∴BC=AD=BD∴BC=AB．

已知:

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°求证:

BC=

AB.定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．ABC30°归纳总结：三、典例精练知识点一：等边三角形的判定定理1例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：△AED为等边三角形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝

（180°﹣∠BAC）＝30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠B＝60°，∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠AEB﹣∠ADC＝60°，∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，∴△AED为等边三角形．三、典例精练知识点二：等边三角形的判定定理2例2：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．

证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，∴BC＝BE，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，∴∠ECB＝60°，∴△CEB为等边三角形．证明：∵AB=AC

，∠B=15°

∴∠B=∠ACB=150,

∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300

∵CD是腰AB的高

∴∠ADC=90°

∴CD=AC=AB(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

例3：求证:

等腰三角形的底角为150，那么腰上的高是腰长的一半

已知：在△ABC中，AB=AC,∠B=15°，CD是腰AB的高，

求证：CD=ABCBAD三、典例精练知识点三：在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半四、课堂练习1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．三边都相等的三角形

B．三个角都相等的三角形

C．有一个角等于60°的三角形

D．有两个角等于60°的三角形C2．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C四、课堂练习D3.下列说法正确的是（）A.直角三角形中30°角所对的直角边是另一直角边的一半．

B.三角形中30°角所对的边等于最长边的一半

C.直角三角形中最小的直角边是斜边的一半

D.直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍D四、课堂练习4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为

.ABC3005四、课堂练习5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则BD=

.ACBD1四、课堂练习6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形

B．等边三角形

C．不等边三角形

D．不能确定形状四、课堂练习B7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D为AB中点，且DE⊥AB，交BC于点E，AC＝6cm，则BE等于（）A．3cm

B．6cm

C．9cm

D．12cm四、课堂练习D8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AC中点，且DE⊥AB，交AB于点D，DE＝3，求AB的长．解：（1）∵E为AC中点，DE⊥AB∴CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，

∠B＝90°﹣∠A＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝

AB∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．9.如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．

证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．