定解条件与定解问题的提法

定解条件与定解问题的提法第1页，课件共19页，创作于2023年2月3.1定解条件n

阶常微分方程的通解含有n个任意常数，要完全确定这些常数需要附加n个条件。能不能求解？解是什么？☆由此可归纳出能不能定解？该怎么办？能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？☆方程☆方程第2页，课件共19页，创作于2023年2月要想完全确定一个物理过程除了控制方程（一般指偏微分方程）外，还需要给定初始和边界条件。表征和控制物理现象的方程，称为控制方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程的推导过程得出，不同的物理现象具有不同的物理规律，其控制方程也是不同的。第3页，课件共19页，创作于2023年2月同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。3.2定解条件的形式和定解问题定解问题=控制方程+定解条件非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。稳态问题：定解条件为边界条件。第4页，课件共19页，创作于2023年2月根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题。不同出发点

正向问题，即为已知源求场

逆向问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论的主要内容。后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容第5页，课件共19页，创作于2023年2月声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系。第6页，课件共19页，创作于2023年2月一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界条件所处的状况有关。☆波动方程的定解条件①初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度设弦在初始时刻时的位置和速度为：第7页，课件共19页，创作于2023年2月②边界条件——描述系统在边界上的状况第二类边界条件：一端既不固定，又不受位移方向力的作用第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为：或：第三类边界条件：在x=l端受到弹性系数为k的弹簧的支承或或：第8页，课件共19页，创作于2023年2月

x

u

o

b

l

h

【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所示如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。例：一根长为的弦，两端固定于和，在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离，l第9页，课件共19页，创作于2023年2月☆波动方程的定解问题定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件

+边界条件混合问题

定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件初值问题（柯西问题）定解条件=初始条件+边界条件特解第10页，课件共19页，创作于2023年2月

例：长为的弦在端固定，另一端自由，且在初始时刻时处于水平状态，初始速度为，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.①确定泛定方程：取弦的水平位置为轴，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程【解】第11页，课件共19页，创作于2023年2月②确定边界条件

对于弦的固定端，显然有另一端自由，意味着其张力为零，则③

确定初始条件根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零初始速度第12页，课件共19页，创作于2023年2月综上讨论，故定解问题为第13页，课件共19页，创作于2023年2月例：长为l的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由。电梯在下降过程中，当速度为v0时突然停止。试写出杆振动的定解问题。第14页，课件共19页，创作于2023年2月☆扩散方程的定解条件定解条件：初始条件边界条件①初始条件——描述系统的初始状态式中φ(x,y,z)为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。第15页，课件共19页，创作于2023年2月②边界条件——描述系统在边界上的状况第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知

第一类边界条件：介质表面温度已知

第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知

式中，p为边界面上的点。由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量第16页，课件共19页，创作于2023年2月☆扩散方程的定解问题定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件

+边界条件混合问题

定解问题=控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件初值问题（柯西问题）定解条件=初始条件+边界条件特解第17页，课件共19页，创作于2023年2月☆拉普拉斯和泊松方程的定解条件第二边值问题，牛曼问题

第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）

第三边值问题（混合问题）鲁宾问题

对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条