河南省新乡市王村乡中学2021年高三数学理期末试题含解析

河南省新乡市王村乡中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在不等式组确定的平面区域中，若的最大值为9，则a的值为A.0 B.3C.6 D.9参考答案：B2.设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为()A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知命题p：“x∈R，x2＋1>0”；命题q：“x∈R，ex＝”则下列判断正确的是

()A.p∨q为真命题，p为真命题

B.p∨q为真命题，p为假命题C.p∧q为真命题，p为真命题

D.p∧q为真命题，p为假命题参考答案：B4.将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则等于(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故5.函数的值域为（）A． B． C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】通过两角差的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cos（x﹣）=sinx﹣cosx﹣sinx=sinx﹣cosx=sin（x﹣）．∴函数f（x）=sinx﹣cos（x﹣）的值域为[﹣1，1]．故选：D．6.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（

）A．3.126 B．3.144 C．3.213 D．3.151参考答案：B7.已知向量，若，则等于(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：命题甲能推出命题乙，是充分条件，命题乙：直线EF和GH不相交，可能平行，命题乙推不出命题甲，不是必要条件，故选：B，9.已知集合M＝{x｜1＜x＜4)，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝

A．{2，3}

B．{1，2，3}

C．{1，2，3，4}

D．{2，3，4}参考答案：A略10.若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．y=x对参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f（x）的奇偶性，即可得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（x）=x（1﹣）=x?f（﹣x）=﹣x?=﹣x?=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于三次函数的导数，的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：

（1）函数的对称中心为

；

（2）计算=

。参考答案：12.已知2个小孩和3个大人排队，其中2个小孩不能相邻，则不同的排法种数有

种．参考答案：72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用插空法分析，①、先将3个大人排好，由排列数公式可得其排法数目，②、在4个空位中任选2个，安排2个小孩，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将3个大人排好，考虑其顺序有A33=6种情况，排好后有4个空位；②、在4个空位中任选2个，安排2个小孩，有A42=12种情况，则2个小孩不相邻的排法有6×12=72种；故答案为：72．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及不相邻问题，不相邻问题可以用插空法分析．13.已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集为．参考答案：{x|﹣＜x＜}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由于关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，可知a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得=﹣1，=﹣6，a＜0．代入不等式cx2+bx+a＜0化为﹣6x2﹣x+1＞0，即可得出．【解答】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，∴a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴=﹣（﹣2+3）=﹣1，=﹣6，a＜0．∴不等式cx2+bx+a＜0化为﹣6x2﹣x+1＞0，化为6x2+x﹣1＜0，解得﹣＜x＜．因此不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．故答案为：{x|﹣＜x＜}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和实践能力，属于基础题．14.若x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为

．参考答案：4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（2，0）．化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知则满足条件的点所形成区域的面积为

△

．参考答案：答案：16.已知条件不是等边三角形，给出下列条件：①的三个内角不全是

②的三个内角全不是

③至多有一个内角为

④至少有两个内角不为则其中是的充要条件的是

.（写出所有正确结论的序号）参考答案：①③④略17.已知函数f(x)的定义域为R，为奇函数，，则__________．参考答案：－1【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于点对称，据此可得，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数为奇函数，则函数的图象关于点对称，则有，又由，则；故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析的对称性，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面PCD；（2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）先推导出四边形ABED是矩形，从而AB⊥平面PAD，进而CD⊥PD，CD⊥EF，CD⊥BE，由此得到CD⊥平面BEF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，利用向量法能求出直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，∵AB∥CD，∴CD=2AB，∴AB∥DE，且AB=DE，∴四边形ABED是矩形，∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥PD，且CD⊥AD，又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，∵EF∩BE=E，∴EF?平面BEF，BE?平面BEF，又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，∵PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°，∴PA===2，AD=BE==2，BC===2，则P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（），C（2，2，0），=（0，3，﹣），=（﹣），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，），设直线PD与平面PBC所成的角为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=||=．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.(本小题满分12分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在之间的频率；（2）现从分数在之间的试卷中任取份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在的份数为X，求X的分布列和数学望期．

参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）理解茎叶图“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格，求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）由茎叶图知分数在的人数为4，人数为8，人数为10，故总人数为，………..2分∴分数在的人数为：，……….3分∴频率为；………..4分（2）∵分数在的人数为6，分数在的人数为4，………..5分∴X的可能取值为：0,1,2,3………..6分∵,,,,………..10分∴的分布列为：0123数学期望.………..12分考点：1、茎叶图的应用；2、离散型随机变量的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050

（1）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．附表：

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879

(参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d)

参考答案：(1)由表中数据得K2的观测值，∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为，设事件A为“乙比甲先做完此道题”，乙比甲先解答完的事件为A，则满足的区域为x＞y，∴由几何概型P（A）==，∴乙比甲先解答完的概率P=．

21.某地区位于甲、乙两条河流的交汇处，根据历年统计资料预测，今年汛期甲河发生洪水的概率为0.25，乙河发生洪水的概率为0.18（假定两河发生洪水与否互不影响）。现有一台大型设备正在该地区工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案一：运走设备，此时需花费4000元；方案二：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两条河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案三：不采取措施，此时，当两条河同时发生洪水时将损失60000元，当一条河发生洪水时将损失10000.（1）试求方案三中损失的分布列；（2）若你是决策者，你会采取哪种方案？说明理由。参考答案：解：（I）在方案三中，记“甲河发生洪水”为事件A，“乙河发生洪水”为事件B，则P(A)=0.25，P(B)=0.18．…………．．1分的分布列：100006000000.340.0450.615…………．．6分（II）对方案一，需花费400