工程力学课程第7讲

扭转是杆件基本变形之一。在工程实际和日常生活中经常遇到扭转变形的杆件，例如，这些杆件都是各横截面绕轴线发生相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。以扭转变形为主的杆件称为轴。扭转变形杆件的计算简图如图7.2所示。了扭转角φ。图中γ称为剪切角；φ称为扭转角。在工程中，通常给出的是轴上所传送的功率和轴的转速。设轴所传递的功率为P，外力偶矩为M，轴的角速度为ω。则通过功率、转速与外力偶矩间的关系确定外力偶矩。eeP功率为千瓦（kW力偶矩为牛米（N.m转速n为转/分（r/min）。做单位变换，代入上式，得P沿mm截面将该轴分为I、II两部分如图7.3（b）,(c)所示。若取左段I研究，由该段的平衡方程可知，在m一m截面上必存在一个转向与外力偶M相反的内力偶T。列平衡方程eee式中T为mm截面上的内力偶矩，称为扭矩，它是I、II两部分mm截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。扭矩T的符号规定如下：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外如果作用于轴上的外力偶多于两个，外力偶将轴分成若干段，各段横截面上的扭矩不尽相同，则需分段求出扭矩。为了表示沿轴线各截面的扭矩变化情况，用扭矩图来表示。ACBBAxr图7.5（a）所示为一薄壁圆筒，其壁厚t远远小于其平均半径r（t<-0）。为了得到横截面上的应力分布情况，作扭转试验。观察变形现象得如下变形特点（图7.5（b（1）圆周线的形状、大小和间距均不变；（2）在小变形下，纵向线倾斜相同的角度且仍近似为直线；（3）表面的方格左、右两边发生相对错动而变为平行四边形。结论：当薄壁圆筒扭转时，其横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切应力τ。因为筒壁的厚度t很小，可以认为沿壁厚切应力均匀分布。又由于在同一圆周上各点变力为横截面上的扭矩T，即：A0Tt和t的微小六面体，称之为单元体，如图7.6所示。单元体左、右两侧面是圆筒横截面的一单元体必也平衡。为保持其平衡，单元体的上、下两个侧面上必然有切应力，且大小相等、方向相反，组成一个与(τtdy)dx相平衡的力偶。设上、下两个侧面上的切应力为τ/，由z所以τ=τ/即：在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯剪实验可得，在弹性变形范围内，切应力与切应变成正比，其关系可表示为：其中G为材料的剪切弹性模量或称切变模量。式（7-3）称为剪切胡克定律，即在剪切弹性范围内，切应变γ与切应力τ成正比。至此，已经介绍了三个与材料有关的弹性常数E、μ、G，对各向同性材料，三者的关系为E和横截面间的距离均保持不变，横截面如同刚性平面般绕轴线转动。p所以—（7-5）扭时，横截面上任一点处的切应变Y与到轴心的距离ρ成正比。p在弹性范围内，切应力与切应变服从剪切胡克定律，由式（7-3）可得上式表明，横截面上切应力与到轴心的距离成正比。切应力的分布如图7.8（a）所示。ρ(τdA).ρ。在整个截面上，所有微力矩之和应等于扭矩T，即ρIIAA积分p2dA只与截面尺寸有关，称为截面的极惯性矩，用IAA于是得=_____________P再将上式代入应力关系式（7-6有TpIP式（7-9）即为圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式，对于空心圆轴同样适用。D由式（7-9）知，当p==R，即在圆轴外2τ==maxIPI RW则上式可写成τ=I=PRTWP式中W是一个与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数。P为了保证扭转时的强度，必须使最大切应力不超过许用切应力[τ]。于是可建立圆轴受扭时的强度条件：maxWP和抗扭截面系数为IPA0;WPIπD3=P=2dD设空心圆轴的内、外径分别为d和D，如图7.9（b）所示，其比值C=-，则从式D24P的单位为m3。12解1）作扭矩图如图7-12（b）所示。虽然BC段扭矩比AB段小，但其直径也比AB段小，因此两段轴的强度都必须考虑。（2）许可的最大外力偶矩Me36x-3)336x-3)3eGIP扭转角的转向与扭矩的符号相对应。长为l的圆轴扭转角计算公式为：l—P若在轴两截面之间的T值不变，且轴为等直圆轴，则：Φ=GI若轴在各段内的扭矩T并不相同，或者各段内截面极惯性矩I不同（如阶梯轴则分段计PnTl算各段的相对转角，然后求其代数和。即：Φ=ΣiiGI为了防止因过大的扭转变形而影响机器的正常工作，必须对某些轴的扭转角加以限制。由此可建立圆轴扭转的刚度条件：—[P对于等直圆轴有]（rad/m)（7-18）maxGIP解1）计算外力偶矩，作扭矩图