高等数学(理)练习册答案

第一章函数的极限与连续

【基本要求】

1、熟练掌握基本初等函数的表达式、图形及主要性质；

2、了解初等函数的概念，了解极限的直观概念（一种变化趋势），无穷小量、无穷大量的

概念；

3、熟练掌握函数极限四则运算法则和无穷小量的性质，掌握求极限的各种方法；

4、掌握两个重要极限，会用它求有关极限问题；

5、理解函数的连续性和连续函数的概念，会判断•、二类间断点，知道闭区间上连续函

数的性质.

第一节函数

【知识要点】邻域、函数、基本初等函数、初等函数、复合函数、分段函数的概念：求定

义域、值域的方法；建立函数关系.

【基本训练】

1、邻域|x+2kl的中心是2吗？

答案：-2

2、确定函数的两要素是定义域和值域吗？

答案：不是。确定函数的两要素是定义域和对应法则。

3、函数有哪儿种表示方法？

答案：解析法、图示法、表格法。

4、我们常用什么方法研究函数？

答案：图示法。

5、函数"x）=J是否为初等函数?

Vx+5

答案：是

6、函数y=|x|是否为初等函数？

答案：都可能。

7、你能举出一个既是奇函数又是偶函数的函数吗？

答案：/（x）=0.

8、奇函数的图形以（）对称：偶函数的图形以（）对称.

答案：原点；y轴.

【能力提高】

一、单项选择题：

1、B2、C3、B4、C5、D

二、确定下列函数的定义域：

(2)y=1虱一)+-/—

答案：[-2,1)U(1,2]答案：(-1,1)

/八.X2+1

(3)y=Jcosx(4)y=arcsin----

5

JrTC

答案：2k7i---,2%乃+—,keZ答案：[一2,2]

_22_

[-x,-1x<0

(5)y=In(siiu)(6)‘Ino<x<2

答案：[2&",(2Z+1)〃],ZwZ答案：[-LO)U(O,2)

三、下列各题中/(元)和g。)是否相同？

(1)/(X)=x2',g(X)=(x2)3(2)/(x)=x,g(x)=(«)2

答案：不同答案：不同

(3)/(x)=l,g(x)=sin2x+cokr(4)f(x)=\jx5-x4,g(x)=xy/x2-x

答案：相同答案：相同

2x-1<x<0

四、已知20<x<l,求：/(-0.5),/(0),/(2).

x-\1<x<3

答案：/(—0.5)=—1J(O)=2J⑵=1

五、已知(，一)=工(1+,。+1),x>o,求/(x).

答案：令」•=〃，x=—.

Xu

7

/(“)斗+[5+1]=斗+，河斗”+尸

〃(V〃Ju\u)u

/、x+Jl+x?

f(x)=^2

六、已知/(月=石",求/《｝/[/(切.(x>0)

1

答案:

X

Vl+2x2'

七、确定下列函数的奇偶性:

/\cos—

(1)/(X)=x4cosx⑵/(x)=e，

答案：偶函数答案：偶函数

⑶/⑺=比⑷/(x)=lax

答案：奇函数答案：非奇非偶函数

八、下列各题的函数是由哪些简单函数复合而成的?

..sin21

(1)/(x)=2*

答案：/(«)-2",u-v2,v-sinw,w=—

X

(2)/(x)=sin2(cos3x)

答案：/(M)=W2,W=sinv,v=cosw,w=3x

⑶/(x)=Injsin^x+l

f(x)=^ln(sin2x+l),

答案:/(M)=-ln»,u=r+l,u=sinx

(4)y-arctan2x2-1

答案：y-u2,u-arctanv,v=>/vv,w=x2-1

九、在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两

个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE=ylOA2-OE2=

则上底=2AE=2y/R2-h2

故S="（2R+2,/?2_力2）=小+1片_弓

第二节数列的极限

【知识要点】数列概念、数列极限存在的定义.

【基本训练】

1、数列是函数吗？

答案：是

2、如何在数轴上和平面直角坐标系上表示数列？

3、下列做法是否改变数列的敛散性？

（1）任意改变数列的有限项；不会（2）各项同取绝对值；会

（3）各项乘以同一常数左；会（4）去掉所有偶数项.会

4、如果数列｛%｝极限存在，limx“=a,limx,=b,则。与b相等吗？

答案：是

5、收敛的数列一定有界吗？

答案：是

6、无界的数列会收敛吗？

答案：否

7、有界的数列一定收敛吗？

答案：否

【能力提高】

观察下列数列的变化趋势，对存在极限的数列，写出它的极限：

（1）%J+f答案：0

n

(2)=〃+(—1)”答案：不存在

.1

(3)J%=sin—答案:0

n

sinn

(4);%=答案:0

n

(5)Jcfl=sinnjr答案:0

.JI

(6)Jcn=sin(—+2H^)答案:1

答案:不存在

(7)Xfl=COS/77T

(8)J='Jn+1答案：不存在

「2〃-1„为奇数

n

(9)J%=,答案：2

2〃+1〃为偶数

n

第三节函数的极限

【知识要点】函数极限、左右极限的概念、函数极限存在与左右极限的关系.

【基本训练】

1、在讨论函数极限时自变量X的变化趋势大体分为哪两种情况？

答案：X—>oo,X—>xQ

2、数列极限和函数极限的区别是什么？

3,函数/(x)在点与处无定义，则函数/(x)在点/处一定无极限吗？

答案：不一定

4、函数/(x)在点九°处有定义，且函数/(x)在无0处极限存在，则极限值一定为了(%)吗？

答案：不一定

5、函数/(x)在点％0处左右极限一定相等吗？如果函数/(x)在点玉)处极限存在，它在点

玉）处左右极限一定相等吗？

答案：不一定；是

6、如果函数/（x）在点％0处左右极限存在且相等，函数在点％°处极限存在吗？

答案：存在

【能力提高】

-、从函数的图形观察极限是否存在，若有极限等于多少？

(1)limcosx=(1),limcosx=(0),

XTO一

2

limcosx=(不存在），limcosx=（不存在）;

Xf+ooX—>-O0

71

(2)limarctairr=(0),limarctaav=(a)，

x->0XTl

7C71

limarctaiu=(i)，limarctanr=)，

Xf+oO2

limarctaax=（不存在）；

(3)/(x)=ax(〃〉1)当x-»O,x—>3,x—>+8,X——8时；

答案：lima"=l,lim<2x=a3,limax=+oo,limax=0.

X->0X->3*T+O0XT-00

2v-2—1x<1

(4)当x—1时，f(x)=\的极限.

3%+1x>1

答案：lim(2x2-1)=1,lim(3x+l)=4,lim/。)不存在.

XflX->1+XT1

二、单项选择题：

1、C2、A3、A

x?+a尤<0

三、设函数/(x)=1在xf0时极限存在，求常数a的值.

exx〉0

2

答案：lim(x+a)=aflim=1,a=1.

xf(rxfo+

2r-1

四、设函数=r一，讨论函数在xfo时极限是否存在.

2X-12X-1

答案：lim----=---=1,lim/(x)不存在.

."A.K'Al1I▲，..、八+1A'

XT。n--XT0+-XT。

2"+l2X+1

第四节无穷小量与无穷大量

【知识要点】无穷小量、无穷大量的概念与性质、无穷小量与无穷大量的关系.

【基本训练】

1、零是无穷小量吗？

答案：是

2、若lim/(x)=A,则在xfa时，/(x)—A是无穷小量吗？

答案：是

3、有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量吗？

答案：是

4、无穷小量的商一定是无穷小量吗？

答案：不一定

5、无穷小量与有界函数之积仍然为无穷小量吗？

答案：是

6、无穷大量乘任意常数一定是无穷大量吗？

答案：不一定

7、无穷大量与无穷大量之差一定是无穷小量吗？

答案：不一定

8、无穷大量的倒数•定是无穷小量吗？无穷小量的倒数一定是无穷大量吗？

答案：不一定，不一定

9、当xf2时•，下列函数中不是无穷小量的是(C).

A.x3-8B.sin(x2-4)C.ex~2D.ln(3-x)

【能力提高】

•、下列函数在什么情况下是无穷小量？什么情况下是无穷大量？

(1)e-x；(2)lor；

答案：；X->-oo答案：xfi；%->+℃

答案：x—^—2,x—>1答案：x—>3,x-0

(5)5'-1；(6)--1.

5V

答案：x—>0,xf+oo答案：x—>0,X—>-oo

二、当Xf8时，将/(X)表示为一个常数与无穷小量之和.

⑴f(x)=^―

X+1

2x3-1

答案：limS~L=2,

5X+1

⑵/⑴/

小山2x_12,/、25

答案：hm-----=—f(x)=----------

3x+l333(3x+l)

第五节函数极限的运算

【知识要点】函数极限的四则运算法则、两个重要极限及应用、无穷小量的比较.

【基本训练】

1、下面的解法对吗？为什么？

limxsin—=limxlimsin—=0

A->0XA->0A->0X

答案：错

2、下面的解法对吗？为什么？

1212

limf----------7)=lim-----lim-----=oo-oo=0

31-x1-x211-xTl-x

答案：错

3、当x30时，2x——与x2—d哪一个是更高阶的无穷小量？

答案：当尤—0时，/一X3是比2x—/更高阶的无穷小量

210

4、当工-1时，无穷小量1一天与(1)1-x3,(2)QU-尤2)是否同阶？是否等价？

1—y1

答案：lim—',当x-1时，无穷小量1—x与1—Y是同阶无穷小量。

3

1_r1

lim,=1,当x-1时，无穷小量1—x与是等价无穷小量。

/I3)2

【能力提高】

一、单项选择题：

1、D2、C3、D4、A5、D

二、计算：

.x2+x—6

(1)lim-----(2)hm---------

x"l-xTX-2

答案：2答案：5

x~—2x+1

(3)lim—(4)hm---------

Ix-1HX-1

答案：0答案：0

2

(5)lim(l———)(6)limx(>/x+1-x)

TX-1A—>0Q

答案：00答案：~

2

3

r2%—3x+5..3x~-x+2

(7)hm—；------——(8)hm-1

324

XT85x+2x-1EVX+1

i2

答案：一答案：3

5

/,、「x3-5x

(9)lim——(10)lim----------

•IXX+Jxis2x~+3x+l

答案：0答案：8

(2x-1)2°(3X+2)3。一arctaiu

(11)lim----------------(12)hm-------

(5x-l)5018X

答案:答案：0

550

三、计算下列极限:

「sin3x3

(1)lim-----答案：—

—otan5x5

x-sin2x

(2)lim--------

x+sin3x

Isin2x1csin2x

1—2•——1

「x-sin2x「

答案:lim--------=lim-----rhm------=——

XTOx+sin3xI。］+sin3xA->Osm3x4

1+3•-----

x3x

arctanr…］.tan5x

(3)lim(4)lim-----

Xf0xmsin3x

arctaaxarctaax小心「tan5xtan5a—4)5

答案:limlim=1答案：hm-----=hm-----------

x->0xx-»0tan(arctanr)x-尸sin3xXT汗-sin3(x-万)3

x

(5)limnsin—

n->oo几

答案：limnsin—=limn•—=x

n->oo〃〃一>8几

，八sin(x4-/)-sinx

(6)lim--——------

/~>0t

2cos(x+—)sin—

sin(x+h-siiu

答案:lim--------------=lim---------------COSX

TOtrrOt

四、若hm---------=4试确定常数。力之值.

x-2x-2

lim(6zx+/?-4)=0,2o+b-4=0,b=4-2a

XT2

「ax+4-2a-4,rax-2aAA.A

lim-------------=4,lim-------=4,a=4fb=-4

TX-2Kf2x-2

五、计算下列极限：

(1)lim(1+2x)x

XTO

-1-L•(2、)

答案：lim(1+2x)*=lim(1+2］产=e

x-»0x-»0

k。

(2)lim(I--)2

n—>oo"

“2k--

答案：lim(l—±)2=lim(l—t)人2贽2

W->°°n"T8n

(3)limVl-3x

XTO

________2

答案：lim</l-3x=lim(l-3x»=/

x->0,v->0'/

(4)lim(—)2j-,

XT0°X+l

答案：lim(3)2，T

I00X+l

(5)hm则出)

XTOx

ln(x+1)'/J

答案：lim--------=limln(zx+l)x=ln+=\ne=l

XT0XA->0'/KTO\

/_]

(6)lim-——

x

答案：令£=/-1,x=ln(l+/)

,x

lim——-=lim---=1

r—ox1。ln(l+r)

六、选取。力之值，使X—>-8时，/(x)=Jx?-4x+5-(。X+〃)为无穷小量.

222

答案：limy/x2-4x+5-(ax4-h)=lim(l-t7)x+(2^-4)x+(5-/?)

X->-00X—>-00vx2-4%+5+3+。)

_j.5-b~

2ab-4H-------

1—/=(),原式=山”平^一书^+於二〃-1lim.x—

2

~Vx-4x+5+(ax+fe)XaL45b

Jl-—1丁+a4—

Vx厂x

2ab-4

1+a

2*4=0,a=\,b=2

第六节函数的连续性

【知识要点】函数连续的概念、左连续和右连续的概念、判别间断点类型的方法、闭区间

上连续函数的性质.

【基本训练】

1、4一定是正数吗？

答案：不一定

2、函数/(x)在点/处有定义，则函数/(x)在点玉)处一定连续吗？

答案：不一定

3、函数/(x)在点/处极限存在，则函数/(x)在点/处一定连续吗？

答案：不一定

4、函数“X)在点/处连续，则函数“X)在点玉,处极限一定存在吗？

答案：一定

5、第一类间断点都可以变为连续点吗？

答案：不一定(可去间断点可以)

6^求若函数/(x)在点X。处连续，则=/(%),对吗？

答案：对

7、闭区间可上连续的函数一定有最值存在吗？

答案：是

【能力提高】

一、若自变量由x变到x+Xo,求下列函数的增量:

(I)y=x2+2

答案：/y=(X+%。)2+2—f—2—2XXQ+x；

、3

(2)y=一

x

答案：Ay=—____j.=3X3(X+XO)=___阻_

X+XoXX(X+X0)X(X+X0)

(3)y=lax

答案：Ay=ln(x+x0)-\nx=ln(l+—)

x

(4)y=cosx

答案：Ay=cos(x+x0)-cosx=-2sin(x+)sin

二、单项选择题：

1、D2、B3、B

三、讨论下列函数在分段点的连续性：

.1

xsin—xw0

⑴/(%)=<x

0x=0

答案：连续。因为linV（x）=li"xsin』=0=/（0）

sinx-

----xwO

⑵/(%)=<x

1x=O

cinV

答案：连续。因为曾/（》）=也干=1=/（0）

x—1—l〈x<0

⑶〃x)=.

siar。”后

答案：lim(x-1)=-1,limsiar=0,不连续

xf(T.r-»O+

2y/~X0<X<1

(4)f(x)=<4-2x\<x<2

2x+1x>2

答案：lim2Vx=2,lim(4-2x)=2,x=l连续

x->rA->I+

lim(4-2x)=0,lim(2x+l)=5,x=2不连续

XT2-.12+

a+bx2x<0

四、设〃x)=sinbx在x=0处连续，则常数。力要满足什么关系？

------x>0

c1v\r)x

答案：lim(a4-bx2)=a,lim-----=b,a=h

XT。-A->0+X

2x2+a-oo<x<-l

五、设〃x)=,x3-1<X<1在定义域上连续，则常数a力的值是多少?

bx-3x>1

答案：lim(lx1+a)=2+61,limx3=-1,a=-3

x->-rx->-i+

limx3=1,lim(bx-3)=Z?-3,8=4

x->r11+

■/IY

六、设函数/(x)在x=l处连续，且/⑴=1,求则In2+fe1之值.

­(i

答案：limIn2+fex=limln[2+/(l)]=ln3

XT+OO

七、求下列函数的间断点，并指出其类型：

Y-111

答案：lim--=lim——=一，x=l第一类(可去)间断点

—X-1KT1JC+12

(/2)\y=arctan—1

x

Ijr1jr

答案：limarctan—=——,limarctan—=—,x=0第一类(跳跃)间断点

xf。-x2io*x2

X-2Y

(3)y=—：一r(4)y='一

ln|l-x|sinx

x—2

答案：limr一r=oo,%=0第二类间断点

io1叩_讨

lim与？1=0,x=1第一类(可去)间断点

—ln|l-x|

x—2x-2

lim—：---1=lim-------=1,x=2第一类(可去)间断点

12ln|l-x|121n(1)

⑷y=--

S11U

X

答案：lim——=1,x=0第一类(可去)间断点

XT。siru

x

x=kn[x0),lim——=oo,x=wO)第二类间断点

issinx

1_/

八、讨论函数〃x)=!吧台*的连续性，若有间断点，判断类型，并指出“X)是否

为初等函数?

Xx<[

1_v2"\\

答案：f(x]=lim-^-x=\0H=1

一XW>i

=limx=l,Iimf(x)=lim(-x)=-l,x=l第一类(跳跃)间断点

limf(x}=lim(-x)=l,limf(x}=limx=-l,x=—1第一类(跳跃)间断点

x—>-1'x—>-Tx—»-l+x—>-l+

7171

九、证明方程sin%+x+l=O在开区间内至少有一个根.

2f2

答案：在开区间一工，工内，令/(x)=siiu+x+l,在上连续

{2222

f()=<0,f()=2+—>0；

2222

则在(d)内至少有一点｝使f©>=°

即方程sior+x+1=0在开区间(一、,内至少有一个根.

单元练习题

一、是非题：

/_1

1、函数/(》)=一+X+1与函数g(x)=^——相同.

X-1

答案：错误・・•当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

r3_1

.../(X)=/+X+1与g(x)=-----函数关系相同，但定义域不同，所以/(X)

x-1

与g(x)是不同的函数。

2、如果数列有界，则极限存在.

答案：错误

3、=a,lima〃=a.

〃TocJ1n->oo

答案：错误

4、如果lim/(x)=A,则/(x)=A+a(当xf8时，a为无穷小).

Xf8

答案：正确

5、如果a~p,则a-p=o(a).

答案：正确

6、当x-0时，l-cosx与一是同阶无穷小.

答案：正确

7、limxsin—=limx-limsin—=0.

xf0xxfOx->0x

答案：错误

8、limf1+—

x

答案：错误

9、点x=0是函数)，=型Ix的l无穷间断点.

x

答案：错误

10、函数/(x)=，必在闭区间卜,司内取得最大值、最小值.

X

答案：错误

二、填空题：

1、设),=/(X)的定义域是(0,1),则

(1)/(/)的定义域是((-oo,0))；

(2)/(1-sin?x)的定义域是(W上肛xHkTr+l["eZ))；

(3)/(igx)的定义域是((1,10)).

x+2-2<x<0

2、函数/(x)=<0x=0的定义域是((-2,4]).

x2-30<x<4

3、若/(x)=x2,g(x)=sinx,/[g(x)]=(sin2x),g[/(x)]=(sinx2).

“1・・X/、

4、limnsin—=(x).

1-xx<-l

5、设/(%)=<cos-1<x<1,则lim/(x)=(2)，蚂/(*0).

葭xf-1-0

x-lX>1

1-COSX]

6、设=-如果/(x)在X=0处连续，则4=(-).

ax=02

7、设点是初等函数/(x)定义区间内的点，则lim/(x)=(/(x0)).

8、函数y=~，■当x->(1)时为无穷大，当x—(oo)时为无穷小.

9、若lim(jx〉-x+1-ax-b)=0,贝Ua=(1),b=(--).

.x2—X+1—((IX+。)

hm---------------1

X^klx2-x+i^ax+b\

(I-/)/(]+2QZ?)X+(]—/?2)

lim

.r-yjx2-x+l-^-ax+b

欲使上式成立，令1一/=0,...a=±i,

上式化筒为

2

~(l+2ah)x+(l-h)-(l+2a/?)+——~(\+2ab]

lim-/---------=lim,=------=lim---------

一+8&2]+〃Xf«o11hXT例\+a

J1——+0+〃+—

\XXX

l+2ab=0,b=~-

2

10、函数/(x)=—Lp的间断点是(x=0,x=-l).

1+-

丫2,__o

11,/(x)=-........的连续区间是((—00,1),(1,3),(3,+8)).

x-4x+3

〃x+2sinx八e,、

12、若lim----------=2,则。=(2).

X—>00X

1

13、补充定义/(0)=(—1)使得/(彳)=一[111%-111(0/+幻]在苫=0连续.

X

三、选择填空题:

1、如果lirnx,,=a,则数列x”是(B)

n—>x

A.单调递增数列B.有界数列C.发散数列

2、函数/（x）=log“（x+Jx?+1）是（A

）

A.奇函数B.偶函数c.非奇非偶函数

3、当xf0时，6*-1是》的（C）

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小

4、如果函数/（x）在/点的某个邻域内恒有（M是正数），则函数/（X）在该

邻域内（C）

A.极限存在B.连续C.有界

5、函数/（x）=—1—在（

C)条件下趋于+8.

1-x

A.x-1B.x—1+0C.x—1—0

6、设函数/(x)=WM

则lim/(x)=(C）

Xx->0

A.1B.-1C.不存在

7、如果函数/（x）当xf/时极限存在，则函数/（x）在点（C）

A.有定义B.无定义C.不一定有定义

8、数列1,1,—，2,—,3,,,,,—n,…当〃-»oo时为（C）

23n

A.无穷大B.无穷小C.发散但不是无穷大

9、函数/（x）在/点有极限是函数/（x）在/点连续的（B）

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件

10、点x=0是函数arctan」的（B）

x

A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点

11、点x=0是函数sin，的（C）

x

A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点

四、计算下列极限：

解limJ"=limVx=1

xfvx-1f

limx(x->Jx2+1j

2、

J->+00

解lim\x\x-ylx2+11=lim----J=——

z+ooL'〃XT+OOX+A/7772

3、

解

lim—JX-VX4"

X->+8

=lim

XT+CO

1+8yjx~4x+Vx+Vx

-2lim=—1

x->+<®

xsinx

4、lim

x—O7i+x2-i

X2・仲+12+1/+1

xsinx「

解lim/——=limlim

1°Jl+%2_1A。(Vl+X2-1)(71+x2+1)x->0X2

(Vl+x2+1)=2

lim

x->0

J1+%2

5、lim---------

—o+ox+sinx

J/+/

「xvl+xlimJT+7=1

解lim----l--i-m---------

x-o+ox+sinxXTO+Ox+sinx.9o+o<sinx2

1+----

X

X

6、lim

XTO-OV1-cos2x

12、

解lim.=(*/x—>0,1-COSX—X)

LOJl—cos2x2

tanx-sinx

7、hm-----------------

I。X-

J_2

X

a”tanx-sinx「sinx-(l-cosx)「911

解hm-----------------lim----------------------=lim—气-------------二—

xf0x'XT°XCOSX1°xcosx2

1、

(Vx—>0,1-cosx^—x2sinx)

「x-COSX

8、lim------------

XT0°X+COSX

Icosx

解lim%-C°SX=lim-------匚=]

XfsX+COSXJ8]+COSX

X

9、limr—

XTO+OJ1-COSX

sinx

府「|lvsinxjrsinx仄

m-limJ-=hmf------=V2lim--------=V2

Xf0+°Jl—COSXXTO+O/12XTO+OX

V2X

10、

11limxlnl1+—

X->00X

解limxln1+—=limln1+—=Inlim1+—=1

XTOOIX)XT8IX)XJ

21

12^lim

illx~~\x—I

解limf------L]=lim±^=-lim—!—

-1x-lJx^'X2-1X7l]+x2

第二章一元函数微分学

【基本要求】

1、掌握导数的概念、导数的几何意义、可导与连续的关系；

2、熟练掌握基本初等函数的求导公式、四则运算的求导法则、复合函数的求导方法，熟

练掌握初等函数的求导；

3、了解隐函数和参数方程所确定的函数的定义，会求隐函数的导数及参数方程的一阶导

数；

4、会求函数的高阶导数；

5、理解函数的微分概念，会求函数的微分.掌握函数可导与可微的关系，了解微分的近

似计算.

第一节导数的概念

【知识要点】增量、变化率、瞬时变化率、导数的定义；导数的几何意义、物理意义；可

导与连续的关系；基本初等函数的求导公式.

【基本训练】

1、什么是函数/（X）在（x,x+/x）上的平均变化率？什么是函数/（X）在点X处的变化率？

答案：/（X）在（x,x+/x）上的平均变化率：［（x，"+'x）T（x）

Ax

/（X）在点X处的变化率：lim+

2、函数/(x)在点/处连续是在该点可导的充要条件吗？

答案：不是

3、若广(X。)=0，则必有/(%)=0吗？若/(x0)=0，则必有((x0)=0吗？

答案：否，否

4、如何理解f'(x0)=8的几何意义？

答案：过(%,右)的垂直于x轴的切线.

5、下列计算对吗？为什么？

X<—1

求/(%)=.一的导数.

X>-1

0,x<—1

解：这是个分段函数，在各段区间上分别求导，有/(x)=<—J-x>-l

I---------，人/A

2y/x+2

【能力提高】

-、将一个物体铅直上抛，设经过时间f(s)后，物体上升的高度为力=10f-；g/(〃?)，

求下列各值:

(1)物体在1(5)到(1+△/)($)这段时间内的平均速度:(2)物体在l(s)时的速度;

(3)物体在f0(s)到%+A，(s)这段时间内的平均速度；(4)物体在，0(S)时的速度-

_S(l+Af)-S(l)U0(l+Af)-：g(l+Af)2]-(10g)

答案：(1)V='⑴=-----------?-----------------?_=io_g_gg.

△t△t

⑵h'=v(t)=\0-gt,v(l)=10-g

(3)

J2

_S(r+Ar)-S(f)[1。&+4)—58(互+加)]一。。无一

00步*飞劣也

V~~—

△t△t

lOz-gt

2

(4)V=limV=lims(/)-s(%)

lO(r-o)-；g卜-记)

二、单项选择题：

1、B2、D3、A4、D5、C

三、求函数y=/在x=2处的切线方程和法线方程.

答案：y'=2x,k=4

所求切线方程为y-4=4(x-2),即y-4x+4=0

所求法线方程为y-4=--(x-2)

即x+4y—18=0。

四、下列各题中均假设/(4)=1,请按导数的定义求以下极限:

⑴lim/(x0-Ar)-/(x0)

心一。Ax

於空limf(X-Ax)-f(X)_/(X-Zix)-/(X)_

令采：Hm----0-----------0-——iiin-----0-----------0-——

/XT。Ax-Ax

Iini/Uo+3/7)-/(xo-2/7)

'Jf0